GLI INSIEMI.

Presentazione sul tema: "GLI INSIEMI."— Transcript della presentazione:

1 GLI INSIEMI

2 LA STORIA COSA SONO APPARTENENZA E NON APPARTENENZA RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME SOTTOINSIEMI LE OPERAZIONI

3 LA STORIA Il concetto di insieme è sicuramente nato con l’uomo,si pensi a un insegnante che si rivolge agli alunni della propria classe come ad un unico soggetto . Per una teoria organica bisogna giungere però a Georg Cantor ( ) matematico tedesco di origine russa, il quale intorno al 1870 fornì una trattazione sistematica della teoria degli insiemi e solo nel 1895 pubblicò l’opera «I CONTRIBUTI A UNA FONDAZIONE TRASFINITA DEGLI INSIEMI». In essa Cantor afferma che non ha importanza la natura degli elementi con cui si opera bensì le leggi delle operazioni a caratterizzare l’insieme risultato. Gli studi di Cantor diedero origine alla cosiddetta teoria ingenua degli insiemi che però non era priva di contraddizioni. Il primo a mettere in evidenza tali contraddizioni fu il matematico e filosofo inglese Bertrand Russel ( ), con lui comincia il cosiddetto” periodo della crisi dei fondamenti “ della matematica che però fu superato grazie a studi successivi che limitavano e precisavano i criteri per comprendere un insieme. Agli inizi del 1900 Ernst Zermelo ( )sviluppava una nuova teoria detta assiomatica che superava le contraddizioni della teoria ingenua e che è ancora oggi attuale.

4 COSA SONO

5 Pare che una volta CANTOR per far conoscere la propria concezione degli insiemi abbia esclamato, guardando verso l’infinito: «Io mi raffiguro un insieme come un abisso»

6 DEDEKIND, invece, si raffigurava un insieme come un sacco chiuso che contenesse degli oggetti determinati, che non si potevano né vedere, né conoscere salvo il fatto che erano determinati.

7 UN GRUPPO DI UCCELLI IN VOLO É CHIAMATO «STORMO»
UN GRUPPO DI NAVI FORMA UNA «FLOTTA» UN GRUPPO DI UCCELLI IN VOLO É CHIAMATO «STORMO»

8 …QUINDI UN INSIEME È UNA COLLEZIONE DI OGGETTI, CONSIDERATI NELLA LORO GLOBALITÀ

9 Gli oggetti, le persone, ecc
Gli oggetti, le persone, ecc. che formano un insieme si definiscono elementi. Essi devono essere riconoscibili e distinti fra loro.

10 VEDIAMO SE HAI CAPITO

11 Stabilisci quali delle seguenti frasi individuano un insieme
I libri di una biblioteca I ragazzi studiosi Gli uomini alti I giorni della settimana NO SI SI NO SI NO

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13 Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

14 APPARTENENZA E NON APPARTENENZA

15 APPARTENENZA E NON APPARTENENZA
Indicheremo, in generale, gli insiemi con le lettere maiuscole A, B, C….. e gli elementi con quelle minuscole: a, b, c….. Per affermare che S è un insieme e a un suo elemento useremo i simboli e Il primo per indicare che a appartiene a S e il secondo per indicare che non vi appartiene.

16 VEDIAMO SE HAI CAPITO

17 Dato l’insieme A = { 2, 3, 5, 7 } indica quali delle seguenti affermazioni sono vere o false:
a) A V F b) c A V F c) A V F d) 4 A V F

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19 Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

20 RAPPRESENTAZIONE DI UN INSIEME
TABULARE GRAFICA PER CARATTERISTICA

21 La rappresentazione tabulare consiste nell’elencare se possibile tutti gli elementi di un insieme. Per esempio l’insieme A delle lettere della parola mare è: A = { m, a, r, e }

22 La rappresentazione grafica consiste nell’indicare gli elementi di un insieme con punti interni a una linea piana chiusa e non intrecciata.Tale rappresentazione si deve al logico inglese VENN che ideò il metodo più originale, anche se altri come EULERO e LEIBNIZ avevano utilizzato questa tecnica soprattutto per la sua efficacia didattica. .a .b .c

23 La rappresentazione caratteristica consiste nello specificare un certo numero di proprietà, che servano a decidere, in modo inequivocabile, quali elementi appartengano all’insieme considerato e quali non vi appartengano. L’insieme A = { 4, 5, 6, 7 } ha la seguente rappresentazione caratteristica: A ={x|x N e 3 < x < 8}

24 SOTTOINSIEMI

25 Sottoinsiemi di un insieme
Dati due insiemi A e B si dice che B è sottinsieme di A se tutti gli elementi di B appartengono anche ad A. Si dice anche che B è incluso in A e si scrive : B A Oppure che A include B e si scrive: A B. .6 .4 .8 .2 B .16 A .14 .10 .12

26 VEDIAMO SE HAI CAPITO

27 Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2}, C = {2,5}
Considera gli insiemi A = {1,2, 3, 4}, B = {1,2}, C = {2,5}. Quali delle seguenti affermazioni sono vere e quali false? A B V F B C V F B = C V F B A V F

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29 Forse non hai capito il concetto. Rivedilo e poi riprova.

30 LE OPERAZIONI INTERSEZIONE UNIONE DIFFERENZA PRODOTTO CARTESIANO

31 INTERSEZIONE Dati due insiemi A e B, si dice loro intersezione l’insieme C i cui elementi appartengono sia ad A che a B. Per indicare che C è l’intersezione di A e B si scrive: C = A B 6 8 1 A B

32 Può capitare che due insiemi non abbiano elementi comuni, ad esempio gli insiemi P = {a, b, c, d} e Q = { r, s, t}; in questo caso l’intersezione dei due insiemi è l’insieme vuoto e si dice che i due insiemi sono disgiunti. I due insiemi si rappresentano separatamente. .a .b .c d Q P .r .s .t

33 L’UNIONE Dati due insiemi A e B, si dice loro unione l’insieme D i
cui elementi appartengono ad A oppure a B. Per indicare che D è l’unione di A e B si scrive: D = A B 4 1 B 5 2 6 A 3 D 2 3 4 1 5 6

34 LA DIFFERENZA Dati due insiemi A e B, si dice insieme differenza A – B l’insieme degli elementi di A che non appartengono a B. Quando B è un sottinsieme di A, allora l’insieme differenza viene anche detto insieme complementare di B rispetto ad A. A B .e .f .g .a b .c d A – B = {a,c} B – A A – B

35 PRODOTTO CARTESIANO COPPIE ORDINATE PRODOTTO CARTESIANO

36 Coppie ordinate Per coppia ordinata si intende un insieme di due elementi nei quali è fissato chi deve essere il primo e chi il secondo. Se i due elementi della coppia sono x e y, si scrive (x,y), se x è il primo elemento e y il secondo; (y,x), se y è il primo elemento e x il secondo.

37 PRODOTTO CARTESIANO Dati due insiemi A e B non vuoti, si chiama prodotto cartesiano A B = {( x,y) | x A e y B }. Si può rappresentare in vari modi,i più comuni sono: per elencazione, i diagrammi di Venn, le tabelle a doppia entrata.

38 Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b}
A B = {( 1,a), (1,b), (2,a), (2,b), (3,a), (3,b)}

39 .a .b .(1,b) .(2,a) .(2,b) .(1,a) .(3,a) .(3,b)
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b} 1. 2 . 3. .a .b A B .(1,b) .(2,a) .(2,b) .(1,a) .(3,a) .(3,b) A B

40 1 2 3 a ( 1, a ) ( 2, a ) ( 3, a ) b ( 1, b) ( 2, b ) ( 3, b )
Dati gli insiemi A = {1, 2, 3} e B = {a, b} A 1 2 3 B a ( 1, a ) ( 2, a ) ( 3, a ) b ( 1, b) ( 2, b ) ( 3, b )