C. Barbieri Astronomia I AA

C. Barbieri Astronomia I AA2004-05
Prima Settimana Elementi di trigonometria Piana Alcuni sviluppi in serie Un'equazione trascendente La serie binomiale I triangoli piani Elementi di trigonometria sferica Coordinate polari sferiche e cartesiane Vettori Alcuni esercizi 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Elementi di trigonometria piana
1 radiante ≈ 57° ≈ 3437’ ≈ ”.806 (= R") 1” ≈ radianti, 1’ ≈ radianti, 1° ≈ radianti angolo θ (rad) = θ ”/ = θ ”/R", θ ” = · θ (rad)=R"θ La ragione della differenza tra unità teoriche e pratiche è la seguente: per definizione, il radiante è l’arco uguale al raggio, ed è l'unità da usarsi in tutte le formule teoriche. Tuttavia, la circonferenza non è un multiplo razionale dell’arco, e per eseguire misure con cerchi graduati, o con encoders digitali, ci vorranno sempre unità razionali, per cui conviene suddividere il cerchio in 360° di 60' di 60" ciascuno.. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Ore, minuti e secondi come angoli
Si faccia attenzione all'uso astronomico ma anche geografico di utilizzare unità di angolo che hanno lo stesso nome di unità di tempo: 24h = 360° = 2π rad, 1h = 15° ≈ radianti 4m = 1° ≈ radianti, 1s = 15”≈ radianti È solo grazie alla (quasi) regolare rotazione della Terra che gli angoli dei corpi celesti rispetto al meridiano possono essere usati anche per misurare il passare del tempo, ma i due concetti non devono essere confusi! 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Alcune formule trigonometriche
(da cui seguono in particolare le formule di duplicazione e quelle di bisezione, che si lasciano per esercizio) 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Alcuni sviluppi in serie
(dove i B2n sono i numeri di Bernoulli e i è l’unità immaginaria) 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Sviluppi inversi Qualunque serie convergente del tipo: si può invertire come: dove: 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Sviluppi inversi di sin e tan
Da queste formula, vediamo che le differenze prime tra le funzioni sin , tan e l'arco  , sono quantità del terzo grado (e segno opposto), mentre la funzione cos differisce da 1 per un termine del secondo grado. Dunque, quando gli angoli sono molto piccoli, è legittimo confondere l'arco  con sin oppure con tan, e con minor precisione porre cos = 1. Quando poi approssimiamo l'arco  con sin (oppure con tan ), la funzione restituisce il valore dell'arco in radianti. Per ottenere secondi d'arco, moltiplichiamo il valore in radianti per R" = ".8. Ad es., se sin = , allora   x206264".8 = 290".83. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Esempi pratici - 1 Esempio: si voglia determinare il massimo valore di  per cui: Si scriva: Oppure, se il limite delle misure o dei calcoli fosse 0".01, sarà lecito porre  " = R"sin nella condizione (valida per la tangente e a fortiori per il seno): 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Esempi pratici - 2 Un altro esempio importante è il calcolo di uno sviluppo in serie di Taylor usando piccoli incrementi finiti: Si supponga di usare come minimo incremento il valore  = 50” = rad. Il quadrato dell’incremento è 2 = x50” = 0”.012 (nota, arcsec, non arcsec quadrati!). Tenendo in considerazione l’ampiezza delle derivate, vediamo che se ci arrestiamo al primo termine otteniamo la funzione con una precisione di pochi centesimi di secondo d’arco; se ci bastasse una precisione di pochi decimi di arcsec, allora potremmo aumentare l’incremento a 150”, e così via. Queste considerazioni sono importanti quando si derivano i valori degli angoli dagli sviluppi in serie delle funzioni trigonometriche. Per esempio, vicino a 0°, l’errore sull’angolo  può essere molto maggiore dell’errore sul cos, mentre vicino a 90°, l’errore sull’angolo  può essere molto maggiore dell’errore sul sin. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Un’importante equazione trascendente
Mediante le espressioni complesse delle funzioni trigonometriche, possiamo risolvere l'importante equazione trascendente: (m > 0) Poniamo: (|q| < 1) Lagrange, usando appunto le espressioni complesse, dimostrò che : 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Lo sviluppo in serie binomiale - 1
Dato un numero reale qualunque m, si ha: in cui si è usata la notazione abbreviata: e in cui: In particolare: 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

