LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI

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1 LE BASI FONDAMENTALI INSIEMI
INSIEMI NUMERICI (naturali, interi, razionali, reali e complessi) SISTEMI DI COORDINATE ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA FUNZIONI TRIGONOMETRICHE EQUAZIONI DISEQUAZIONI PERCENTUALI

2 INSIEMI INSIEME= gruppo di oggetti di tipo qualsiasi detti elementi dell’insieme. Un insieme è definito quando viene dato un criterio non ambiguo che permette di stabilire se l’oggetto appartiene o no all’insieme

3 Simbologia Gli insiemi sono indicati con lettere maiuscole, eventualmente munite di indici: A, B, X, Y, A1, A2, B1… gli elementi degli insiemi con lettere minuscole, eventualmente munite di indici: a, b, x, a1, a2, y1 …

4 Rappresentazione di un insieme
Un insieme A si può rappresentare: elencando tutti gli elementi che appartengono all'insieme Esempio: A = {a, b, c, d} Indicando la proprietà caratteristica degli elementi dell'insieme Esempio: A = {x : x è una lettera dell’alfabeto}

5 I Diagrammi di Eulero-Venn
Servono per rappresentare graficamente un insieme. Esempio: a b c d A

6 Il simbolo di appartenenza: Î
Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive: a Î A si legge “a appartiene ad A". Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive: b Ï A si legge “b non appartiene ad A".

7 ALCUNI SIMBOLI

8 CONFRONTO TRA INSIEMI B Í A (oppure A Ê B)
Si dice che B è sottoinsieme di A e si scrive: B Í A (oppure A Ê B) e si legge: "B è contenuto o è uguale ad A" ("A contiene o è uguale a B") se ogni elemento di B è un elemento di A " b Î B  b Î A

9 CONFRONTO TRA INSIEMI Insieme vuoto : Æ Insieme privo di elementi Æ Í A (qualunque sia A) Si dice che B è sottoinsieme proprio di A e si scrive: B Ì A (oppure A É B) se B è diverso da A e dall'insieme vuoto, cioè se  a A : a  B

10 OPERAZIONI TRA INSIEMI
UNIONE INTERSEZIONE DIFFERENZA COMPLEMENTAZIONE PRODOTTO CARTESIANO

11 UNIONE TRA INSIEMI L'unione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi A e B L’unione di A e B si scrive: A È B = {x : x Î A e/o x Î B } Se A = B A È B = A Se A  B A È B = B

12 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} 1 2 3 A B

13 UNIONE TRA INSIEMI Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A È B = {0, 1, 2, 3} 1 2 3 A B

14 INTERSEZIONE TRA INSIEMI
L'intersezione di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono sia ad A che a B L'intersezione di A e B si scrive: A Ç B = {x : x Î A e x Î B } Se A = B A Ç B = A Se A  B A Ç B = A Se A Ç B =  A e B si dicono disgiunti.

15 INTERSEZIONE TRA INSIEMI
Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A B 1 2 3

16 INTERSEZIONE TRA INSIEMI
Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A Ç B = {1, 2} A B 1 2 3

17 DIFFERENZA TRA INSIEMI
La differenza di due insiemi A e B è l'insieme di quegli elementi che appartengono ad A e che non appartengono a B: La differenza di A e B si scrive A - B = A \ B = {x : x Î A e x Ï B } Se A = B A \ B = Se A  B A \ B =

18 DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} 1 2 3 A B

19 DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} A \ B = {0} 1 2 3 A B

20 DIFFERENZA TRA INSIEMI
Esempio: A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} B \ A = {3} 1 2 3 A B

21 INSIEME COMPLEMENTARE
Sia U un insieme su cui si intende operare, chiamato insieme universale. sia A un sottoinsieme di U, si chiama insieme complementare di A rispetto ad U l'insieme differenza di U e A e si scrive: CUA =A’ =U \ A = {x : x Î U e x Ï A }

22 INSIEME COMPLEMENTARE
Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} 1 2 U A

23 INSIEME COMPLEMENTARE
Esempio U = {0, 1, 2, 3, 5}, A = {1, 2} CUA =U \ A = {0, 3, 5} U A 1 2

24 PRODOTTO CARTESIANO Per coppia ordinata si intende una coppia di elementi in cui viene distinto il primo dal secondo: (x,y)  (y,x) Dati due insiemi A e B, l’insieme delle coppie ordinate (x,y) in cui il primo elemento x appartiene ad A ed il secondo elemento y appartiene a B si dice prodotto cartesiano di A e B A ´ B = {(x, y) : x Î A, y Î B}

25 PRODOTTO CARTESIANO Esempio: A = {1, 2}, B = {3, 4}
B ´ A = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}

26 ESERCIZI Dati A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6} Calcolare:
B \ A = {6}

27 INSIEMI NUMERICI NATURALI INTERI O RELATIVI RAZIONALI IRRAZIONALI
REALI COMPLESSI

28 I NUMERI NATURALI N={1, 2, 3, 4, 5,…..}
Si definisce sistema algebrico un insieme nel quale sono state definite alcune operazioni. Il sistema algebrico dei numeri naturali si ottiene introducendo in N le seguenti operazioni: 1) Addizione 2) Moltiplicazione 3) Relazione di “minore o uguale” (m<n (se e solo se) p N: m+p=n)

29 I NUMERI NATURALI  m, n, p  N Le operazioni di addizione e moltiplicazione godono delle proprietà: - Associativa: (m + n) + p = m + (n + p) (m • n) • p= m • (n • p) Commutativa: m + n = n + m m • n = n • m Distributiva: m • (n + p)= m • n + m • p Esistenza dell’elemento neutro della moltiplicazione:  1 N: 1 • m = m

30 I NUMERI INTERI L’insieme dei numeri naturali è chiuso rispetto all’addizione e alla moltiplicazione. Non è però chiuso rispetto alla sottrazione:  sistema algebrico dei numeri interi. Z= {0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, …} Z+ = {+1, +2, +3, …} = N Z- = {-1, -2, -3, …} Z = Z+ È Z - È {0}

31 I NUMERI INTERI Valgono le proprietà 1), 2) e 3) e inoltre: 4) Esiste l’elemento neutro dell’addizione:  0 Z : x + 0 = x, xZ 5) Esiste l’opposto: xZ,  y Z : x + y = 0, 6) Chiuso rispetto alla sottrazione: x – y = x + (-y)

32 I NUMERI RAZIONALI PROBLEMA:
Dati due numeri x,yZ non è sempre possibile trovare un numero q Z : x • q = y ovvero Z non è chiuso rispetto alla divisione Q= {q = x/y : xZ, yZ\{0}} ogni numero decimale finito o periodico è un numero razionale.

33 NUMERI RAZIONALI -2 -1 3 2 1 Q è denso:
q1, q2  Q,  q  Q : q = (q1+ q2)/2 N e Z sono discreti: -2 -1 3 2 1

34 NUMERI REALI PROBLEMA:
non è possibile trovare nessun numero razionale tale che il suo quadrato sia uguale a 2 ! Numeri reali: R = Q È  dove  è l’insieme dei numeri irrazionali

35 NUMERI REALI Supponiamo per assurdo che esista un numero razionale del tipo p/q (p e q primi tra loro) tale che: p2/q2=2 p2=2 q2 p è pari, p = 2k 22 k2 = 2 q2 2 k2 = q2 ma allora anche q è pari contro l’ipotesi che p e q sono primi tra loro.

36 NUMERI REALI L’insieme dei numeri reali è chiuso rispetto alle operazioni algebriche di +, -, *, : Questo significa che la somma (la differenza, il prodotto e il quoziente) di 2 numeri reali è un numero reale. Non vale il viceversa!

37 NUMERI COMPLESSI Sia , x non può essere un numero reale perché il quadrato di un numero reale non può essere uguale ad un numero reale negativo. Si definisce unità immaginaria il numero i il cui quadrato è uguale a – 1:

38 NUMERI COMPLESSI Un numero non reale (complesso) z può essere scritto nel seguente modo: L’insieme dei numeri complessi viene indicato con C e risulta chiuso rispetto alle operazioni algebriche di somma, differenza, prodotto e divisione.

39 NUMERI COMPLESSI Siano dati due numeri complessi SOMMA: DIFFERENZA:
PRODOTTO:

40 NUMERI COMPLESSI Si definisce numero complesso coniugato del numero complesso , il numero: Il prodotto tra il numero complesso v e il suo complesso coniugato è dato dal numero reale (chiamato modulo di v):

41 NUMERI COMPLESSI QUOZIENTE:

42 GLI INSIEMI NUMERICI Sussiste una precisa relazione di inclusione:
N Z Q R C

43 RELAZIONI e CORRISPONDENZE
Siano X e Y due insiemi non vuoti si chiama relazione tra X e Y un qualunque sottoinsieme del prodotto cartesiano: R X x Y = (x,y): xX, yY L’insieme costituito dai primi (secondi) elementi delle coppie viene chiamato dominio (codomino). Se il dominio coincide con X, la relazione viene denominata Corrispondenza.

