Lezioni di Matematica Corso SIRIO Le “curve di livello”

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1 Lezioni di Matematica Corso SIRIO Le “curve di livello”
I.T.C. “Cassandro” Barletta Corso SIRIO Lezioni di Matematica Le “curve di livello”

2 Attraverso l’ elaboratore elettronico il grafico di una funzione di 2 variabili si può costruire:
per punti con le “curve di livello”

3 Le curve di livello sono le linee che si ottengono sezionando la superficie y = f(x;y) con piani paralleli al piano XY x z y

4 Le curve di livello sono le linee che si ottengono sezionando la superficie y = f(x;y) con piani paralleli al piano XY x z y

5 Nel piano XY le curve di livello sono rappresentate da un “fascio di curve”
z y

6 In questo esempio le curve di livello sono circonferenze concentriche:
y x

7 Svolgiamo un esempio con i calcoli:
z = x2 + y2

8 Svolgiamo un esempio con i calcoli:
z = x2 + y2 Intersechiamo questa funzione con piani paralleli al piano XY. Questi piani hanno equazione: z = k

9 Si tratta di risolvere il sistema di equazioni:
z = x2 + y2 z = k

10 Si tratta di risolvere il sistema di equazioni:
z = x2 + y2 k = x2 + y2 → z = k z = k

11 Si tratta di risolvere il sistema di equazioni:
z = x2 + y2 k = x2 + y2 → z = k z = k Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nell’ origine e raggio √ k .

12 Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10

13 Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: 2, 4, 6, 8, 10
x2 + y2 = k

14 Costruzione in 3-D per punti della funzione
z = x2 + y2

15 Esercizio: Determiniamo alcune linee di livello della funzione: z = x2 + y2 – 10x

16 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:
z = x2 + y2 – 10x z = k

17 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:
z = x2 + y2 – 10x z = k k = x2 + y2 – 10x z = k

18 Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = - a/2 β = - b/2

19 Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto C (5; 0)

20 Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto C (5; 0) e aventi raggio: r = √ α2 + β2 – c

21 Le sezioni ottenute hanno equazioni:
k = x2 + y2 – 10x Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto C (5; 0) e aventi raggio: r = √ 25 + k .

22 r = √ 25 + k Dovendo essere: k ≥ 0 quindi: k ≥ - 25

23 r = √ 25 + k Dovendo essere: k ≥ 0 quindi: k ≥ - 25 Le curve di livello non esistono se k < - 25

24 Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0

25 Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0

26 Curve di livello ottenute sostituendo a k i valori: -25, -20, -15, -10, -5, 0
Per k = -25 si ha il punto (5; 0)

27 Esercizio: Determiniamo alcune linee di livello della funzione:

28 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

29 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

30 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

31 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

32 Sezioniamo la superficie con piani paralleli al piano XY, risolvendo il sistema:

33 Le sezioni ottenute hanno equazioni:
x2 + y2 – 6kx + 4 = 0 Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = 3k β = 0

34 Le sezioni ottenute hanno equazioni:
x2 + y2 – 6kx + 4 = 0 Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = 3k β = 0 C (3k; 0)

35 Le sezioni ottenute hanno equazioni:
x2 + y2 – 6kx + 4 = 0 Al variare di k, queste sono equazioni di circonferenze con centro nel punto α = 3k β = 0 C (3k; 0) e raggio: r = √ 9k2 - 4

36 r = √ 9k2 - 4 Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi:

37 r = √ 9k2 - 4 Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi: k ≤ - 2/3 v k ≥ 2/3

38 r = √ 9k2 - 4 Dovendo essere: 9k2 - 4 ≥ 0 quindi: k ≤ - 2/3 v k ≥ 2/3 Le curve di livello non esistono se -2/3 < k < 2/3

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