dati i 3 angoli, i 3 lati non sono univocamente determinati
I triangoli piani - 1 Consideriamo ora un triangolo piano, avente vertici A, B, C, lati a, b, c (perimetro 2s = a+b+c) e angoli opposti ai lati , ,  . E’ ben noto che : Cioè la conoscenza di due angoli è sufficiente per determinare il terzo. In generale la conoscenza di 3 elementi è sufficiente per trovare gli altri 3, con la notevole eccezione: dati i 3 angoli, i 3 lati non sono univocamente determinati (mentre, dati i 3 lati, i 3 angoli sono univocamente determinati). 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

I triangoli piani - 2 Utili relazioni sono: (Legge dei seni, in cui R è il raggio del cerchio circoscritto) (Legge del coseno) (legge delle tangenti) 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

I triangoli piani - 3 (note come formule di Brigg), in cui: è il raggio del cerchio inscritto è l’area. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Una applicazione dello sviluppo in serie binomiale al triangolo piano
Riprendiamo la formula del coseno: che scriviamo come: Supponiamo che sia b/c << 1 per cui possiamo trascurare (b/c)2. Poniamo allora bcos = x . Siccome sia a che c sono quantità positive avremo, dallo sviluppo in serie binomiale: che useremo varie volte nel seguito. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Elementi di trigonometria sferica
La trigonometria sferica trova le sue origini nel mondo greco, con Ipparco di Nicea (circa 180 B.C.), and poi con Claudio Tolomeo (II secolo D.C.). Nel XIX secolo, Carl F. Gauss mise in forma sistematica le relazioni che verranno qui usate. - La sfera è il luogo, nello spazio 3D cartesiano, dei punti che hanno la stessa distanza R da un dato centro O. - La sua superficie è dunque finita ma illimitata. - Ogni piano passante per il centro definisce sulla sfera un cerchio massimo di raggio R; consideriamo uno di questi come piano equatoriale. La retta passante per O e perpendicolare al piano equatoriale definisce sulla sfera due punti che sono i poli del cerchio massimo. - Poniamo ora R = 1, in modo che l’area sulla superficie si possa esprimere in steradianti, o in unità pratiche gradi quadrati. - L’area di tutta la sfera è allora: 4 sr = 4 (360/2) 2 = / ≈ gradi quadrati 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

I triangoli sferici -1 Tre cerchi massimi dividono la sfera in 8 porzioni: chiameremo triangolo sferico quella parte i cui lati sono tutti minori di , cioè quella parte contenuta tutta in un emisfero (N:B: tra 0 e , l’arccos è a valore singolo, l’arcsin no!) . Si usa indicare i vertici con le lettere maiuscole A,B,C, e i lati con le lettere minuscole a, b, c corrispondenti al vertice opposto. L'angolo nel vertice A o B o C si indica con la stessa lettera del vertice, ma in corsivo, A, B, C. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