44 FUNZIONE Una funzione è una corrispondenza tale che se comunque si prenda un elemento x di X ad esso viene associato uno e un solo elemento y di Y. Noi consideriamo X, Y  R , cioè funzioni reali di una variabile reale.

45 RELAZIONE TRA 2 INSIEMI 1 2 3 4 Y X

46 FUNZIONE TRA DUE INSIEMI
1 2 3 4 Y X 4

47 SISTEMA DI COORDINATE ASCISSE SOPRA UNA RETTA
Sia data una retta r, si fissi: Un verso positivo di percorrenza Un punto O detto Origine Un segmento u detto unità di misura O u r- r+ r

48 ASSE DELLE ASCISSE Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo). xP è chiamata ascissa di P Viceversa,  xP R ! P  r : x= xP . Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.

49 SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO
Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna: Un verso positivo di percorrenza Una unità di misura Si ottiene così un sistema di riferimento cartesiano Ortogonale / obliquo Monometrico / dimetrico

50 COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO
Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y) I (+ , +) II (- , +) III (- , -) IV (+ , -)

51 ESEMPIO P=(-2,3) 3 P=(2,1) 1 -2 2 -1 P=(-2,-1) -2 P=(2,-2)

52 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA
Si consideri il seguente grafico: I punti sulla retta hanno coordinate:

53 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA
Dalla similitudine dei due triangoli ACB e ARP si ha (geometricamente): Sostituendo ai lati dei triangoli le misure algebriche si ha:

54 GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA
Ponendo: Si ottiene l’equazione della retta in forma implicita (o generale):

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56 LE CONICHE

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58 LA CIRCONFERENZA L’equazione della circonferenza di centro
e raggio r è data da: Dove i coefficienti sono dati da: Se C=O l’equazione assume l’espressione:

59 GRAFICO DELLA CIRCONFERENZA

60 L’ELLISSE L’equazione dell’ellisse con fuochi
e gli assi lunghi a e b è espressa da: dove a > c e dove

61 GRAFICO DELL’ELLISSE

62 L’IPERBOLE L’equazione dell’iperbole con fuochi
e gli assi lunghi a e b è espressa da: dove a < c e dove

63 GRAFICO DELL’IPERBOLE
y x

64 IPERBOLE EQUILATERA Se a=b l’equazione l’iperbole viene denominata equilatera e la sua equazione è: Se si ruota il grafico di 45° in senso antiorario in modo che i fuochi stiano sulla bisettrice del primo e terzo quadrante si ha: ovvero

65 GRAFICO DELL’IPERBOLE EQUILATERA

66 LA PARABOLA L’equazione della parabola con il vertice nell’origine, il fuoco di coordinate (0, c) con c>0 e la direttrice di equazione y=-c è espressa da: Se il vertice non coincide con l’origine degli assi e la direttrice è sempre parallela all’asse x l’equazione assume la forma:

67 GRAFICO DELLA PARABOLA

68 ANGOLO Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.

69 ANGOLO ORIENTATO Verso positivo di rotazione antiorario + a b - a b

70 ARCO La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo. A B O

71 SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI
SESSAGESIMALE: grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro. RADIANTE

72 RADIANTE L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.

73 Misura in radianti di un angolo
È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio: Angolo giro = 2pr / r = 2p Angolo piatto = pr / r = p Angolo retto = p/2

74 Misura in radianti di un angolo
p/2 p/4 (3/4)p p (5/4)p (7/4)p (3/2)p

75 Misura in radianti di un angolo
p/6 p (3/2)p p/2 (2/6)p (4/6)p (5/6)p (7/6)p (8/6)p (10/6)p (11/6)p

76 Misura in radianti di un angolo
Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante: 360 : 2p = a°s : ar Ex: 360 : 2p = 20° : ar ar = p/9

