G.M. - Edile A 2002/03 Una sferetta P viene posta in una conca semisferica di raggio R in un punto diverso da quello più basso. La sferetta rotola e l’angolo.

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1 G.M. - Edile A 2002/03 Una sferetta P viene posta in una conca semisferica di raggio R in un punto diverso da quello più basso. La sferetta rotola e l’angolo  indicato in figura varia con la legge: Quali sono le dimensioni di  e S? Qual è l’interpretazione geometrica di S? R P  L’argomento della funzione coseno è un angolo, cioè una grandezza adimensionale.  t deve essere adimensionale. [  t]= [  ] [  ]= [   ] Risulta [  ] = [   ] L’angolo non ha dimensioni: pertanto [S] [R -1 ][cos]=[L 0 M 0 T 0 ] La funzione coseno è adimensionale, il raggio R ha le dimensioni di lunghezza [R]=[L]. Pertanto: [S]=[L] S è l’arco di cerchio tra P e il punto più basso della conca.

2 G.M. - Edile A 2002/03 Data una colonna di liquido di densità  ed altezza h. La quantità  gh con g l’accelerazione di gravità, può essere una forza? La forza (F=ma) ha le dimensioni [F]=[M][LT -2 ] Quali sono le dimensioni di  gh?  è una densità [  ]=[ML -3 ] g è un’accelerazione [g]=[LT -2 ] h è un’altezza [h]=[L] Pertanto [  gh ]= [ML -3 ] [LT -2 ] [L]=[ML -1 T -2 ]  gh non è una forza!! Confrontando le dimensioni di  gh con quelle della forza, si vede che  gh ha le dimensioni di una forza per una lunghezza alla meno 2 [F][L -2 ] Ma anche la pressione ha le stesse dimensioni!  gh potrebbe essere una pressione.  gh rappresenta l’aumento di pressione in un liquido con la profondità.

3 G.M. - Edile A 2002/03 Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli effetti della contaminazione superficiale.

4 G.M. - Edile A 2002/03 Il campione del kilogrammo ha la forma di un cilindro di altezza pari al diametro. Si dimostri che a parità di volume e di forma, queste dimensioni forniscono la minima area; ciò consente di minimizzare gli effetti della contaminazione superficiale. Applica zione

5 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. Abbiamo espresso la superficie del cilindro in funzione del suo volume e del rapporto  tra il raggio e l’altezza Poiché il volume del cilindro deve rimanere costante, deve contenere sempre la stessa massa, possiamo limitarci a studiare la dipendenza da . La superficie sarà minima quando f(  ) sarà minima. Abbiamo visto che nei punti di massimo o di minimo relativo derivata si annulla. Cerchiamo  in cui

6 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont. Calcoliamoci la derivata: Imponendo che la derivata sia nulla: Da cui

7 G.M. - Edile A 2002/03 Applica zione cont.

8 G.M. - Edile A 2002/03 Errori di misura cifre significative Ogni misura è affetta da errori –Errori casuali –Errori sistematici L = 3,6 + 0,1 m Oppure L = 3,6 m valore errore scritto esplicitamente 2 cifre significative L’errore (implicito) è sull’ultima cifra (0,1 m)

9 G.M. - Edile A 2002/03 Errori di misura cifre significative L = 3,6 + 0,1 m Cifre significative errore assoluto errore relativo Contare il numero di cifre diverse da zero dopo la virgola Il numero di cifre significative è legato all’errore

10 G.M. - Edile A 2002/03 Grandezze derivate: propagazione degli errori Se la grandezza derivata si ottiene come somma o differenza di altre grandezza –L’errore non può essere più piccolo del più grande degli errori assoluti Se la grandezza derivata si ottiene attraverso operazioni di prodotto o divisione di altre grandezze –L’errore relativo non deve essere più piccolo del più grande degli errori relativi.

11 G.M. - Edile A 2002/03 Sistema di riferimento su una retta Per definire un asse di riferimento occorre: –fissare l’origine –fissare il verso positivo La posizione (coordinata) x del punto P sarà La distanza di P dall’origine O se P viene dopo O percorrendo l’asse nel verso fissato () Meno la distanza di P’ dall’origine O se P’ viene prima di O percorrendo l’asse nel verso fissato (x=-d P’O ) P P’ x = -d P’O x = +d PO

12 G.M. - Edile A 2002/03 Sistema di riferimento nel piano Occorrono due assi cartesiani (ortogonali) (stessa origine) –L’asse x deve ruotare di 90° in senso antiorario per sovrapporsi all’asse y Il punto P nel piano sarà individuato dalle coordinate x, y, che sono le coordinate dei punti proiezione di P rispettivamente sugli assi x e y I punti proiezioni P x e P y si ottengono mandando le perpendicolari da P rispettivamente agli assi x (verde) ed y (violetta).

13 G.M. - Edile A 2002/03 Rappresentazione polare La posizione di P nel piano può essere specificata in coordinate polari (r,  ) r è la distanza di P dall’origine del sistema di riferimento. r è un numero reale positivo  è l’angolo formato dal segmento OP con un asse arbitrariamente fissato nel piano Nella figura è stato scelto l’asse x come asse di riferimento. L’angolo  è positivo se l’asse di riferimento x deve ruotare in verso antiorario per sovrapporsi al segmento OP. OAsse x Asse y P r  OAsse x Asse y P r  x y

14 G.M. - Edile A 2002/03 Sistema di riferimento nello spazio Nello spazio occorrono tre assi orientati, x,y,z, ortogonali tra di loro. Si usano terne destrorse, cioè con l'asse x disposto secondo il pollice, l'asse y secondo l'indice, e quello z secondo il medio della mano destra. Si manda da P la parallela all'asse z fino ad incontrare il piano xy: si determina così il punto P xy proiezione di P sul piano xy. Si congiunge con un segmento l'origine O con il punto P xy. Il segmento OP xy è perpendicolare all’asse z. La proiezione di P sull'asse z, P z, si determina mandando da P un segmento parallelo al segmento OP xy. La proiezione P x di P sull'asse x si determina mandando da P xy la parallela all'asse y fino ad intersecare l'asse x La proiezione P y di P sull'asse y si determina mandando da P xy la parallela all'asse x fino ad intersecare l'asse y.

15 G.M. - Edile A 2002/03 Grandezze scalari e vettoriali Massa Tempo Temperatura Pressione Posizione lungo un asse (linea) Volume Lavoro Energia Posizione nel piano Posizione nello spazio Velocità Accelerazione Forza Quantità di moto Impulso Momento della quantità di moto

16 G.M. - Edile A 2002/03 I vettori Quando si ha a che fare con un problema in fisica conviene sempre fare un disegno, uno schizzo. Un vettore si rappresenta con una freccia per indicare la direzione ed il verso del vettore. La lunghezza della freccia rappresenta invece il modulo del vettore. Vettori paralleli (stesso verso e stessa direzione) e con lo stesso modulo sono uguali.

17 G.M. - Edile A 2002/03 Somma di due vettori x Regola del parallelogramma Si riporta il primo vettore, a partire dalla fine del primo vettore si riporta il secondo. Il vettore somma si ottiene congiungendo il punto iniziale del primo vettore con quello finale del secondo vettore y La somma è commutativa, posso invertire il ruolo del primo vettore con il secondo

18 G.M. - Edile A 2002/03 Vettori componenti di un vettore Qualunque vettore A può essere pensato come somma di due vettori A x e A y, il primo parallelo all’asse x, il secondo all’asse y A x e A y sono i vettori componenti di A. x y N.B. Nello spazio i vettori componenti sono tre: A x, A y e A z AyAy

19 G.M. - Edile A 2002/03 Componenti cartesiane A x = + (più) il modulo del vettore componete A x se A x è concorde con l’asse x A x = - (meno) il modulo di A x se il verso di A x è opposto all’asse x Analogo discorso per A y. –Dove A= modulo di A –  angolo tra A e l’asse x x y

20 G.M. - Edile A 2002/03 Somma di vettori usando le componenti AxAx BxBx

21 G.M. - Edile A 2002/03 Sottrazione di un vettore x y

22 G.M. - Edile A 2002/03 Versori Sono vettori di modulo unitario I versori non hanno dimensioni –Se u A è il versore del vettore A, allora A=Au A I versori degli assi x,y,e z si chiamano rispettivamente: i, j (e k), oppure u x, u y e u z. –Nel caso –A x =A x i –A y =A y j A = A x + A y = A x i+ A y j A uAuA A AxAx AyAy x y i j

23 G.M. - Edile A 2002/03 Significato di una relazione vettoriale Due vettori sono uguali se sono uguali le componenti Un’equazione vettoriale corrisponde a due (nel piano), tre (nello spazio) equazioni scalari

24 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Un’automobile viaggia verso est per 50 km, poi verso nord per 30 km e infine in direzione di 30° a est rispetto al nord per 25 km. Si disegni il diagramma dei vettori e si determini lo spostamento totale dell’auto dal punto di partenza.

25 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione La lancetta dei minuti di un orologio a parete misura 10 cm dall’asse alla punta. Qual è il vettore spostamento della punta -dal quarto d’ora alla mezz’ora -durante la mezz’ora successiva -durante l’ora successiva

26 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Il vettore B sommato al vettore A da per risultato 6.0i+1.0j. Se si sottrae B da A il risultato è -4.0i+7.0j. Quant’è il modulo il modulo di A.

27 G.M. - Edile A 2002/03 Applic azione Sono date le componenti di 4 vettori a,b,c,d. Determinare per ciascuno di essi l’angolo formato con l’asse delle x: 1)a x =3a y =3 2)b x =-3b y =-3 3)c x =-3c y =3 4)d x =3d y =-3