I triangoli sferici -2 Sulla sfera di raggio unitario, l'arco di cerchio massimo K'H' ha lunghezza  pari all'angolo al centro K'OH' oppure all'angolo al polo KPH = K'PH'. Il triangolo sferico è fatto dunque di 3 archi massimi; ad es. HK non è lato di un triangolo sferico, e anzi la distanza tra H e K misurata sul parallelo è sempre maggiore di quella misurata sul cerchio massimo. Un triangolo sferico può avere tutti e tre gli angoli retti; In generale: 0 < a + b + c < 2 ,  < A + B + C <3 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Geodesica sulla sfera Si noti che c’è un solo circolo massimo che colleghi due punti sulla sfera (a meno che i punti non siano diametralmente opposti), ma infiniti cerchi minori; la distanza angolare tra i due punti è allora univocamente definita solo lungo il cerchio massimo, e si può dimostrare che è anzi il percorso di lunghezza minima che li colleghi . Si usa dire allora che l’arco di cerchio massimo è la geodesica tra i due punti sulla sfera, così come la linea retta lo è per due punti nello spazio euclideo. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Relazioni di Gauss (legge dei coseni) (legge dei seni) e simili permutando le lettere. Dunque, in un triangolo sferico, i 3 lati sono determinati univocamente dai 3 angoli, una proprietà non presente nei triangoli piani. Un altro modo di esprimere lo stesso concetto: non c’è bisogno di uscire dalla superficie della Terra per misurarne la curvatura (e con le opportune modifiche, dall’Universo). 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Eccesso sferico e area del triangolo
In un triangolo sferico, si dice eccesso sferico la quantità: In un generico triangolo sferico si ha la relazione: e simili per b and c. L’area del triangolo sulla sfera di raggio unitario vale proprio  sr, e quella sulla sfera di raggio R vale: nelle stesse unità di R2. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Triangoli sferici quasi-piani
Intuitivamente, quando i lati del triangolo sferico sono molto piccoli in confronto con il raggio della sfera, si può ricorrere alla approssimazione di un triangolo piano, sul piano tangente alla sfera. Per una migliore approssimazione, Legendre ha dimostrato che un piccolissimo triangolo sferico è equivalente a un triangolo piano avente gli stessi lati a, b, c e angoli: 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Coordinate cartesiane e polari
Nelle applicazioni astronomiche in cui siano note le distanze all'astro useremo sia sistemi di riferimento cartesiani (x, y, z) che sistemi di riferimento polari sferici (r, , ), a seconda della convenienza. Le trasformazioni da polari a cartesiane sono: 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Da cartesiane a polari Le trasformazioni inverse sono: Abbiamo dato anche l'espressioni dei differenziali, che sono utili per valutare sia l'effetto di piccoli incrementi che di errori di misure (e in tal caso conviene usare i moduli per massimizzare la stima dell'errore). 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Vettori Il calcolo vettoriale è utilissimo nel caso del Sistema Solare, perché le distanze possono essere accuratamente determinate, ma trova impiego anche in problemi legati alla sfera celeste in generale. Siano i,j,k i vettori unitari lungo (x,y,z); la posizione del punto H sulla sfera unitaria può essere rappresentata dal vettore unitario rH: e con riferimento alle coordinate angolari (, ) sarà: 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Operazioni sui vettori - 1
Dati due vettori a, b la loro somma è il vettore c dato da: Proprietà associativa e commutativa della somma: Il vettore differenza d è: Il prodotto scalare tra due vettori è il numero c dato da : 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Il prodotto vettoriale è il vettore: Il prodotto vettoriale gode della proprietà associativa, ma non di quella commutativa: Il prodotto vettoriale si usa anche per definire il momento di una forza F: consideriamo un punto qualunque O e una forza F la cui direzione non passi per O. Si conduca da O un vettore r a un punto qualunque lungo la direzione di F. Il momento di F rispetto a O è il vettore K: 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Un vettore può essere derivato e integrato: In Dinamica e in Meccanica Celeste si usa spesso (ma non sempre) indicare le derivate prime e seconde di un vettore nella seguente maniera: 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

