A.S.E.14.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 14 Rappresentazione esponenzialeRappresentazione esponenziale Virgola mobileVirgola mobile Operazioni.

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1 A.S.E.14.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 14 Rappresentazione esponenzialeRappresentazione esponenziale Virgola mobileVirgola mobile Operazioni in virgola mobileOperazioni in virgola mobile Algoritmi per le operazioniAlgoritmi per le operazioni

2 A.S.E.14.2 Richiami Interi assolutiInteri assoluti Somma, sottrazioneSomma, sottrazione MoltiplicazioneMoltiplicazione Interi relativiInteri relativi Somma, sottrazioneSomma, sottrazione MoltiplicazioneMoltiplicazione Virgola mobileVirgola mobile Errori di rappresentazioneErrori di rappresentazione

3 A.S.E.14.3 Rappresentazione esponenziale La rappresentazione fixed point (e quindi quella intera) hanno in  A costanteLa rappresentazione fixed point (e quindi quella intera) hanno in  A costante Esistono rappresentazioni con  R costanteEsistono rappresentazioni con  R costante –31415.9212 = 3.141592 10 4 –0.00314159212 = 3.141592 10 -3 Evidentemente,  A e’ molto diverso nei due casiEvidentemente,  A e’ molto diverso nei due casi In generale, d 0. d -1 d -2 d -3 …d -n 10 espon.In generale, d 0. d -1 d -2 d -3 …d -n 10 espon. –d 0  0 –In base 2, l’unica cifra diversa da 0 e’ 1….

4 A.S.E.14.4 Virgola mobile 1 Dato un generico numero reale W*Dato un generico numero reale W* Si può rappresentare in complemento a due con N bit utilizzando W tale che:Si può rappresentare in complemento a due con N bit utilizzando W tale che: Esempio N = 10 (+esponente 6 bit)Esempio N = 10 (+esponente 6 bit) mantissa esponente

5 A.S.E.14.5 Virgola mobile 2 Fra tutte le rappresentazioni possibili ne esiste una che utilizza al meglio la dinamica a disposizione ( minimo errore)Fra tutte le rappresentazioni possibili ne esiste una che utilizza al meglio la dinamica a disposizione ( minimo errore) Per numeri positivi èPer numeri positivi è Per numeri negativi èPer numeri negativi è

6 A.S.E.14.6 Virgola mobile 3 La rappresentazione normalizzata è caratterizzata dal fatto che le due cifre più significative sono diverseLa rappresentazione normalizzata è caratterizzata dal fatto che le due cifre più significative sono diverse Esempio rappresentare  su 10 bitEsempio rappresentare  su 10 bit

7 A.S.E.14.7 Virgola mobile 4 Esempio rappresentare -  su 10 bitEsempio rappresentare -  su 10 bit

8 A.S.E.14.8 Somma in virgola mobile calcolare  + ln59 =3.1415 + 4.0775=7.219calcolare  + ln59 =3.1415 + 4.0775=7.219

9 A.S.E.14.9 Prodotto in virgola mobile calcolare  ∙ ln59 =3.1415 ∙ 4.0775=12.8099calcolare  ∙ ln59 =3.1415 ∙ 4.0775=12.8099

10 A.S.E.14.10 Aritmetica in Virgola Mobile Consideriamo X=X M xB XEConsideriamo X=X M xB XE Somma Z = X+Y=(X M 2 XE-YE +Y M )x2 YESomma Z = X+Y=(X M 2 XE-YE +Y M )x2 YE Sottrazione Z = X-Y=(X M 2 XE-YE -Y M )x2 YESottrazione Z = X-Y=(X M 2 XE-YE -Y M )x2 YE Moltiplicazione Z = XxY=(X M xY M )x2 XE+YEMoltiplicazione Z = XxY=(X M xY M )x2 XE+YE Divisione Z = X÷Y=(X M ÷Y M )x2 XE-YEDivisione Z = X÷Y=(X M ÷Y M )x2 XE-YE Somma e sottrazione sono più complesse di moltiplicazione e divisione!Somma e sottrazione sono più complesse di moltiplicazione e divisione! –Occorre allineare gli esponenti prima di effettuare l’operazione Slides adattate da webservices.polito.it/.../architettura_dei_calcolatori/ lucidi/aa1998-99/aritm-virg-mob.PDF

11 A.S.E.14.11 Somma e Sottrazione Richiedono che gli esponenti siano uguali prima di eseguire la somma (sottrazione) delle mantisse.Richiedono che gli esponenti siano uguali prima di eseguire la somma (sottrazione) delle mantisse. La sottrazione può essere ricondotta alla somma cambiando il segno del sottraendo.La sottrazione può essere ricondotta alla somma cambiando il segno del sottraendo. La procedura si compone di 4 passi:La procedura si compone di 4 passi: –identificazione di operandi nulli –allineamento degli esponenti –somma o sottrazione delle mantisse –normalizzazione del risultato.

12 A.S.E.14.12 Identificazione di Operandi Nulli

13 A.S.E.14.13 Allineamento degli Esponenti

14 A.S.E.14.14 Somma/Sottrazione delle Mantisse

15 A.S.E.14.15 Normalizzazione del Risultato

16 A.S.E.14.16 Moltiplicazione e Divisione Si compongono delle seguenti fasi:Si compongono delle seguenti fasi: –identificazione di operandi nulli –somma/sottrazione degli esponenti –moltiplicazione/divisione delle mantisse –normalizzazione e arrotondamento.

17 A.S.E.14.17 Somma/Sottrazione degli Esponenti

18 A.S.E.14.18 Polarizzazione dell’Esponente Se si esegue la somma/sottrazione su esponenti polarizzati,Se si esegue la somma/sottrazione su esponenti polarizzati, al termine è necessario sottrarre o sommare il valore dellaal termine è necessario sottrarre o sommare il valore della polarizzazione.polarizzazione. EsempioEsempio Si supponga che il valore di polarizzazione sia 8.Si supponga che il valore di polarizzazione sia 8. X E = 15 = 7+8X E = 15 = 7+8 Y E = 5 = -3+8Y E = 5 = -3+8 ------------------------------------------------------------------------------------ 20 = 4+8+820 = 4+8+8 Correzione: si sottrae 8.Correzione: si sottrae 8.

19 A.S.E.14.19 Situazioni Particolari Se la mantissa diventa nulla, bisogna azzerare anche l’esponente.Se la mantissa diventa nulla, bisogna azzerare anche l’esponente. Nel caso di overflow ed underflow derivanti da operazioni sulla mantissa, si può riparare scalando la mantissa e incrementando/decrementando l'esponente.Nel caso di overflow ed underflow derivanti da operazioni sulla mantissa, si può riparare scalando la mantissa e incrementando/decrementando l'esponente. Nel caso di underflow ed overflow dell'esponente si deve produrre una segnalazione di errore.Nel caso di underflow ed overflow dell'esponente si deve produrre una segnalazione di errore.

20 A.S.E.14.20 Conclusioni Rappresentazione esponenzialeRappresentazione esponenziale Virgola mobileVirgola mobile Operazioni in virgola mobileOperazioni in virgola mobile Algoritmi per le operazioniAlgoritmi per le operazioni