Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3

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FILTRI ED ENERGIA Filtri Decibel Energia e segnali periodici Segnali periodici e Serie di Fourier Autocorrelazione per segnali deterministici Spettro di densita’ di Potenza/Energia

Laurea Ing. EO/IN/BIO;TLC D.U. Ing EO 3.1
FILTRI IDEALI UN FILTRO IDEALE E’ UN SISTEMA L.T.I. CHE, DATO UN SEGNALE IN INGRESSO CONSENTE UN PASSAGGIO INALTERATO DELLE SUE COMPONENTI IN FREQUENZA COMPRESE ENTRO UNA CERTA BANDA E NON CONSENTE IL PASSAGGIO DELLE ALTRE FREQUENZE. IN GENERALE SI PUO’ SCRIVERE: A SECONDA DELLA SCELTA DI E SI POSSONO OTTENERE 3 TIPI DI FILTRI : FILTRO PASSA-BASSO FILTRO PASSA-ALTO FILTRO PASSA-BANDA

FILTRO PASSA-BASSO (LPF) E’ CARATTERIZZATO DA IL FILTRO CONSENTE IL PASSAGGIO DELLE COMPONENTI IN FREQUENZA CON MENTRE ANNULLA LE COMPOENTI CON ESEMPI : 1 X(f) Y(f) H(f) X(f) Y(f)

FILTRO PASSA-ALTO (HPF) E’ CARATTERIZZATO DA : IL FILTRO CONSENTE IL PASSAGGIO INALTERATO DELLE COMPONENTI IN FREQUENZA CON MENTRE ANNULLA LE COMPONENTI CON ESEMPI: k X(f) Y(f) H(f) X(f) Y(f) 1

FILTRO PASSA-BANDA (BPF) E’ CARATTERIZZATO DA : IL FILTRO CONSENTE IL PASSAGGIO INALTERATO DELLE COMPONENTI IN FREQUENZA TALI CHE MENTRE ANNULLA LA COMPONENTI AL DI FUORI DI TALE BANDA. ESEMPIO : H(f) X(f) Y(f) X(f) Y(f)

CARATTERIZZAZIONE DI UN FILTRO MEDIANTE LA FASE IN GENERALE SI ASSUME CHE LA FASE SIA LINEARE NEL “CAMPO DI ESISTENZA” DEL FILTRO.

NOTAZIONE : I FILTRI POSSONO ESSERE INDICATI NEGLI SCHEMI NELLA SEGUENTE MANIERA : FILTRO PASSA-BASSO (LOW-PASS) ~ ~ L.P.F FILTRO PASSA-ALTO (HIGH-PASS) ~ H.P.F FILTRO PASSA-BANDA (BAND-PASS) ~ ~ B.P.F ~

FILTRI REALI NELLA PRATICA I FILTRI IDEALI NON POSSONO ESSERE REALIZZATI. IN REALTA’ LE CARATTERISTICHE DEI FILTRI SONO : AUMENTANDO LA COMPLESSITA’ CIRCUITALE AUMENTA LA PENDENZA DEL FILTRO MA ANCHE IL COSTO REALIZZATIVO. ~

I FILTRI PIU’ SEMPLICI DA REALIZZARE SONO QUELLI PASSA-BASSO, MENTRE QUELLI PIU’ DIFFICILI DA REALIZZARE SONO I PASSA-BANDA. IN PARTICOLARE PER I FILTRI PASSA -BANDA OCCORRE TENERE CONTO DELLA LARGHEZZA DI BANDA RISPETTO ALLE FREQUENZE DI LAVORO : IN PRATICA E’ OPPORTUNO AVERE : ESEMPIO : SE E’ DIFFICILISSIMO REALIZZRE UN FILTRO PASSA-BANDA AD 1MHZ CON BANDA FRAZIONARIA

DECIBEL CONSIDERIAMO UN AMPLIFICATORE CARATTERIZZATO DA UNA CERTA E DA UNA CERTA RIDUCE LA SCALA IN MODO LOGARITMICO Pin, Pout POTENZE SE g E’ UN RAPPORTO TRA POTENZE 10-2 -20

PARAMETRI DI UN FILTRO BANDA PASSANTE DEL FILTRO  GAMMA DI FREQ. PER LE QUALI L’ ATTENUAZIONE DEL FILTRO E’ MINORE DI 3 dB. (*) FREQUENZA DI TAGLIO  FREQUENZA PER CUI L’ ATTENUAZIONE DEL FILTRO E’ UGUALE A 3 dB. (*) QUESTA DEFINIZIONE (3 dB) PUO’ ESSERE APPLICATA PER DEFINIRE LA BANDA PASSANTE DI UN SEGNALE. (0 dB) 1 (-3 dB)

SE SI USA UNA POTENZA DI RIFERIMENTO PARI A 1mW SE SI CONSIDERANO DELLE AMPIEZZE SI HA : VANTAGGI : SI RIDUCE LA SCALA I RAPPORTI E I PRODOTTI DIVENTANO DIFFERENZE E SOMME.

BANDA PASSANTE DI UN FILTRO VEDIAMO A COSA EQUIVALE IN TERMINI DI AMPIEZZA ASSOLUTA L’ ATTENUAZIONE DI 3dB. IL GUADAGNO SI E’ DIMEZZATO :

NELLA PRATICA : KdB KdB-3dB KdB-10dB REGIONE DI TRANSIZIONE, LUNGHEZZA LEGATA ALLA PENDENZA DEL FILTRO. RIPPLE DELLA BANDA PASSANTE DEL FILTRO RIPPLE FUORI BANDA CARATTERISTICHE LEGATE AL MODULO DEL FILTRO PER QUANTO RIGUARDA LA FASE SI VUOLE CHE ESSA SIA LINEARE NELLA BANDA PASSANTE DEL FILTRO.

ESEMPIO DI FILTRO PASSA BANDA LO SCHEMA CIRCUITALE DI UN B.P.F. PUO’ ESSERE IL SEGUENTE : IL CIRCUITO RISUONA (ZP MOLTO GRANDE ) QUANDO: R Zp C L

VEDIAMO COME SI COMPORTA UN FILTRO PASSA-BASSO NEL DOMINIO DEL TEMPO : IL FILTRO P.B. IDEALE RIMUOVE COMPLETAMENTE LE ALTE FREQUENZE (OLTRE LA FREQUENZA DI TAGLIO) PRODUCENDO OVERSHOOT E OSCILLAZIONI NEL TEMPO. (FENOMENO DI GIBBS) USCITA DEL FILTRO IDEALE Si suppone di avere messo in ingresso un gradino 1 O.5 t

LA RISPOSTA IN FREQUENZA E’ DEL TIPO : H(f) f SI DEFINISCONO : FATTORE DI MERITO DEL FILTRO LARGHEZZA DI BANDA FRAZIONALE NON SI POSSONO FARE FILTRI CON Q GRANDE A PIACERE (CIOE’ FILTRI MOLTO SELETTIVI)

PER AUMENTARE LA SELETTIVITA’ SI POSSONO METTERE PIU’ MODULI LC IN PARALLELO CIASCUNO CON FREQ. DI RISONANZA fc DIVERSA. R1 C1 L1 R2 C2 L2

ENERGIA E SPETTRO DEI SEGNALI SI DEFINISCE ENERGIA DI UN SEGNALE DETERMINISTICO x(t) LA QUANTITA’ : SE x(t) E’ PERIODICO EX E’ UNA QUANTITA’ INFINITA EX E’ SEMPRE 0 CONSIDERIAMO SOLO SEGNALI (DETERMINISTICI) PERIODICI O A ENERGIA FINITA. TEOREMA DI RAYLEIGH

TEOREMA DI RAYLEIGH CONSENTE DI CALCOLARE L’ ENERGIA DI UN SEGNALE PASSANDO PER LA SUA TRASFORMATA DI FOURIER. INVERTENDO L’ ORDINE DI INTEGRAZIONE