E' importante ricordare che non tutte le entità specificate da un modulo e da una direzione sono vettori bona fide. La legge di composizione e la proprietà commutativa sono anche elementi essenziali per la definizione di vettore. In particolare, rotazioni angolari finite di un corpo rigido non sono vettori, perché non obbediscono alla proprietà commutativa. Tuttavia, rotazioni infinitesime, e dunque anche le velocità angolari, sono davvero vettori. Incontreremo poi vettori r riferiti a un sistema di coordinate ruotante con velocità angolare  rispetto a un riferimento inerziale. La derivata totale di r rispetto agli assi inerziali sarà: 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Esempio: il movimento del centro del Sole rispetto al baricentro B del sistema solare Questo esempio verrà illustrato con maggior dettaglio in seguito, ma qui si vuole dare un'idea delle distanze coinvolte. Si ricordino i seguenti valori approssimati: - il raggio del Sole è 7x105 km. - 1 Unità Astronomica è pari a 1.5x108 km = 200 raggi solari. Dunque all’epoca presente il baricentro B del sistema solare è apprezzabilmente esterno al disco del Sole. Il pianeta di gran lunga dominante in queste considerazioni è Giove, la cui massa è circa 1/1000 della massa del Sole. Intervengono poi Saturno, Venere, la Terra, e gli altri pianeti. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Che trasformazioni applicare?
Come si è accennato, le trasformazioni tra i vari sistemi di riferimento che tra poco introdurremo sono delle roto-traslazioni rigide. Ne vedremo vari esempi. Tuttavia, nelle trasformazioni tra riferimenti in moto relativo può intervenire la velocità finita della luce a alterare le direzioni apparenti degli astri. Quando poi dovremo trasformare sistemi di riferimento di velocità e di accelerazione (derivate prime e seconde delle posizioni rispetto al tempo), sorgerà una ulteriore difficoltà: - le derivate vanno fatte rispetto al tempo, e allora quale tempo si deve usare? Ne daremo varie definizioni operative. Approfondiremo questi concetti dopo aver trattato i vari sistemi di riferimento. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Esercizio svolto nr. 1 Area del triangolo sferico per 3 stelle Le coordinate di 3 stelle in un generico riferimento sferico sono: (,)A = (0°, 0°), (,)B = (1°, 0°), (,)C = (1°, 1°) Ricavare gli elementi e l’area del triangolo. Ripetere l’esercizio se le coordinate sono: (,)A = (0°, 0°), (,)B = (15°, 0°), (,)C = (15°, 45°) Nel primo caso, il triangolo ha lati sufficientemente piccoli da potersi considerare piano, con angolo retto nel secondo vertice. Pertanto l’area sarà A = ½ gradi quadrati = 1.2x10-5 sr. Nel secondo caso invece, il triangolo deve essere considerato completamente sferico. Due lati valgono rispettivamente a = 15° e b = 45°, mentre l’angolo in B è retto. Ricaviamo il lato c che passa per A e per C: c = 46°.9205, sin c = Dalla formula dei seni: B = 75° A = 20°.754 Vediamo facilmente che l’eccesso sferico è pari a  = 6°.24, cioè l’area è pari a: /180 = sr. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Esercizio svolto nr. 2 Completiamo l’esercizio calcolando l’area del triangolo sferico per A, B e il polo. In tal caso il lato b e il lato c divengono di 90°, come pure gli angoli A e B. L’angolo al polo è 15°, per cui l’area del triangolo sferico sta all’area della semi-volta celeste come 15/360 = 0.04, e dunque l’area vale 0.04x2 = sr. Da un altro punto di vista, se dividiamo la sfera in 24 fusi orari, ciascun fuso ha un’area di 4/24 = sr, e dunque il triangolo dall’equatore verso il Polo ha metà di questo. Per differenza ricaviamo anche che l’area PAC vale – = sr. Lo si dimostri direttamente. 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Esercizio svolto nr. 3 ricordiamo gli sviluppi in serie di sen e tan: Quando l’arco a e' piccolo, l'errore commesso confondendo il seno con l'arco e' inferiore al primo termine trascurato, cioè a quello in a3; nel caso della tangente e' un po' superiore al doppio di quello commesso per il seno, e in senso contrario (il termine in a5 supera 0".01 solo a circa 5°). Calcoliamo il valore massimo che si può dare ad a affinché l'errore sia inferiore a un limite prefissato, mettiamo 1". Si avrà: Quando si può confondere l'arco con il suo seno, quest'ultima funzione restituisce il valore dell'angolo in radianti. Per convertirlo in secondi d'arco lo si moltiplica per ".8. Se ad es. sena = , se ne conclude che a = x206264".8 = 290".83. Dunque si ha: 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

Alcuni esercizi per casa
la Luna ha parallasse media di 3422".70, si esprima il seno della parallasse in secondi d'arco arrestandosi al secondo termine. sia sulla superficie terrestre a = 5000 m, b = 3000 m,  = 40°.5. Si trovino gli altri elementi del triangolo. Dato il rettangolo piano con vertici A, B sulla superficie della terra, di lato c = km e angoli ad esso adiacenti  = 87°,  = 88°, si vogliano gli altri elementi del triangolo; in questo caso, il lato c e' da intendersi come corda passante per i due vertici di base, mentre il vertice C puo' essere un satellite. Discutiamo in 2) gli effetti degli errori di misura, supponendo che l'errore su c sia di 0.1 km, e quelli sugli angoli ,  di 1' Si discuta la propagazione degli errori con il tendere di ,  entrambi verso 90° 18/04/2005 C. Barbieri Astronomia I AA

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