Un problema multi impianto Un’azienda dispone di due fabbriche A e B. Ciascuna fabbrica produce due prodotti: standard e deluxe Ogni fabbrica, A e B, gestisce.

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1 Un problema multi impianto Un’azienda dispone di due fabbriche A e B. Ciascuna fabbrica produce due prodotti: standard e deluxe Ogni fabbrica, A e B, gestisce due processi produttivi: smerigliatura (grinding) e lucidatura (polishing) Ogni unità di prodotto da luogo ad un profitto unitario riportato in tabella

2 Un problema multi impianto I tempi di smerigliatura e lucidatura (espressi in ore per unitá di ogni tipo di prodotto) nelle due fabbriche sono diversi e riportati in tabella La fabbrica A ha macchinari per la smerigliatura con capacità di 80 ore settimanali e per la lucidatura con capacità di 60 ore settimanali La fabbrica B ha macchinari per la smerigliatura con capacità di 60 ore settimanali e per la lucidatura con capacità di 75 ore settimanali

3 Un problema multi impianto Disponibilitá di materiale grezzo Ogni prodotto (standard o deluxe) richiede 4 kg di materiale grezzo L’azienda dispone di 120 kg di materiale grezzo a settimana Determinare il livello di produzione ottimo (ovvero che massimizza il profitto)

4 Un problema multi impianto Disponibilitá di materiale grezzo 120 kg. 75 Kg sono assegnati alla Fabbrica A 45 Kg sono assegnati alla Fabbrica B A possible scenario Dunque abbiamo due modelli matematici Fabbrica A Fabbrica B

5 Modello Matematico per la fabbrica A Le variabili di decisione per la fabbrica A sono le quantità di ciascun tipo di prodotti La funzione obiettivo è il profitto che deve essere massimizzato (max) standard = x 1, deluxe = x 2 max 10 x 1 + 15 x 2 x 1, x 2 >= 0 Vincoli:Disponibilità di materiale grezzo 4 x 1 + 4 x 2 <= 75 Kg of raw material for unit of standard product Kg of raw material for unit of deluxe product Profitto di un’unità di prodotto standard Profitto di un’unità di prodotto deluxe

6 Modello Matematico per la fabbrica A (2) Ulteriori vincoli: 4 x 1 + 2 x 2 <= 80 Vincoli di processo Grinding process 2 x 1 + 5 x 2 <= 60 Polishing process max 10 x 1 + 15 x 2 4 x 1 + 4 x 2 <= 75 4 x 1 + 2 x 2 <= 80 2 x 1 + 5 x 2 <= 60 x 1, x 2 >= 0 Modello completo per la fabbrica A

7 4 x 1 + 4 x 2 = 75 Soluzione geometrica: insieme amissibile Grafico l’insieme F delle possibile soluzioni ammissibili 5 10 15 20 25 30 35 40 45 510152025303540 45 x1x1 x2x2 The constraint 4 x 1 + 2 x 2 = 80 does not play any role in defining the feasible region: removing it does not change F 2 x 1 + 5 x 2 = 60 4 x 1 + 2 x 2 = 80 Bad use of resources ! regione ammissibile I punti non negativi indicati concostituiscono la

8 4 x 1 + 4 x 2 = 75 Soluzione geometrica: profitto Fabbrica A In the plane ( x 1, x 2 ), draw the equation of the profit P TOT for increasing values 510152025303540 45 x1x1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 x2x2 2 x 1 + 5 x 2 = 60 P TOT = 10 x 1 + 15 x 2 =0 =150 =300 P TOT =0 P TOT = 150 P TOT = 300 They are parallel lines Find the value of P TOT such that the corresponding line “touch” the points P TOT =300 does not touch any point in F

9 4 x 1 + 4 x 2 = 75 Soluzione geometrica: In the plane ( x 1, x 2 ), draw the parallel lines to the equation P TOT = 10 x 1 + 15 x 2 =0 until the last point is found that “touches” the feasible region 510152025303540 45 x1x1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 x2x2 2 x 1 + 5 x 2 = 60 P TOT =0 materiale Ore lavoro 2 x 1 + 5 x 2 = 60 4 x 1 + 4 x 2 = 75 Optimal solution P TOT = 10 x 1 + 15 x 2 = 112.5 + 112.5 = 225

10 Foglio Excel per analisi di scenario fabbrica A data x 1 =C9, x 2 =D9 Decision variables = level of production Profit = C4*C9+D4*D9 Raw constraint = C5*C9+D5*D9 Grinding constraint = C6*C9+D6*D9 Polishing constraint = C7*C9+D7*D9

11 Using the Solver constraints Objective function = profit Decision variables

12 Modello Matematico per la fabbrica B The two type of products are the decision variables for FACTORY B Objective function is the profit to be maximize standard = x 3, deluxe = x 4 max 10 x 3 + 15 x 4 x 3, x 4 >= 0 Constraints: Availability of raw material 4 x 3 + 4 x 4 <= 45