ESISTE QUINDI UNA RELAZIONE TRA ENERGIA DEL SEGNALE E MODULO DELLA SUA TRASFORMATA DI FOURIER. CIO’ PUO’ ESSERE SFRUTTATO PER DETERMINARE LO SPETTRO DI UN SEGNALE. DETERMINAZIONE DELLO SPETTRO DI UN SEGNALE VEDIAMO COME SI PUO’ DETERMINARE SPERIMENTALMENTE LO SPETTRO DI UN SEGNALE SFRUTTANDO IL TEOREMA DI RAYLEIGH. SI PUO’ UTILIZZARE UN BANCO DI FILTRI AVENTI FREQUENZE DI TAGLIO ADIACENTI E SCOMPORRE IL SEGNALE x(t) IN N COMPONENTI CIASCUNA AD UNA PARTICOLARE BANDA.

 SE I FILTRI SONO IDEALI SI PUO’ RICOSTRUIRE IL SEGNALE CON UN SOMMATORE

MISURANDO L’ ENERGIA SI PUO’ QUINDI RISALIRE ALL’ ANDAMENTO DELLO SPETTRO : LE PRESTAZIONI DI UN ANALIZZATORE DI SPETTRO DIPENDONO DA : QUANTO I FILTRI SI AVVICINANO ALLA CONDIZIONE DI IDEALITA’. QUANTO E’ LA RISOLUZIONE MINIMA IN TERMINI DI BANDA PASSANTE CHE SI RIESCE AD OTTENERE DAI FILTRI. LA QUANTITA’ VIENE CHIAMATA SPETTRO DI DENSITA’ DI ENERGIA . L’ INTEGRALE TRA E DI FORNISCE PROPRIO L’ ENERGIA DI x(t) PER A MENO DI E1 E0 E2 E3 EN 

L’ ENERGIA ASSOCIATA A CIASCUNA BANDA PUO’ ESSERE CALCOLATA NEL SEGUENTE MODO : L’ ANALIZZATORE DI SPETTRO ESEGUE PROPRIO QUESTA OPERAZIONE. DAL TEOREMA DI RAYLEIGH POSSIAMO SCRIVERE CHE : L’ ENERGIA DI CIASCUNA BANDA IN CUI E’ SCOMPOSTO IL SEGNALE E’ QUINDI IN RELAZIONE CON L’ANDAMENTO DELLO SPETTRO IN QUELLA BANDA.

SEGNALI PERIODICI PREMESSA : RICORDIAMO QUANTO VALE LA TRASF. DI FOURIER DI UN TRENO DI IMPULSI. DOVE UN SEGNALE SI DICE PERIODICO SE : 1 t  POTENZA MEDIA : (IN GENERALE)

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P=0 PER SEGNALI DI ENERGIA. PER QUESTI SEGNALI SI PUO’ CONSIDERARE POT. MEDIA SU T FINITI   P. MEDIA PER UN SEGNALE PERIODICO :

CONSIDERIAMO UNA x(t) PERIODICA, OSSIA : SI PUO’ SCRIVERE : ALLORA : + T =-

(SERIE DI FOURIER) CIOE’ UNAGENERICA FUNZIONE PERIODICA x(t) E’ UNA FUNZIONE REALE ESPRESSA MEDIANTE UN TERMINE COSTANTE, UNA FREQUENZA FONDAMENTALE (k=1) ED UNA SERIE  DI ARMONICHE DI FREQUENZA MULTIPLA DELLA FONDAMENTALE (k>1). LA x(t) PUO’ ESSERE SCRITTA ANCHE COME : (PULSAZIONE FONDAMENTALE) PER I SEGNALI PERIODICI LO SPETTRO E’ QUINDI A RIGHE E LA DISTANZA TRA LE RIGHE VALE

COEFFICIENTE DELLA SERIE DI FOURIER DAL FATTO CHE: SI PUO’ SCRIVERE : + (SERIE DI FOURIER) =- PROPRIETA’ : DATO x(t) SEGNALE REALE : CIOE’ SE :

PER SEGNALI PERIODICI L’ ENERGIA E’ INFINITA. ALLORA SI DEFINISCE LA POTENZA IN UN PERIODO COME : CERCHIAMO L’ EQUIVALENTE DEL TEOREMA DI RAYLEIGH PER SEGNALI PERIODICI. PUO’ ESSERE ESPRESSO IN TERMINI DI SEN E COS (EULERO). k E h SONO NUMERI INTERI  IN UN PERIODO SI HA UN NUMERO INTERO DI OSCILLAZIONI DI SEN E COS  SE k +h0 , ALLORA L’INTEGRALE SI ANNULLA. SE k +h=0, L’ INTEGRALE VALE T.

TEOREMA DI PARSEVAL SI DEFINISCE SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA DI UN SEGNALE PERIODICO LA FUNZIONE : SI OTTIENE UNO SPETTRO A RIGHE. GLI IMPULSI HANNO AREA DATA DA IL NOME SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA E’ LECITO IN QUANTO TALE QUANTITA’ INTEGRATA ATTORNO AD UNA DELLE ARMONICHE FORNISCE LA POTENZA LOCALE DEL SEGNALE STESSO.

SIGNIFICATO FISICO TRASF. DI FOURIER SCEGLIENDO UN INTERVALLO PICCOLO IN MODO CHE SIA CIRCA COSTANTE IN , SI PUO’ APPROSSIMARE L’INTEGRALE STESSO CON UNA IL SEGNALE NON PERIODICO PUO’ ESSERE ESPRESSO CON UNA DI SEN E COS E ALLORA SI PUO’ PENSARLO COMPOSTO DA UN CONTINUO DI FREQUENZE CIASCUNA DELLE QUALI PORTA UN CONTRIBUTO ENERGETICO. CIASCUN SI TROVA IN UNA POSIZIONE MULTIPLA DEL PRIMO

ALLORA IL COEFFICIENTE DELLA SERIE DI FOURIER VALE : DAL PUNTO DI VISTA ENERGETICO : QUESTE CONSIDERAZIONI MOSTRANO IL SIGNIFICATO FISICO DELL’ INTEGRALE DI FOURIER (ENERGIA-FREQ.) CONTRIBUTO ASSOCIATO AD UNA COMPONENTE SINUSOIDALE DI FREQUENZA k

SEGNALI DETERMINISTICI SEGNALE DI POTENZA UN SEGNALE E’ DETTO SEGNALE DI POTENZA SE POTENZA MEDIA ESISTE E VALE VALORE MEDIO SEGNALE DI ENERGIA SE ESISTE E VALE 0< Ew <  ENERGIA

FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE (DI UN SEGNALE DETERMINISTICO) SEGNALE DI POTENZA (IN GENERALE COMPLESSO ANCHE NON PERIODICO) INDICE DI SIMILARITA’ : TRA E PROPRIETA’ : MAX IN MODULO PER  ( E ALLINEATI) ES.

FUNZIONE DI AUTOCORRELAZIONE SEGNALE DI ENERGIA INDICE DI SIMILARITA’ : TRA E PROPRIETA’ : QUANDO E’ REALE :

SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA/ENERGIA SPETTRO DI DENSITA’ DI POTENZA : v(t) SEGNALE DI POTENZA SPETTRO DI DENSITA’ DI ENERGIA : w(t) SEGNALE DI ENERGIA IN QUESTO CASO : DATO CHE

FUNZIONE DI CROSSCORRELAZIONE IN GENERALE : CASO PARTICOLARE: x(t) h(t) y(t)   GUADAGNO DI ENERGIA AD UNA GENERICA f

GW(f), SONO DESCRIZIONI LEGATE SOLO AL MODULO (QUADRO) DELLA T. DI FOURIER DI w(t), h(t) QUINDI SONO COMPLETE COME DESCRIZIONI “ENERGETICHE” MA NON CONSENTONO DI RISALIRE ALLE FUNZIONI w(t), h(t) . AD ES. DIVERSE w(t), IL CUI SPETTRO DIFFERISCE PER LA FASE, AVRANNO STESSA GW(f). QUESTA INCOMPLETEZZA DELLA DESCRIZIONE VALE ANCHE PER LA RW(). (NON POSSO RICOSTRUIRE w(t) A PARTIRE DA RW()).

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