CALCOLO LETTERALE Perché?

Presentazione sul tema: "CALCOLO LETTERALE Perché?"— Transcript della presentazione:

1 CALCOLO LETTERALE Perché?
E’ opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.

2 POTENZE Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza ennesima di a an = a • a • … • a n volte Esempio: 32 = 3 • 3 (-2)2 = (-2) • (-2) = 4 (-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

3 PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Dati a, b  R, m, n  N a n + m = a n a m, a -n = 1 / a n a n - m = a n: a m, n  m, se n = m, a  0 (a:b) n = a n: b n, b  0 (ab) n = a n b n, (a n) m = a n m, a 0= 1,

4 ESERCIZI 32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6 (5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2 (8)0=1 3-4 = 1 / 34 e2 • e3• e-4= e (- 2)2 •(-2)3 = -32

5 RADICALI Si dice radice ennesima (n  N) aritmetica del numero reale non negativo a l’unico numero reale non negativo b tale che bn = a Si pone per convenzione:

6 PROPRIETA’ DEI RADICALI

7 ESERCIZI

8 ESPRESSIONE NUMERICA E LETTERALE
Una espressione numerica è un insieme di operazioni da eseguire su determinati numeri secondo un determinato ordine: {[(-1+3)2 • 8]+(5 • 4)}:2= Una espressione letterale è una espressione numerica in cui i numeri sono in tutto o in parte rappresentati da lettere: {[(-a+b)2 • c]+(d • e)}:2=

9 VALORE DI UNA ESPRESSIONE LETTERALE
Esempio: se a = 1 b = 0 c = 1 a + 2b + 1/c = 2 N.B. Non è possibile dare a c il valore 0! Insieme di definizione della espressione letterale è l’insieme di valori che possiamo attribuire alle lettere senza che l’espressione perda di significato

10 MONOMIO Una espressione letterale in cui sono presenti solo le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza: Esempio: 3ab2 3 = coefficiente ab2 = parte letterale

11 Grado di un monomio Grado complessivo del monomio è la somma degli esponenti delle lettere del monomio Grado del monomio rispetto a una lettera è l’esponente con cui tale lettera compare nel monomio Esempio: 3ab2 è un monomio di grado complessivo 3, di grado 1 rispetto ad a, di grado 2 rispetto a b.

12 POLINOMIO La somma di più monomi, detti termini del polinomio:
Esempio: 3ab + 2ac + 4b3 Grado complessivo del polinomio è il massimo dei gradi dei singoli monomi (nell’esempio 3) Grado complessivo del polinomio rispetto a una lettera è il massimo dei gradi dei singoli monomi rispetto a quella lettera (nell’esempio 1 rispetto ad a e c, 3 rispetto a b)

13 OPERAZIONI TRA POLINOMI
ADDIZIONE SOTTRAZIONE PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli DIVISIONE

14 DIFFERENZE DI QUADRATI
(x + y) • (x - y) = (x2 - y2) Esempi: (2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2) (2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2) (9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab) (x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] = [(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]

15 QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y)2= x2 + 2xy + y2 (x - y)2= x2 - 2xy + y2
Esempi: (a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2 (a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2 ((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4

16 CUBO DI UN BINOMIO (x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Esempi: (2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 (3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3 (x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y y3

17 SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI
(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2) (x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2) Esempi: (8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2) (27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2) (x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 - (x - 2) y2 + y4)]

18 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Mediante l’uso dei prodotti notevoli Raccoglimenti a fattore comune: Esempio: 6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b) Raccoglimenti parziali successivi: 9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)

19 DIVISIONE TRA POLINOMI
Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 . Esistono allora due polinomi Q ed R tali che: P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

20 ESEMPIO (2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)
2x5 + 0 x4 – 3 x x2 + x x3 – x2 +1 2x5 – 2 x x2 2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1 2 x2 +2 x -1 2 x4 – 2 x x – x x2 - x + 1 – x3 + x - 3 x2 - x + 2

21 ESEMPIO (2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2) P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.

22 ESEMPIO: (20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)
20 x4 – 14 x x x x2 + 2x - 4 20 x x x2 5x2 -6x + 8 – 24 x x x - 32 – 24 x x x 32 x x - 32 32 x x - 32 \\ \\ \\

23 REGOLA DI RUFFINI Divisione di un polinomio per un binomio
Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero . P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R

24 REGOLA DI RUFFINI ±a Termine noto P1(x) Coefficienti P1(x)
Coefficienti e termine noto P2(x) Resto

25 ESEMPIO (x2 - 1) : (x + 2) 1 -1 -2 4 -2 1 -2 3
-1 -2 4 -2 1 -2 3 x = (x + 2) (x –2) + 3

26 REGOLA DEL RESTO Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a R= P1(-a) Esempio: (x2 - 1) : (x + 2) P1(-2) = 3

27 OSSERVAZIONE Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1. Nell’esempio precedente: P1= (x2 - 1) avrei dovuto provare con +1 e –1: P1(+1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x - 1) P1(-1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x + 1)

28 ESEMPIO P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6 P1(±1)  0 P1(2) = 0 1 3 -7 -6 2 2
10 6 1 5 3 x x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)