13 Modello Matematico per la fabbrica B (2) Constraints: Technological constraints 5 x 3 + 3 x 4 <= 60 Grinding process 5 x 3 + 6 x 4 <= 75 Polishing process max 10 x 3 + 15 x 3 4 x 3 + 4 x 3 <= 45 5 x 3 + 3 x 4 <= 60 5 x 3 + 6 x 4 <= 75 x3, x 3 >= 0 Overall model for factory B

14 Soluzione geometrica: insieme amissibile Let draw the set F of the feasible solutions for factory B In the plane ( x 3, x 4 ), draw the equations of the constraints 5 x 3 + 3 x 4 = 60 5101520304050 x3x3 5 10 15 20 30 40 50 x4x4 4 x 3 + 4 x 4 = 45 5 x 3 + 6 x 4 = 75 Feasible region All non negative pointsconstitutes the Two constraints 5 x 3 + 6 x 4 = 75 and 5 x 3 + 3 x 4 = 60 do not play any role in defining the feasible region: removing them does not change F Bad use of resources !

15 Soluzione geometrica 51020304050 x3x3 5 10 15 20 30 40 50 x4x4 4 x 3 + 4 x 4 = 45 In the plane ( x 3, x 4 ), draw the parallel equations of the profit P TOT for increasing values P TOT = 10 x 3 + 15 x 4 =0 =100 Find the value of P TOT such that the corresponding line “touch” the points P TOT =0 P TOT = 100 Raw material x 3 = 0 4 x 3 + 4 x 4 = 45 P TOT = 112.5 Optimal solution =

16 Foglio Excel per analisi di scenario fabbrica B data x 3 =C9, x 4 =D9 Decision variables = level of production Profit = C4*C9+D4*D9 Raw constraint = C5*C9+D5*D9 Grinding constraint = C6*C9+D6*D9 Polishing constraint = C7*C9+D7*D9 Note: the excel formulae are the same for factory A and B. The model is independent from data

17 Uno sguardo “globale” sull’azienda in questo scenario Overall production = sum of the production of factory A and factory B Profit of the company = sum of the profits of factory A and factory B This solution has been obtained with arbitrary allocation of resources

18 Changing the scenario Factory A is allocated 90 Kg Factory B is allocated 30 Kg The solution has been obtained with arbitrary allocation of raw material, we can see what happens when allocation change 120 kg. Total raw material

19 Changing the scenario: geometric view 51015203040 50 x3x3 5 15 20 30 40 50 x4x4 5101520304050 x1x1 4 x 1 + 4 x 2 = 90 5 10 15 20 30 40 45 50 x2x2 2 x 1 + 5 x 2 = 60 4 x 1 + 2 x 2 = 80 Factory A Factory B 5 x 3 + 3 x 4 = 60 4 x 3 + 4 x 4 = 30 5 x 3 + 6 x 4 = 75 5101520 x1x1 5 10 15 20 x2x2 5101520 x3x3 5 10 15 20 x4x4 new optimum for A new optimum for B P TOT = 250 P TOT = 112.5

20 Changing the scenario: excel view Factory A Profit is higher than the preceding scenario Factory B Profit is lower than the preceding scenario

21 Look at the company in the new scenario Overall production = sum of the production of factory A and factory B Profit of the company = sum of the profits of factory A and factory B This solution is worst than the preceding one

22 Mathematical model for the company The two type of products produced in FACTORY A and B are the decision variables Objective function is the overall profit to be maximize max 10 x 1 + 15 x 2 + 10 x 3 + 15 x 4 standard in factory A= x 1, deluxe in factory A = x 2 standard in factory B= x 3, deluxe in factory B= x 4 x 1, x 2, x 3, x 4 >= 0

23 Mathematical model for the company (2) Constraints: 4 x 1 + 2 x 2 <= 80 5 x 3 + 3 x 4 <= 60 Technological constraints Grinding process 2 x 1 + 5 x 2 <= 60 5 x 3 + 6 x 4 <= 75 Polishing process Constraints:Availability of raw material Factory A Factory B Factory A 4 x 1 + 4 x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 <= 120 Common constraint

24 Mathematical model for the company max 10 x 1 + 15 x 2 + 10 x 3 + 15 x 4 4 x 1 + 2 x 2 <= 80 5 x 3 + 3 x 4 <= 60 2 x 1 + 5 x 2 <= 60 5 x 3 + 6 x 4 <= 75 4 x 1 + 4 x 2 +4 x 3 + 4 x 4 <= 120 x 1, x 2, x 3, x 4 >= 0 More than two variables: we can solve it with the Solver

25 Excel table for the company x 1 =C10, x 2 =D10, x 3 =E10, x 4 =F10 Decision variables = level of production Profit = C4*(C10+E10)+D4*(D10+F10) Raw constraint = C5*(C10+ E10 )+D5*(D10+F10)

26 Setting the solver

27 Optimal solution for the company Optimal production: deluxe = 20.8, standard = 9.17 Profit = 404.16 Better than 393.75 obtained with the arbitrary allocation