Funzioni continue Prof. V. Scaccianoce.

Presentazione sul tema: "Funzioni continue Prof. V. Scaccianoce."— Transcript della presentazione:

1 Funzioni continue Prof. V. Scaccianoce

2 Funzione continua in un punto
Una funzione f(x) definita in un intervallo si dice continua in un punto dell’intervallo se, per x tendente a quel punto f(x) converge al suo valore in quel punto Prof. V. Scaccianoce

3 Funzione continua in un punto
Quindi deve Esistere il valore della funzione in quel punto Esistere il limite della funzione per x tendente a quel punto e coincidere col valore della funzione Prof. V. Scaccianoce

4 Funzione continua in un punto
Dalla definizione di limite si può anche dire Una funzione è continua in un punto c se avvicinandosi x a c la funzione si avvicina a f(c) oppure cade in un ε intorno di f(c) Prof. V. Scaccianoce

5 Funzione continua a destra o a sinistra di un punto
Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a destra di un punto c dell’intervallo se Una funzione definita in un intervallo (a,b) si dice continua a sinistra di un punto c dell’intervallo se Prof. V. Scaccianoce

6 Esempi La funzione y=[x] (parte intera di x) per ogni x intero è continua solo a destra Una funzione definita nell’intervallo (a,b) in a è continua solo a destra, in b solo a sinistra Prof. V. Scaccianoce

7 Teoremi sulle funzioni continue
Dalla definizione di continuità e dai teoremi sui limiti segue che Se 2 funzioni sono continue in un punto c è continua in c La loro somma La loro differenza Il loro prodotto Il loro quoziente (se la funzione al denominatore non si annulla in c) Prof. V. Scaccianoce

8 Teoremi sulle funzioni continue
Una funzione costante è continua in qualsiasi punto La variabile x è continua in qualsiasi punto Le funzioni razionali intere sono continue in qualsiasi punto Le funzioni razionali fratte sono continue per ogni valore della x che non annulli il denominatore Prof. V. Scaccianoce

9 f(x)=k continua x La funzione è definita per ogni valore
Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto c ed è k infatti | f(c)-k|=|k-k|=0<ε Prof. V. Scaccianoce

10 f(x)=x continua x La funzione è definita per ogni valore
Esiste il limite per x tendente ad un qualsiasi punto x0 ed è x0 infatti | f(c)- c |=| c - c |=0<ε Prof. V. Scaccianoce

11 Teoremi sulle funzioni continue
Le funzioni senx e cosx sono continue per ogni valore della x La funzione y=ax (a>0) è continua x La funzione lgax (a>0) è continua x>0 La funzione y=n√x è continua x>=0 Prof. V. Scaccianoce

12 Esempi Prof. V. Scaccianoce

13 Continuità in un intervallo
Sia y=f(x) una funzione definita in [a.b] essa è continua in tale intervallo se lo è per ogni punto dell’intervallo (dal punto di vista intuitivo equivale a dire che il diagramma della funzione è “tutto d’un pezzo”) Prof. V. Scaccianoce

14 Teoremi sulla continuità
Se una funzione è continua in x0 Se f(x0)>0 esiste un intorno di x0 in cui f(x) > (Permanenza del segno) Se una funzione è continua in [a;b] e se f(a)e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno x0 in cui f(x0)=0 (Esistenza degli zeri) Prof. V. Scaccianoce

15 Teoremi sulla continuità
Se una funzione è continua in [a,b] in tale intervallo assume valore massimo M e minimo m (Weierstrass) in tale intervallo assume tutti i valori compresi tra il massimo e il minimo(Bolzano-Darboux) se agli estremi assume valori opposti, si annulla almeno in un punto dell’intervallo Prof. V. Scaccianoce

16 Funzione di funzione Data la funzione z=g(x) da A a B e si chiama funzione di funzione o funzione composta y=f(z)=f(g(x)) quella funzione che ad ogni valore di z=g(x) associa un determinato valore Esempio: z=g(x)=2x2+3 è una funzione il cui codominio è z≥3 y=f(z)=lg(z) ha quindi senso e y=lg(2x2+3) è la funzione composta tra f e g, cioè f(g(x)) Prof. V. Scaccianoce

17 Teorema Se g(x) ammette limite finito l per x che tende a x0 e f(z) è continua in l allora Prof. V. Scaccianoce

18 Funzione inversa Se una funzione y=f(x) è biunivoca ad ogni valore di y corrisponde uno ed un solo valore di x quindi si può parlare di funzione che ad ogni valore della y fa corrispondere un valore x (x=g(y)) tale funzione è chiamata funzione inversa Esempi y=x2+5 è biunivoca per x≥0 l’inversa è x=√(y-5) y=lg(x) è monotona la sua inversa è x=ay Prof. V. Scaccianoce

19 Teorema Se una funzione è continua in un intervallo ed assume i valori m ed M come minimo e massimo, la sua funzione inversa è continua nell’intervallo (m,M) Prof. V. Scaccianoce

20 Limiti fondamentali Si dimostra l’esistenza del limite destro
y x senx tgx Si dimostra l’esistenza del limite destro Per x che tende a 0+ senx>0 Poiché senx<x<tgx dividendo per senx>0 1<x/senx<1/cosx invertendo cosx<senx/x<1 poiché cosx e continua e per il teorema del confronto CVD Analogamente si dimostra l’esistenza del limite sinistro Essendo uguali i 2 limiti è dimostrato il limite richiesto Se la variabile è espressa in gradi il limite vale π/180 Prof. V. Scaccianoce

21 Limiti fondamentali DIMOSTRAZIONE Prof. V. Scaccianoce

22 Limiti fondamentali e=2,71… ed è la base dei logaritmi neperiani
O anche Prof. V. Scaccianoce

23 Limiti fondamentali Prof. V. Scaccianoce

24 Punti di discontinuità o singolari
1a specie: se in quel punto esistono finiti i limiti destro e sinistro e sono diversi La differenza dei 2 limiti si chiama salto Esempio la funzione f(x)=[x] (parte intera di x) per ogni x intera ha una discontinuità di 1a specie con salto=1 Prof. V. Scaccianoce

25 Punti di discontinuità
2a specie: quando in quel punto non esiste uno dei 2 limiti destro o sinistro o se esiste è ±∞ y=sen(1/x) in x=0 ha discontinuità di 2a specie perché in tale punto non esiste limite né destro né sinistro y=a1/x con a>1 ha in x=0 una discontinuità di 2a specie perché il limite per x che tende a 0 da destra è +∞ Prof. V. Scaccianoce

26 Punti di discontinuità
3a specie: se esiste il limite finito della funzione il quel punto, ma ivi essa non è definita o, se è definita, il suo valore non è uguale al valore del limite. In questo caso la discontinuità si dice anche eliminabile f(x)=sen(x)/x ha in 0 una discontinuità di 3a specie infatti per x=0 esiste il limite, ma la funzione non è definita Prof. V. Scaccianoce

27 Esercizi Studiare i punti singolari di y=tg(1/x)
La funzione non esiste per x=0 e x=π/2+kπ Per x=0 non esiste né il limite destro né il sinistro (discontinuità di 2a specie) Per x=π/2+kπ la funzione vale ±∞ (discontinuità di 2a specie) Prof. V. Scaccianoce

28 Forma indeterminata 0/0 Se si tratta di una funzione razionale fratta P(x)/Q(x) poiché i polinomi sono funzioni continue il limite per x tendente a c sarà P(c)/Q(c), per il teorema del resto si avrà quindi che sia P(c) che Q(c) sono divisibili per (x-c) si opera quindi la semplificazione in quanto per x che tende a c x non è c e quindi si può dividere Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli Prof. V. Scaccianoce

29 Forma indeterminata 0*∞
In certi casi è sufficiente operare delle semplificazioni dopo aver spostato i fattori in modo da poterli semplificare Se non si tratta di un polinomio fratto, si utilizza il metodo della sostituzione da solo o in combinazione con la fattorizzazione con limiti notevoli Prof. V. Scaccianoce

30 Forme indeterminate ∞-∞
Se si tratta di un polinomio intero P(x) si mette in evidenza il monomio di grado maggiore (è facile costatare che il limite corrisponde al limite di quel solo monomio e quindi è + o - ∞ a seconda del coefficiente e del grado del monomio) In altri casi, dopo aver individuato i termini a e b che tendono a +∞ e -∞ si razionalizza moltiplicando per la somma algebrica degli stessi termini di cui il 2° cambiato di segno. Prof. V. Scaccianoce

31 Forme indeterminate ∞/∞
Se si tratta di un polinomio fratto P(x)/Q(x) si mette in evidenza il termine di grado maggiore e si semplifica stando attenti ai segni È valida la seguente tabella Numeratore di grado > del denominatore den>num x tende a +∞ -∞ x tende a ±∞ Segni concordi discordi Se il grado del numeratore è uguale a quello del denominatore il risultato è dato dal rapporto dei coefficienti di grado massimo Prof. V. Scaccianoce