77 Le funzioni trigonometriche: seno e coseno
A y P r a x O H

78 La funzione:Tangente trigonometrica
y P T r a O H

79 f(x) = sin (x) A=(1,0) y x p/2 p (3/2) p 2p x y -p/2 p/2 p (3/2)p 2p 1
-1 O H

80 Funzione seno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2p

81 y = cos (x) p/2 p (3/2) p A=(1,0) y x 2p x y -p/2 p/2 p (3/2)p P O H

82 Funzione coseno Dominio R Codominio [-1, 1] Periodica di periodo 2p

83 y = tan (x) A y T p/2 p (3/2) p 2p x y -p/2 p/2 p (3/2)p P O H

84 Funzione tangente Dominio = R \ p/2 + kp k  Z Codominio = R
Periodica di periodo p

85 Relazione tra seno e coseno
sin2(x) + cos2(x) = 1

86 Relazione tra seno e coseno
Esempi: cos (x) = ½ x  [0, p/2]

87 Relazione tra seno, coseno e tangente
sin2(x) + cos2(x) = 1

88 Valori in archi particolari : p/6

89 Valori in archi particolari: p/3

90 Valori in archi particolari: p/4

91 COORDINATE POLARI P ha coordinate cartesiane (1, 1)
Le coordinate polari di P sono: Nell’esempio:

92 COORDINATE POLARI Esiste la seguente relazione tra le coordinate polari e cartesiane di un punto: si osservi che:

93 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
Un numero complesso può essere rappresentato geometricamente dal punto, nel piano cartesiano, che ha come ascissa la parte reale e come ordinata il coefficiente reale dell’unità immaginaria.

94 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
Usando il legame tra coordinate cartesiane e polari si ha:

95 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
Dato il numero complesso z: e il numero complesso v : Il prodotto tra z e v è:

96 COORDINATE POLARI E NUMERI COMPLESSI
In particolare se z=v si ottiene: e in generale: detta Formula di De Moivre.

97 CALCOLO LETTERALE Perché?
È opportuno rappresentare i numeri con lettere dell’alfabeto per fare affermazioni che valgono indipendentemente dal valore dei numeri.

98 POTENZE Dato un numero reale a ed un numero naturale n, si dice potenza n-esima di a an = a • a • … • a n volte Esempio: 32 = 3 • 3 (-2)2 = (-2) • (-2) = 4 (-2)3 = (-2) • (-2) • (-2) = -8

99 PROPRIETA’ DELLE POTENZE
Dati a, b  R, m, n  N a n + m = a n a m, a -n = 1 / a n a n - m = a n: a m, n  m, se n = m, a  0 (a:b) n = a n: b n, b  0 (ab) n = a n b n, (a n) m = a n m, a 0= 1,

100 ESERCIZI 32 • 33= 35 34 : 33= 31 ((2)3)2= (2)6 (5 • 2)2 : 50 = (5)2 •(2)2 (8)0=1 3-4 = 1 / 34 (- 2)2 •(-2)3 = -32

101 RADICALI Si dice radice n-sima (n  N) del numero reale a il numero b tale che bn = a. Si scrive: La radice ennesima (n  N) della potenza am si scrive:

102 PROPRIETA’ DEI RADICALI

103 ESERCIZI

104 OPERAZIONI TRA POLINOMI
ADDIZIONE SOTTRAZIONE PRODOTTO PRODOTTI NOTEVOLI = Prodotti di particolari polinomi per i quali è possibile stabilire il risultato con pochi calcoli DIVISIONE

105 DIFFERENZE DI QUADRATI
(x + y) • (x - y) = (x2 - y2) Esempi: (2x + y) • (2x - y) = (4x2 – y2) (2ab3 + c) • (2ab3 - c) = (4a2b6 – c2) (9x2y2 – 4a2b2) = (3xy + 2ab) • (3xy - 2ab) (x-3)4 – 81 = [(x –3)2 –9] • [(x –3)2 +9] = [(x –3) –3] [(x –3) +3] • [(x –3)2 +9]

106 QUADRATO DI UN BINOMIO (x + y)2= x2 + 2xy + y2 (x - y)2= x2 - 2xy + y2
Esempi: (a – 3b)2= a2 – 6ab +9b2 (a + 2b)2= a2 + 4ab +4b2 ((3/2)a + b2)2= (9/4)a2 + 3ab2 + b4

107 CUBO DI UN BINOMIO (x + y)3= x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Esempi: (2x - y)3= 8x3 - 12x2y + 6xy2 - y3 (3x + y)3= 27x3 + 27x2y + 9xy2 + y3 (x3 - 5y)3= x9 - 15x6y + 75x3y y3

108 SOMMA E DIFFERENZA DI CUBI
(x3 + y3)= (x + y) • (x2 - xy + y2) (x3 - y3)= (x - y) • (x2 + xy + y2) Esempi: (8x3 + y3)= (2x + y) • (4x2 - 2xy + y2) (27x3 - 8y3)= (3x - 2y) • (9x2 + 6xy + 4y2) (x - 2)3 + y6= [(x - 2) + y2)] • [(x - 2)2 - (x - 2) y2 + y4)]

109 SCOMPOSIZIONE IN FATTORI
Mediante l’uso dei prodotti notevoli Raccoglimenti a fattore comune: Esempio: 6ab + 2a3c - 8ab = 2a (3b + a2c – 4b) Raccoglimenti parziali successivi: 9a2b3 - 3a3b2 + 6bc - 2ac = 3a2b2 (3b-a) + 2c (3b - a) = (3b - a) (3a2b2 +2c)

110 DIVISIONE TRA POLINOMI
Prenderemo in considerazione solo polinomi in una variabile Siano P1 e P2 polinomi ordinabili rispetto alla potenza di una data lettera, con il grado di P1 maggiore o uguale al grado di P2 . Esistono allora due polinomi Q ed R tali che: P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto.

111 ESEMPIO (2x5– 3 x3 + x + 1) : ( x3 – x2 +1)
2x5 + 0 x4 – 3 x x2 + x x3 – x2 +1 2x5 – 2 x x2 2 x4 – 3 x3 - 2 x2 + x + 1 2 x2 +2 x -1 2 x4 – 2 x x – x x2 - x + 1 – x3 + x - 3 x2 - x + 2

112 ESEMPIO (2x5 – 3 x3 + x + 1) = (2 x2 +2 x – 1) • (x3 – x2 +1) + (- 3 x2 - x + 2) P1= Q P2 + R dove Q è il polinomio quoziente ed R è il resto. N.B. P1 è divisibile per P2 se il resto è uguale a zero.

113 ESEMPIO: (20 x4 – 14 x3 + 40 x - 32) : (4x2 + 2x - 4)
20 x4 – 14 x x x x2 + 2x - 4 20 x x x2 5x2 -6x + 8 – 24 x x x - 32 – 24 x x x 32 x x - 32 32 x x - 32 \\ \\ \\

114 REGOLA DI RUFFINI Divisione di un polinomio per un binomio
Sia P1(x) un polinomio di grado n e P2(x) un binomio del tipo (x ± a) con a reale, il quoziente è un polinomio di grado n – 1 ed il resto è di grado zero . P1 (x)= (x±a) P2 (x)+ R

115 Coefficienti e termine noto P2(x)
REGOLA DI RUFFINI Termine noto P1(x) Coefficienti P1(x) ±a Coefficienti e termine noto P2(x) Resto

116 ESEMPIO (x2 - 1) : (x + 2) 1 -1 -2 4 -2 1 -2 3
-1 -2 4 -2 1 -2 3 x = (x + 2) (x –2) + 3

117 REGOLA DEL RESTO Il resto della divisione di un polinomio P1(x) per un binomio del tipo (x + a) è il valore che P1 assume per x = - a R= P1(-a) Esempio: (x2 - 1) : (x + 2) P1(-2) = 3

118 OSSERVAZIONE Se P1 è divisibile per (x ± a/b) allora a è un divisore del termine noto di P1 e b è un divisore del termine di grado massimo di P1. Nell’esempio precedente: P1(x)=(x2 - 1) si verifica con i divisori del termine noto: +1 e –1: P1(+1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x - 1) P1(-1) = 0 quindi P1 è divisibile per (x + 1)

119 ESEMPIO P1(x) = x3 + 3 x2 - 7x – 6 P1(±1)  0 P1(2) = 0 1 3 -7 -6 2 2
10 6 1 5 3 x x2 - 7x – 6 = (x -2) (x2+5x+3)

120 EQUAZIONI Prendiamo in considerazione le funzioni reali in una variabile reale Una equazione è una uguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile f(x) = g(x) La variabile è detta incognita dell’equazione

121  SOLUZIONI   I particolari valori di x per cui questa è verificata sono detti soluzioni dell’equazione Le soluzioni vanno cercate nell’intersezione dei domini delle due funzioni. Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile Equazione possibile quando esiste un numero finito di valori di x che la soddisfano

122 EQUAZIONI DI PRIMO GRADO
Si dice equazione (algebrica) di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x + b = 0 con a, b coefficienti numerici , a ¹ 0. Per cercare la soluzione si isola il termine che contiene l’incognita e si divide per il coefficiente di x: ax=-b (ax)/a=-b/a da cui il valore dell’incognita che risolve l’equazione è: x = - b / a Esempio: 2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3 / 2

123 EQUAZIONI DI 2o GRADO Si dice equazione (algebrica) di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a x2 + b x + c = 0 con a, b, c coefficienti numerici e  a ¹ 0. SPURIA: a x2 + b x = 0 x(a x + b) = 0 x = 0 x = - b / a PURA: a x2 + c = 0

124 COMPLETA D > 0 2 soluzioni reali e diverse
a x2 + b x + c = 0 D > 0 2 soluzioni reali e diverse = 0 2 soluzioni reali e coincidenti D < 0 nessuna soluzione in R (le 2 soluzioni appartengono all’insieme dei numeri complessi)

125 ESEMPI 2 x2 - 7 x + 3 = 0 D = 49 – 24 > 0 x1=1/2 x2=3

126 ESEMPI 25x2 + 10x +1 = 0 D = 25 – 25 = 0 x2 - 3 x + 8 = 0
non ha soluzioni in R.

127 RELAZIONE TRA I COEFFICIENTI E LE SOLUZIONI
a x2 + b x + c = 0

128 ESERCIZI Determinare i due numeri la cui somma sia s = - 4 ed il cui prodotto sia p = - 5: assumendo a = 1 si ottiene x2 + 4 x - 5 = 0 x1 = 1 x2 = -5 Determinare a meno di un coefficiente di proporzionalità l’equazione di 2o grado le cui soluzioni hanno per somma e prodotto i valori s= -3/ p = -1/10 x2 + (3/10) x - 1/10 = 0

129 FATTORIZZAZIONE D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2
a x2 + b x + c = 0 D > 0 a · (x - x1) · (x - x2) D = 0 a · (x - x1)2 D < 0 non è possibile in R

130 IL SEGNO DEL TRINOMIO

131 IL SEGNO DEL TRINOMIO

132 IL SEGNO DEL TRINOMIO

133 IL SEGNO DEL TRINOMIO

134 DISEQUAZIONI Si dice disequazione una disuguaglianza tra due funzioni eventualmente verificata per particolari valori attribuiti alla variabile che vi compare:                         f(x) > g(x)       f(x) ³ g(x)                         f(x) < g(x)       f(x) £ g(x)

135 SOLUZIONI Le soluzioni vanno cercate nell’insieme: I = D(f) D(g)
Possibile: un sottoinsieme di valori dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x < 1) Identicamente verificata: tutti i valori dell’insieme I verificano la disequazione (ex: x2 +1 > 0) Impossibile: nessun valore dell’insieme I verifica la disequazione (ex: x2 + 2 < 0)

136 ESEMPIO -2x > 24 x < -12

137 INTERVALLI DELLA RETTA
Siano a e b due numeri reali (che possono essere interpretati come coordinate ascisse sulla retta reale) e si supponga a < b. Si possono definire i seguenti intervalli reali di estremi a e b: [ a , b ] ={xR: a  x  b} chiuso ] a , b ] ={xR: a < x  b}=( a,b] chiuso a destra [ a , b [ ={xR: a  x < b}=[a,b) chiuso a sinistra ] a , b [ = {xR: a < x < b} = ( a , b ) aperto

138 INTERVALLI DELLA RETTA
] -  , b ] = {xR: x  b} = ( -  , b ] ] - , b [ = {xR: x < b} = ( - , b ) [ a , +  [ = {xR: x  a} = [ a , +  ) ] a , +  [ = {xR: x > a} = ( a , +  )

139 DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO
a x+b > con a e b numeri reali e a  0. Per ottenere le soluzioni reali (esistono sempre!), Si isola il termine che contiene l’incognita x : ax>-b Si dividono entrambi i membri per il coefficiente a x>-b/a se a>0 x<-b/a se a<0

140 DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO
a x2 + b x + c > 0 a, b, c reali, a  0 Per risolvere una qualunque disequazione algebrica di secondo grado basta applicare il teorema sul segno del trinomio di secondo grado.

141 ESEMPIO 4 x x + 9 > 0 D = = 0 S = xR \ {-3/2}

142 ESEMPIO 3 x2 + 5 x – 2 < 0 = 25 +24 = 49 > 0 x1 = -2 x2= 1/3
S = {xR: -2 < x < 1/3}

143 ESEMPIO 3 x2 + 5 x – 2 > 0 = 25 +24 = 49 > 0 x1 = -2 x2= 1/3
S = {xR: x< -2 }  {xR: x> 1/3}

144 ESEMPIO 3 x2 - x + 2 < 0 = 1 – 24 < 0 S={}

145 DISEQUAZIONI FRATTE I = D(f) D(g)  {xR: g(x)  0}
Studio segno numeratore Studio segno denominatore Uso regola segni Determinazione dell’insieme nel quale la disequazione è verificata

146 ESEMPIO -3 4 (x + 3) + - (x - 4) + - + - (x - 4)/(x+3)

147 Continuazione ESEMPIO
S = {xR: x < -3}  {xR: x > 4} N.B. I = {xR: x  3}

148 SISTEMI DI DISEQUAZIONI
Insieme di due o più disequazioni di cui si vogliono determinare le soluzioni comuni. La soluzione si ottiene trovando l’insieme intersezione degli insiemi che risolvono ciascuna disequazione: S = S1  S2  …  Sn se S = {} allora il sistema è impossibile

149 S = x {xR: (-½) < x  3}
ESEMPIO S = x {xR: (-½) < x  3} -1/2 3 (2x + 1) (x – 3)

150 FUNZIONE ESPONENZIALE
Si chiama funzione esponenziale in base a, a R+ \ {1}, la funzione f : R  R+: f(x)=ax N.B. per a = 1 avremmo il caso banale f(x)=1x y x 1

151 CASO a > 1 f(x)=ex y x x y 0 1 -1 1/e 2 e2 -2 1/e2 1 e 1 -1 1/e 1 e
0 1 -1 1/e 2 e2 -2 1/e2 1 e 1 -1 1/e 1 e -2 1/e2 2 e2

152 CASO a > 1 confronto tra basi diverse
y = 2x y = ex y x y y = 2x 0 1 -1 1/2 -2 1/22 1 2 2 22 -2 -1 1 2 x

153 CASO a > 1 Dominio R Codominio R+ Passa per (0,1)
Monotona crescente Se la base aumenta è più ripida

154 CASO a < 1 f(x)=(1/e)x y x x y 0 1 -1 e -2 e2 -1 e -2 e2 1 1 1/e
0 1 -1 e -2 e2 -1 e -2 e2 1 1 1/e 1 1/e 2 1/e2 2 1/e2

155 CASO a < 1 confronto tra basi diverse
y = (1/2)x y x y 0 1 -1 2 -2 22 y = (1/2)x 1 1/2 y = (1/e)x 2 1/22 -2 -1 1 2 x

156 CASO a < 1 Dominio R Codominio R+ Passa per (0,1)
Monotona decrescente Se la base aumenta è meno ripida

157 LOGARITMI Siano a un numero reale positivo, a ¹ 1,
e b un numero reale positivo allora esiste un numero reale c tale che: ac = b Tale numero c si dice logaritmo in base a di b e si indica con il simbolo: c=logab NB

158 ESEMPI log28 = 3 log22 = 1 log51 = 0 log(1/3)3 = -1 log381 = 4

159 Esercizi Determinare la base: logx7 = -1 x = 1/7 logx49 = 2 x = 7

160 BASI DEL LOGARITMO Le due basi più usate sono la base 10 e la base “e” (dove “e” è il numero di Eulero, e = 2,7182….) Per indicare il logaritmo in base 10 si usa il simbolo “Log” Per indicare il logaritmo in base “e” si usa il simbolo “ln” (logaritmo neperiano).

161 FORMULA PER IL CAMBIAMENTO DI BASE
Supponiamo di voler passare dalla base a alla base d,  a,d R+ \ {1} c R+

162 ESEMPI

163 PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
PROPRIETA’ DEL PRODOTTO PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE PROPRIETA’ DELLA POTENZA

164 PROPRIETA’ DEL PRODOTTO:
Il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi: loga(x1 · x2 )= loga x1 + loga x2 a R+ \ {1} x1, x2 R+ Esempio: loga(3 · 4 )= loga 3 + loga 4

165 PROPRIETA’ DEL QUOZIENTE:
Il logaritmo del quoziente è uguale alla differenza dei logaritmi del dividendo e del divisore: loga(x1 : x2 )= loga x1 - loga x2  a R+ \ {1} x1, x2 R+ Esempio: loga(8 : 3 )= loga 8 - loga 3

166 PROPRIETA’ DELLA POTENZA:
Il logaritmo di una potenza è uguale al prodotto dell’esponente per il logaritmo della base: loga(xa)= aloga x  a R+ \ {1} x R+ a R Esempio: loga(23)= 3 loga 2

167 ESERCIZIO 1+3 Log (a) + ½ [Log (a+b) - Log (b)] /9 [Log (a) - Log (a+b)] = Log (10) +Log (a3) + [Log (a+b)½ - Log (b)½ ] + [Log (a) 1/9 - Log (a+b) 1/9 ] = Log{10 · a3 · [(a+b)½ : (b)½] · [(a) 1/9 : (a+b)1/9]}

168 FUNZIONE LOGARITMICA Si chiama funzione logaritmica in base a, aR+\{1}, la funzione f : R+  R: f(x)=logax x > 0 E’ la funzione inversa della funzione esponenziale: x = ay y = logax Il logax è l’esponente che dobbiamo dare ad a per ottenere x

169 Caso a > 1 y=ln(x) y x x y 1 0 1/e -1 2 e2 e 1 1 e -1 1/e e2 2 1

170 Caso a > 1 confronto tra basi diverse
y = log2x y = lnx 2 1 1/e e e2 -1

171 Caso a > 1 Dominio R+ Codominio R Passa per (1,0)
Monotona crescente Se la base aumenta è meno ripida

172 Caso a < 1 y=log(1/e)x y x x y 1 0 1/e 1 1 1/e e -1 -1 e 1

173 Caso a < 1 confronto tra basi diverse
y = log(1/2)(x) y 1 e 1/e x -1 y = log(1/e)(x)

174 Caso a < 1 Dominio R+ Codominio R Passa per (1,0)
Monotona decrescente Se la base aumenta è più ripida

175 LE PERCENTUALI Il simbolo “ % “ di percentuale si ottiene dal rapporto di due valori e indica l’incidenza della variabile a numeratore sulla variabile a denominatore. Ad esempio il rapporto tra il numero di ragazze presenti in una classe e il numero di studenti della classe esprime la quota di femmine sul totale degli studenti.

176 LE PERCENTUALI I costi totali di un’impresa sono passati da € a €. I ricavi totali (negli stessi 2 anni) sono aumentati passando da € a € Calcolare la variazione percentuale dei costi e dei ricavi. Calcolare l’incidenza percentuale dei costi sui ricavi nei 2 anni.

177 LE PERCENTUALI La variazione percentuale dei costi è data dal rapporto tra la variazione dei costi e il costo iniziale: ( )/ =33,33% La variazione percentuale dei ricavi è data dal rapporto tra la variazione dei ricavi e il ricavo del primo anno: ( )/ =60%

178 LE PERCENTUALI L’incidenza dei costi sui ricavi in ciascuno dei due anni è rappresentata dal rapporto delle due quantità: 75.000/ =0,30 =30% / =0,25=25% L’incidenza dei costi sui ricavi nei due anni: ( )/( )=0,269=26,9% che non è la media aritmetica (=27,5%) tra 30% e 25%!!!!!!!!!!!

179 LE PERCENTUALI GLI SCONTI SUCCESSIVI
Sul prezzo iniziale di un bene vengono applicati due sconti consecutivi: e ; ovvero: uno sconto del 10% sul prezzo iniziale e uno sconto del 20% sul prezzo già scontato del 10%. Si vuole determinare lo sconto complessivo.

180 LE PERCENTUALI Il prezzo dopo il primo sconto è dato da:
Il secondo sconto si applica a 90€ per cui il prezzo finale diventa: Lo sconto complessivo è dunque pari a 28%

181 LE PERCENTUALI Lo sconto complessivo può essere calcolato per esteso nel seguente modo: Sconto%

182 LE PERCENTUALI Nel caso degli sconti successivi
lo sconto complessivo S, espresso come valore percentuale, sul prezzo iniziale può essere ricavato dalla formula seguente: