Condizione necessaria di derivabilità

Presentazione sul tema: "Condizione necessaria di derivabilità"— Transcript della presentazione:

1 Condizione necessaria di derivabilità
se f è derivabile in x0 allora f è continua in x0 Dimostrazione se f è derivabile in x0 allora:

2 Continuità e derivabilità
f è derivabile nel punto x0 f è continua nel punto x0 la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità f è non continua nel punto x0 f è non derivabile nel punto x0 la continuità è condizione necessaria per la derivabilità

3 esempio f è continua nel punto f non è derivabile nel punto

4 esempio f è continua nel punto f non è derivabile nel punto

5 Punti di non derivabilità
se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0 x0 è un punto di flesso a tangenza verticale se flesso a tangenza verticale discendente flesso a tangenza verticale ascendente

6 Punti di non derivabilità
se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0 se x0 è una cuspide (punto di massimo) Cuspide (punto di massimo)

7 Punti di non derivabilità
se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0 se x0 è un punto di cuspide (punto di minimo) Cuspide (punto di minimo)

8 Punti di non derivabilità
se f è continua in x0 non è detto che f sia derivabile in x0 se ed almeno uno dei due limiti sia finito, allora x0 è un punto angoloso

9 esercizio Determinare a e b in modo che f sia continua e derivabile su tutto R. Per tali valori disegnare la funzione e disegnare inoltre: continuità in 0 f continua in 0 derivabilità in 0

10 esercizio f derivabile in 0

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12 Importante osservazione
ricordiamo che se f è derivabile in x0 allora si ricava che: da cui si ricava: se f è derivabile in x0 allora la variazione assoluta è un infinitesimo di ordine maggiore o uguale al primo rispetto a

13 Esempi è un infinitesimo di ordine 1/3 rispetto a x
da cui si ricava che f non è derivabile è un infinitesimo di ordine 1/2 rispetto a da cui si ricava che g non è derivabile

14 Teorema: derivazione della funzione inversa
f continua e strettamente monotona in I Se f è derivabile in x0 appartenente ad I e allora esiste e si ha:

15 Esercizio Calcolare la derivata della funzione inversa in
è un monotona in senso stretto in I da cui si ricava che la funzione inversa è derivabile

16 Esercizio Scambio di variabili: