David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (p.161) « Riguardo alla dimostrazione, di solito lo.

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2 David Eugene Smith The teaching of geometry (1911, Boston) Cap. XIII. How to attack the exercises (p.161) « Riguardo alla dimostrazione, di solito lo studente vagola pi ù o meno finch é imbrocca la via giusta e la segue fino alla conclusione. Non deve essere rimproverato se fa questo, perch é segue il metodo che si è seguito e si seguir à da che mondo è mondo. Questo è il metodo sintetico, costruire la dimostrazione da proposizioni precedentemente provate. [...].

3 Ma si dovrebbe dire agli studenti che se essi non trovano abbastanza facilmente le proposizioni necessarie per costruire la dimostrazione, conviene che non rimandino di rivolgersi ad un altro e pi ù sistematico metodo. Questo è noto come il metodo di analisi ed è applicabili a teoremi ed a problemi. Ha molte forme, ma per lo studente non sono poi cos ì importanti queste distinzioni, bens ì basta dargli l ’ idea di base di queste forme, un ’ idea che risale a Platone (V sec. a.C.).

4 Per un teorema, il metodo di analisi consiste nel ragionare come segue: « Posso provare questa proposizione se posso provare questa cosa; posso provare questa cosa se posso provare questa; posso provare questa se posso provare una terza cosa ». Questo non prova la proposizione, ma permette allo studente di rovesciare il processo, iniziando con la cosa che può provare e andando indietro, passo passo, alla cosa che è da provare. Dunque l ’ analisi è il suo metodo di scoperta del modo in cui può sistemare le dimostrazioni in geometria. Gli studenti spesso si chiedono come uno ha fatto a farsi venire in mente come sistemare le dimostrazioni in geometria e questo [l ’ analisi] risponde alla domanda. Qualcuno ha congetturato che un dato enunciato fosse vero; ha applicato l ’ analisi e trovato che poteva provarlo; ha applicato la sintesi e lo ha provato.

5 Per un problema, il metodo di analisi è lo stesso che nel caso del teorema. Invero, sono coinvolte due cose invece di una, perch é in questo caso si deve fare la costruzione e poi provare che essa è corretta. Dunque lo studente prima suppone il problema risolto e vede che risultati seguono. Poi rovescia il processo e vede se riesce ad avere questi risultati e fa la costruzione richiesta. Se la cosa funziona, espone il processo e la dimostrazione risultante.

6 In un triangolo ABC disegnare la retta PQ parallela alla base AB che taglia i lati nei punti P e Q, cosicch é PQ valga AP + BQ

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8 Analisi S upponiamo il problema risolto. Allora AP sar à uguale ad un pezzo di PQ, sia PX, e BQ sar à uguale a QX. Ma se AP = PX, a che cosa è uguale l ’ angolo  PXA? PQ è parallelo ad AB, a che cosa è uguale  PXA? Allora perch é  BAX =  XAP? Analogamente, per  QBX e  XBA Sintesi Costruzione: Rovesciamo il processo. Che cosa possiamo fare all ’ angolo in A e in B per trovare X? E poi come come sar à disegnato PQ? A questo punto si d à la dimostrazione [sintesi].

9 Alfredo Sabbatini, Questioni riguardanti le matematiche elementari, parte II, edizione III, 1926Articolo XIII. Sui metodi elementari per la risoluzione dei problemi geometrici (p.3): « L ’ analisi è la strada che parte da ciò che si cerca, come fosse accordato, e conduce per le conseguenze che se ne traggono, a qualche cosa che sia realmente accordata » pi ù avanti a proposito della risoluzione di problemi:

10 « Nel genere problematico noi riguardiamo come eseguito ciò che è proposto, e seguendo le conseguenze che ne risultano, cerchiamo di pervenire a qualche cosa, che sia conosciuta [...] se questa cosa è eseguibile la proposta lo sar à pure » (Gli altri metodi citati sono: - luoghi geometrici, - trasformazioni) Analogo approccio troviamo in Luigi Campedelli, Repertorio di matematiche, 1951 (a cura di M. Villa)

11 I primi riferimenti ad un procedimento di tale tipo dimostrativo si trovano nella Repubblica di Platone: nel celebre passaggio sulla dialettica l ’ autore espone l ’ idea di un doppio percorso dalle idee ai principi (ascendente) e dai principi alle idee (discendente). Tale doppio percorso rappresenta un processo completo di conoscenza. In tale forma viene ripreso e, meglio definito e chiarito da Aristotele. Egli riesce a farne un procedimento dimostrativo. Nel Commento al primo libro degli Elementi di Euclide (V sec. d. C.) si dice che Platone insegnò il suo metodo (analisi) a Leodama [di Taso], che pare abbia fatto molte scoperte geometriche per mezzo di esso.

12 Collectiones mathematicae (Pappi..., 1660, p.240): « Scripserunt autem hac de rerum Euclides, qui elementa tradit, tum Apollonius Pergaeus, tum Aristaeus senior. Quae quidem per resolutionem, & compositionem procedit. Resolutio igitur est via a quaesito tamquam concesso per ea, quae deinceps consequuntur ad aliquod concessum in compositione: in resolutione enim id quod quaeritur tamquam factum ponentes, quid ex hoc contingat, consideramus: & rursum illius antecedens, quousque ita progredientes incidamus in aliquod iam cognitum, vel quod sit è

13 numero principiorum. Et huismodi processum resolutionem appellamus, veluti ex contrario factam solutionem. In compositione autem per conversionem ponentes tamquam iam factum id, quod postremum in resolutione sumpsimus: atque hic ordinantes secundum naturam ea antecedentia, quae illic consequentia erant; & mutua illorum facta compositione ad quaesiti finem pervenimus, & hic modus vocatur compositio »

14 U. Bottazini, P. Freguglia, L. Toti Rigatelli: 1992, Fonti per la storia della matematica (p.88) Quello che è chiamato il campo dell ’ analisi - mio caro Hermodoro - è, complessivamente, una particolare tecnica che fu predisposta, dopo la realizzazione dei basilari e vari Elementi, per coloro che vogliono acquisire in geometria una notevole capacit à a risolvere i problemi che loro vengono proposti; ed è utile per questo soltanto. Fu scritto in merito da tre insigni matematici: Euclide, l ’ autore degli Elementi, Apollonio di Perga ed Aristeo il vecchio, e il loro approccio [allo studio della geometria] avviene appunto attraverso i metodi dell ’ analisi e della sintesi. L ’ analisi è dunque la via, la procedura, che parte da ciò che si cerca, considerato come concesso, per giungere passo dopo passo alla sintesi.

15 Cio è in analisi noi assumiamo ciò che è cercato come se gi à fosse stato ottenuto, e cerchiamo la cosa da cui esso segue, e ancora ciò che viene prima di questa, e via di seguito regredendo in questo modo fino a giungere a qualcosa che gi à conosciamo, o che costituisce un principio primo. Chiamiamo questo tipo di metodo « analisi » da « anapalin lysis » (cio è : ridurre, passare a ciò che precede). Nella sintesi, al contrario, noi assumiamo ciò a cui si era giunti da ultimo con l ’ analisi, come appunto se questo dato fosse gi à ottenuto, e, procedendo quindi in modo logicamente naturale, ciò che prima, nell ’ analisi, seguiva, ora, nella sintesi, precede; giungiamo cos ì alla fine della costruzione alla dimostrazione di ciò che era stato cercato. Dunque in questo consiste quel procedimento che chiamiamo « sintesi ».

16 Costruire il triangolo ABC, dati due lati AB, AC, e la mediana AM, relativa a BC

17 Supponiamo il problema risolto, ossia supponiamo di aver disegnato il triangolo ABC avente i lati AB, AC e la mediana AM, rispettivamente uguali ai tre segmenti assegnati. Prolunghiamo la mediana AM del segmento MD = AM e congiungiamo D con B. Otteniamo un triangolo ADB del quale si conoscono i lati: AB è dato; AD = 2AM; DB = AC per l’uguaglianza dei triangoli AMC, DMB e quindi il triangolo ADB lo sappiamo costruire.

18 Dai tre segmenti dati abbiamo costruito il triangolo ADB, da questo possiamo risalire al triangolo richiesto ABC. Infatti, costruito il triangolo ADB e unito il punto medio M di AD con B, basta prolungare il segmento BM del segmento MC = BM per individuare la posizione del vertice C, cioè per essere in grado di costruire il triangolo ABC. Osservazione: Prima si suppone il problema risolto, poi si fa l’analisi sia della figura che di altre possibili costruzioni con lo scopo di sostituire la figura della quale è chiesta la costruzione con una seconda figura la cui costruzione è già nota. Infine si risale da questa seconda figura a quella richiesta.

19 Dopo aver risolto il problema, è necessario fare la discussione per stabilire se i dati del problema possono essere qualunque, oppure se fra loro sussistono determinate relazioni; se queste non sono soddisfatte, il problema è impossibile. Nel problema precedentemente risolto, osserviamo che è possibile costruire il triangolo ABC se è possibile costruire il triangolo ABD. Sappiamo che in un triangolo un lato deve essere minore della somma degli altri due e maggiore della loro differenza. Pertanto, supposto AC>AB, il problema risulta possibile se: BD – AB < AD < BD + AB, cioè AC – AB < 2AM < AC + AB,e quindi se (AC – AB)/2<AM< (AC + AB)/2

20 You are given a right-angled triangle ABC, AB being the hypotenuse. Take a point P on AB. Draw the parallel lines to AC and BC through P. Name H and K the points of intersection with AC and BC respectively. For which position of P does the line HK have minimum length?

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22 Per vostra conoscenza: Euclide Pappo Platone Biografie nel sito