Trasformazioni nel piano

Presentazione sul tema: "Trasformazioni nel piano"— Transcript della presentazione:

1 Trasformazioni nel piano
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2 Trasformazioni nel piano Trasformazioni LINEARI
INVERSioni CIRCOLARI

3 Affinità Dilatazioni Compressioni Similitudini Inclinazioni Omotetie
Isometrie Traslazioni Simmetrie Rotazioni Centrali Assiali

4 Affinità Si definisce affinità una corrispondenza biunivoca tra punti dello stesso piano che trasformi rette in rette conservando il parallelismo.

5 x’ = ax + by + p y’ = cx + dy + q
Associamo a ciascun punto P (x,y) del piano in modo biunivoco il vettore L’affinità T di equazioni: x’ = ax + by + p y’ = cx + dy + q può allora essere scritta nella forma matriciale x’ = Ax + u , in cui u = , è il vettore dell’affinità e A = è la matrice dell’affinità il cui determinante è diverso da 0 (condizione di non singolarità della matrice) a b c d

6 Teorema Data una trasformazione di matrice A e una superficie del piano S, sia S’ la superficie corrispondente. Il rapporto tra S’ e S è pari al modulo del det A. Definizione Si definisce elemento unito un elemento che corrisponde a se stesso nella trasformazione.

7 Dilatazioni e Compressioni
Si definisce dilatazione o compressione di rapporto k lungo l’asse x e di rapporto h lungo l’asse y l’affinità: x’ = kx y’ = hy k ≠ 0 h ≠ 0 con: k 0 0 h di matrice: det A = kh e vettore:

8 x’ = x y’ = 3y x’ = x y’ = ⅓y Dilatazione Compressione 1 0 0 3
1 0 0 3 di matrice: det A = 3 Compressione x’ = x y’ = ⅓y 1 0 0 ⅓ di matrice: det A = ⅓

9 Inclinazioni x’ = x + k y y’ = y
Si definisce inclinazione lungo l’asse x di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ordinata y e ascissa proporzionale. x’ = x + k y y’ = y di matrice: 1 k 0 1 det A = 1

10 Inclinazioni x’ = x y’ = kx + y
Si definisce inclinazione lungo l’asse y di coefficiente k la trasformazione che fa corrispondere a ogni punto (x,y) il punto che ha la stessa ascissa x e ordinata proporzionale. di matrice: x’ = x y’ = kx + y 1 0 k 1 det A = 1

11 ESERCIZIO 2 0 0 1 La trasformazione di matrice muta il quadrato Q di vertici O(0,0), A(1,0), B(1,1) e C(0,1) nel rettangolo R. Appli- cando successivamente l’inclinazione di matrice si ottiene il parallelogramma P. Calcolane l’area. 1 2 0 1

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13 Similitudini La similitudine è un’affinità tra punti del piano che mantiene costante il rapporto tra segmenti corrispondenti. Cioè, dati i segmenti AB e CD: k è detto rapporto di similitudine.

14 a = k cos α x’ = ax + by + p b = - k sin α y’ = - bx + ay + q
Diretta a = k cos α b = - k sin α x’ = ax + by + p y’ = - bx + ay + q a b -b a La cui matrice associata risulta: det A = a² + b² = k² Inversa a = - k cos α b = k sin α x’ = ax + by + p y’ = bx - ay + q a b b -a La cui matrice associata risulta: det A = - a² - b² = - k²

15 Omotetie x’ = ax + xC - axC y’ = ay + yC - ayC
Siano C un punto del piano e a un numero reale non nullo si definisce omotetia di centro C e rapporto a la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P fa corrispondere in modo univoco il punto P’ tale che CP’ = a CP. x’ = ax + xC - axC y’ = ay + yC - ayC a 0 0 a La matrice associata risulta: xC – axC yC - ayC E il suo vettore: det A = a²

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17 Isometrie Si definisce isometria ogni affinità tra i punti del piano che conservi le distanze (k = 1). La più semplice isometria è l’identità: x’ = x y’ = y 1 0 0 1 La cui matrice associata risulta: det A = 1

18 Traslazione x’ = x + p y’ = y + q
Si definisce traslazione di vettore v la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che a ogni punto P associa il punto P’ tale che PP’ = v Dato il vettore v = (p;q), risulta: x’ = x + p y’ = y + q 1 0 0 1 La cui matrice associata risulta: det A = 1 E il cui vettore:

19 Matrice: 1 0 0 1 det A = 1 Vettore: 1

20 ESERCIZIO 9 -1 Dati la traslazione di vettore e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’. A’ (xA’, yA’) = (xA + p, yA + q) = (9, -1) B’ (xB’, yB’) = (xB + p, yB + q) = (10, -1) C’ (xC’, yC’) = (xC + p, yC + q) = (9, 2)

21 Rotazione x’ = x cos θ – y sin θ y’ = x sin θ + y cos θ
Siano O un punto del piano e θ un numero reale. Si chiama rotazione di centro O e di angolo θ la corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che associa il punto O il punto O stesso e che ogni punto P distinto da O associa il punto P’ tale che PÔP’ = θ. x’ = x cos θ – y sin θ y’ = x sin θ + y cos θ cos -sin sin cos La cui matrice associata risulta: det A = 1

22 Matrice: 0 -1 1 0 det A = 1

23 ESERCIZIO Dati la rotazione di angolo θ = 90° e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’. A’ (xA’, yA’) = (xA cos θ - yA sin θ, xA sinθ + yA cos θ) = (0, 0) B’ (xB’, yB’) = (xB cos θ - yB sin θ, xB sinθ + yB cos θ) = (0, 1) C’ (xC’, yC’) = (xC cos θ - yC sin θ, xC sinθ + yC cos θ) = (-3, 0)

24 SIMMETRIA CENTRALE x’ = 2 xC - x y’ = 2 yC - y
Si definisce simmetria centrale Sc rispetto a C la corrispondenza biunivoca tra punti del piano che associa a ogni punto P il punto P’ tale che C sia il punto medio di PP’ x’ = 2 xC - x y’ = 2 yC - y -1 0 0 -1 La cui matrice associata risulta: det A = 1 2 xC 2 yC E il suo vettore:

25 Vettore: Matrice: -1 0 0 -1 2 1 det A = 1

26 ESERCIZIO 8 4 Dati la simmetria centrale di vettore e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e D (0,3), trovare i vertici di A’B’D’. C (½ 8, ½ 4) = (4, 2) A’ (xA’, yA’) = (2 xC - xA, 2 yC - yA) = (8, 4) B’ (xB’, yB’) = (2 xC - xB, 2 yC - yB) = (7, 4) D’ (xD’, yD’) = (2 xC - xD, 2 yC - yD) = (8, 1)

27 SIMMETRIA ASSIALE Si definisce simmetria rispetto a r l’affinità Sr che lascia uniti i punti P che appartengono ad r e che trasforma ogni punto P che non appartiene ad r in P’ tale che r sia l’asse di PP’. Di matrice: det A = -1 e vettore:

28 x’ = x y’ = - y + 2 k x’ = - x + 2 k y’ = y Caso particolare: y = k
2k 1 0 0 -1 det A = -1 Caso degenere: x = k 2k x’ = - x + 2 k y’ = y -1 0 0 1 det A = -1

29 Caso particolare: y = x x’ = y y’ = x 0 1 1 0 det A = -1

30 ESERCIZIO Dati la simmetria assiale di asse x = 4 e il triangolo di vertici A (0,0), B (1,0) e C (0,3), trovare i vertici di A’B’C’. A’ (xA’, yA’) = (- xA + 8, yA) = (8, 0) B’ (xB’, yB’) = (- xB + 8, yB) = (7, 0) C’ (xC’, yC’) = (- xC + 8, yC) = (8, 3)

31 Composizione di trasformazioni
La composizione o prodotto di due affinità T1 e T2, rispettivamente di matrici A1 e A2 e vettori u1 e u2, è l’affinità T2T1, la cui matrice è A = A2A1 e il cui vettore è u = A2u1+u2. T1: x’= A1 x + u1 e T2: x’= A2 x + u2 x  Applico T1: x’= A1 x + u1  Applico T2: x’’= A2 (A1 x + u1) + u2 = A2 A1 x + A2 u1 + u2 MATRICE VETTORE

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34 ESERCIZIO Trasformare la circonferenza x²+y²-2x=0 applicando prima T:
e poi T’: Ripetere l’esercizio applicando prima T’ e poi T. x’ = 2x y’ = -y x’ = 3x y’ = 2y

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36 Trasformazione inversa
L’inversa di un’affinità T di matrice A e vettore u è l’affinità di matrice A-1 e vettore v = -A-1 u. x’= A x + u  Moltiplico per A-1 A-1x’= A-1A x + A-1u  A-1A = I A-1x’= I x + A-1u  Isolo x x = A-1x’ - A-1u MATRICE VETTORE

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38 ESERCIZI TRATTI DALL’ESAME DI STATO Edit by FlashBox