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LOTKA-VOLTERRA Logistico
MODELLO DI LOTKA-VOLTERRA Logistico La risorsa (preda) in assenza di consumatori (predatore) si accresce in modo logistico diventa:
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Stati di equilibrio e diagramma delle fasi
del modello Lotka-Volterra logistico isocline della preda
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isocline del predatore
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Corrisponde all’estinzione, cioè all’assenza
simultanea delle prede e dei predatori Corrisponde all’assenza dei predatori la risorsa (preda) ha come equilibrio la capacità portante Corrisponde alla coesistenza contemporanea di prede e di predatori. P2 esiste solo se: (dal grafico) Cioè se il predatore è sufficientemente efficace nell’interagire con la preda (D mortalità da fame: piccola, coefficiente di predazione: grande)
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I IV II III zona f1 f2 I < 0 II > 0 III IV
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I IV II III La isocline della preda viene attraversata verticalmente
il verso dipende dal segno di II III zona dp/dt dq/dt I < 0 II > 0 III IV La isocline del predatore viene attraversata orizzontalmente: il verso dipende dal segno di
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I IV II III zona dp/dt dq/dt I < 0 II > 0 III IV
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In assenza di prede (p=0), P1 è attrattivo
i predatori si estinguono In assenza di predatori (q=0), P3 è attrattivo le prede crescono raggiungendo la capacità portante Se prede e predatori coesistono P1 e P3 sono instabili P2 è stabile
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Piano delle fasi Soluzioni corrispondenti a diversi valori
iniziali
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Prede-Predatori - Modello Logistico
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% Modello preda-predatore % Lotka-Volterra Logistico % % P'(t) = m* P(t)* (1-P(t)/K) - alpha * P(t)*Q(t) Prede % Q'(t) = - D Q(t) + Beta P(t)*Q(t) Predatori % P(0) = p0 Q(0) = q0 % m tasso di crescita della preda % alpha coefficiente di predazione della preda % D tasso di mortalità dei predatori % Beta coefficiente di predazione del predatore %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all; global m alpha D Beta K m=1; alpha=0.1; D=1; Beta=0.2; K=10; p0=6; q0=15; X0=[p0,q0]', options = [t,X] =
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figure(2) subplot(2,1,1),plot(t,X) title('Soluzioni del problema di Lotka-Volterra') xlabel('tempo'); ylabel('popolazioni') legend('preda','predatore') subplot(2,1,2), plot(X(:,1),X(:,2),'b',D/Beta,m/alpha,'o') %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Sistema Lotka-Volterra Logistico function F=Volt(t,z) global m alpha D Beta K F=[m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1); -D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)]; return
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Comunità montana dell’Oltrepò Pavese
Prede e predatori nella Comunità montana dell’Oltrepò Pavese La processionaria è un lepidottero che allo stato larvale si nutre delle foglie del pino causando anche ingenti defogliazioni; ma il problema forse più grave legato alla processionaria è rappresentato dai peli urticanti delle larve che possono creare problemi alle persone che frequentano i boschi di pino particolarmente infestati. Processionaria
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Già a partire dagli anni 50 si è tentato di contenere la diffusione della processionaria del pino con sistemi di lotta biologica introducendo la formica rufa, un insetto predatore che si nutre anche delle larve di processionaria .
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Esempio di applicazione del modello Lotka-Volterra
(paradosso di Volterra) PREDATORE PREDA Processionaria P Formica rufa F Parametri delle due popolazioni: Capacità portante dell’insetto nocivo Tasso di crescita della processionaria Mortalità dell’insetto predatore (formica) Tasso di predazione delle prede Tasso di predazione dei predatori
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Equazioni del modello processionaria Equazioni di Lotka-Volterra
(Logistico) formica Equazioni del modello
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Si vuole determinare l’equilibrio stabile
Calcolo dello isocline: Isocline della preda Isocline dei predatori Isocline della preda Isocline dei predatori
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La situazione di equilibrio stabile corrisponde ad un elevato numero
F La situazione di equilibrio stabile corrisponde ad un elevato numero di processionarie (500 prede) contro 25 formiche -predatori P instabile instabile stabile
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Si supponga di intervenire con un insetticida letale tanto per le prede
quanto per i predatori. Mortalità indotta dall’insetticida
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I nuovi punti di equilibrio saranno:
Isocline della preda Isocline dei predatori Isocline della preda in presenza di insetticida Isocline del predatore in presenza di insetticida
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L’insetticida riduce i predatori e aumenta le prede nocive !
Il nuovo punto di equilibrio stabile è: L’insetticida riduce i predatori e aumenta le prede nocive !
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In assenza di insetticida le due popolazioni raggiungono l’equilibrio
(500, 25)
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Dopo un iniziale incremento della preda, l’intervento del predatore porta
ad una diminuizione della preda che si assesta all’equilibrio (500)
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in presenza di insetticida
Applicando l’insetticida il numero dei predatori diminuisce Nel lungo periodo si assiste ad un aumento della preda nociva
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sull’utilità dell’insetticida
Nel breve periodo l’insetticida sembra efficace e capace di eliminare rapidamente la preda infestante. Il crollo parallelo del predatore permette alla popolazione preda di riprendersi, superando la densità iniziale. Efficacia iniziale Valutazione errata sull’utilità dell’insetticida
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% Sistema % Lotka Volterrra Logistico function F=Proc(t,z) global m alpha D Beta K d1 d2 F(1)=m*z(1)*(1-z(1)/K )- alpha*z(2)*z(1)-d1*z(1); F(2)=-D*z(2) + Beta*z(1)*z(2)-d2*z(2); F=F'; return
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