Incontro 1 Alcune riflessioni sulle prove di verifica delle competenze in ambiente early algebra Giancarlo Navarra GREM, Università di Modena e Reggio.

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1 Incontro 1 Alcune riflessioni sulle prove di verifica delle competenze in ambiente early algebra Giancarlo Navarra GREM, Università di Modena e Reggio Emilia Trieste - 4-5 novembre 2014

2 Prova di verifica delle competenze Trieste - 4-5 novembre 2014 2 Curricolo di matematica per la scuola primaria e secondaria di primo grado nella prospettiva di un approccio precoce all’algebra (early algebra) Prova per la verifica delle Competenze nell’ambito linguistico –A) proposta nel giugno 2014 in tre prime, tre seconde, tre terze, una quarta e due quinte di Trieste (12 classi, di cui tre ‘ArAl’, 204 alunni).Competenze’ambito linguistico –A Non ci sono classi di scuola secondaria. Per ognuna delle sei competenze sono state proposte tre frasi (in linguaggio naturale o matematico) adeguate all’età degli alunni. Le prove sono state differenziate.

3 Le competenze in ambito linguistico (A1, A2, A3) Trieste - 4-5 novembre 2014 3 A1. Tradurre in linguaggio naturale un numero espresso in forma non canonica;Tradurrenon canonica Es: 3×2+5 A2. Tradurre in linguaggio matematico un numero espresso attraverso una definizione procedurale; procedurale Es: Addiziona 4 a 15 e togli 9 A3. Tradurre in linguaggio matematico un numero espresso attraverso una definizione relazionale. relazionale Es: Il doppio della somma fra 51 e 37

4 Trieste - 4-5 novembre 2014 4 A4. Esprimere in linguaggio naturale il confronto tra numeri scritti in forma canonica e non canonica, cogliendo le equivalenze senza calcoli scritti e argomentando le scelte Es: 6×n-4 e 4+n×3×2 A5. Ricavare scritture equivalenti ad una data esplicitando, dov’è possibile, le proprietà applicate Es: 27-▲=15 A6. Completare frasi scritte in linguaggio matematico in cui un punto di domanda sostituisce un segno Es: 5×0 ? 0:12 Le competenze in ambito linguistico (A4, A5, A6)

5 Prima primaria (tre classi non ArAl) Trieste - 4-5 novembre 2014 5 A1: Tradurre in linguaggio naturale 9+6 15-9 13-5+4  +3 In due classi le definizioni sono tutte procedurali, in una solo (o quasi) iconiche. Gli insegnanti normalmente attribuiscono questo aspetto all’età degli alunni affermando che essi sono distanti dal pensiero astratto, e che una lettura relazionale presuppone la capacità di costruire una visione ‘meta’ che non appartiene all’età. Riteniamo che il problema riguardi essenzialmente una didattica che risente di un’impostazione prevalentemente operativa.

6 Trieste - 4-5 novembre 2014 6 A1: Tradurre in linguaggio naturale 9+6 Questione aperta: quale evoluzione concettuale si inibisce se in una classe la lettura di 9+6 è solamente iconica? Come se bisognasse sempre ricondurre il mondo dei numeri alla concretezza di un riferimento reale? Quando si ritiene che la mongolfiera del pensiero possa sollevarsi? Prima primaria (tre classi non ArAl)

7 Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1); A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Trieste - 4-5 novembre 2014 7 Seconda primaria (tre classi, una ArAl e due non ArAl) A1: tradurre 5×2

8 Cinque per due (25); Cinque moltiplicato per 2 (1) Moltiplico 5 per [con] 2 [volte] (3); 5 lo moltiplico per 2 [volte] (4); Possiedo 5 e lo moltiplico per 2 (1); Cinque ripetuto per 2 volte (1); A 5 moltiplico 2 (2); Da 5 ripeto per 2 volte (1); Ripeto 5 per 2 volte (1); 5 ripeto per 2 (1); Ripetere due volte il cinque (1); A cinque moltiplico per due (1); Raddoppio 5 (1); 5 raddoppio 2 (1); Raddoppiare il 5 × 2 volte (2); Prendo per due volte il cinque (1); Devo fare 5 preso 2 volte (1); Devi fare 2 volte 5 (1); Bisogna fare con il × il numero 5 e 2 (1); Cinque più due uguale dieci (1); Cinque due (1); Il risultato deve essere sempre scritto (1); sbagliati: cinque più due (1) Trieste - 4-5 novembre 2014 8 Ci sono informazioni che permettano di ipotizzare un ‘retroterra concettuale’ degli alunni che li ha portati ad organizzare le loro frasi? Proviamo ad individuare dei segnali che indichino i modi nei quali sono state costruite le loro conoscenze nel corso dei primi due anni della scuola primaria. Seconda primaria (tre classi, una ArAl e due non ArAl) A1: tradurre 5×2

9 Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Trieste - 4-5 novembre 2014 9 Segnale 1 Compaiono spesso i termini volte e ripetere ↓ Aspetti fondativi del concetto di moltiplicazione Seconda primaria - A1: tradurre 5×2

10 Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Trieste - 4-5 novembre 2014 10 Segnale 2 ‘Possiedo’ (probabile residuo di testi di problemi verbali), ‘prendo’ (manipolazione di oggetti e poi di numeri) ↓ La concretezza degli esordi Seconda primaria - A1: tradurre 5×2

11 Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Trieste - 4-5 novembre 2014 11 Segnale 3 Fare (spesso accompagnato da verbi in funzione assertiva – Devi, Bisogna) ↓ Aspetti operativi Seconda primaria - A1: tradurre 5×2

12 Cinque per due; Cinque moltiplicato per 2; Moltiplico 5 per [con] 2 [volte]; 5 lo moltiplico per 2 [volte]; Possiedo 5 e lo moltiplico per 2; Cinque ripetuto per 2 volte; A 5 moltiplico 2; Da 5 ripeto per 2 volte; Ripeto 5 per 2 volte; 5 ripeto per 2; Ripetere due volte il cinque; A cinque moltiplico per due; Raddoppio 5; 5 raddoppio 2; Raddoppiare il 5 × 2 volte; Prendo per due volte il cinque; Devo fare 5 preso 2 volte; Devi fare 2 volte 5; Bisogna fare con il × il numero 5 e 2; Cinque più due uguale dieci; Il risultato deve essere sempre scritto; Devi fare con i segni l’operazione; Tu scrivi il risultato e vedrai che fai bene Trieste - 4-5 novembre 2014 12 Segnale 4 Probabili residui di consigli e avvertimenti dati dall’insegnante ↓ Permanere di indicazioni ad un puro livello formale Seconda primaria - A1: tradurre 5×2

13 Trieste - 4-5 novembre 2014 13 I ‘segnali’ I ‘segnali’: gli aspetti fondativi (volte, ripetere) la concretezza degli esordi (possiedo, prendo) gli aspetti operativi (fare, devi, bisogna) il permanere di indicazioni a livello formale fanno parte dell’epistemologia matematica degli alunni (Schoenfeld) che condiziona, nel bene e nel male, i modi attraverso i quali essi affrontano l’evolversi della disciplina. Sono in gran parte, a questa età, più lo specchio di fattori esterni (l’insegnante) che il frutto di una rielaborazione personale.

14 Trieste - 4-5 novembre 2014 14 I ‘segnali’ I ‘segnali’ che traspaiono dalle traduzioni (in misure diverse, da alunno ad alunno) rappresentano atteggiamenti individuali che probabilmente, in una pur efficace didattica tradizionale, tendono a non emergere. La discussione collettiva permette non solo la loro emersione ma anche il loro confronto. Attraverso il confronto si apre la negoziazione sui significati (quale frase è più chiara? Più ‘matematica’? Più ‘evoluta’? Più trasparente? Sbagliata‘?) che dovrà condurre ad una condivisione ragionata della/e frase/i considerata più corretta.negoziazionetrasparente

15 Prima primaria (tre classi non ArAl) Trieste - 4-5 novembre 2014 15 A2: Traduci in linguaggio matematico: A 7 aggiungi 6 Togli 8 da 17 Aggiungi 3 a 12 e poi togli 5 Su 168 risposte 74 (44%) contengono anche il risultato (alcuni solo il segno ‘=‘). Questo significa che quasi metà degli alunni possiede una concezione procedurale della frase da tradurre. Le rappresentazioni non canoniche 7+6 17-8 12+3-5 non sono concepite come scritture autosufficienti.

16 Seconda primaria (tre classi, una ArAl e due non ArAl) Trieste - 4-5 novembre 2014 16 A3: Es: La somma di 27 col suo successivo Se si considerano gli esiti delle prove nella classe ArAl (l’unica della tre ad aver ricevuto le prove A3) gli alunni mostrano di conoscere i termini prodotto, differenza, somma, numero che non si conosce e successivo, contenuti nelle definizioni relazionali, anche se li traducono in modi non sempre corretti. Le traduzioni sono molto migliori che in A1. Si potrebbe ipotizzare un’analogia con quanto avviene nelle traduzioni fra l’italiano e una lingua straniera e viceversa.

17 Seconda primaria (tre classi, una ArAl e due non ArAl) Trieste - 4-5 novembre 2014 17 Un traduttore giovane e inesperto controlla meglio la sua lingua madre di quella straniera, gli riesce quindi più semplice tradurre dalla prima alla seconda (la correttezza della traduzione è un discorso a parte). In matematica sembra che accada qualcosa di simile: molti non sanno associare al simbolo ‘×’ il termine prodotto, e quindi pasticciano con traduzioni più o meno lunghe di tipo procedurale; sono però in grado di associare al termine prodotto il simbolo ‘×’ anche se poi pasticciano a livello matematico. A3: Es: La somma di 27 col suo successivo

18 Seconda primaria (tre classi, una ArAl e due non ArAl) Trieste - 4-5 novembre 2014 18 Se si ritiene che questa ipotesi sia vera, allora è necessario proporre agli alunni frequenti traduzioni dal linguaggio matematico al naturale, ‘forzando’ la loro interpretazione verso il superamento della lettura procedurale, algoritmica, in favore di una attribuzione di significati agli enti e alle relazioni che li collegano, cioè alla struttura delle frasi. Un esempio relativo ad un’insegnante in formazione. A3: Es: La somma di 27 col suo successivo

19 Una rivoluzione copernicana Trieste - 4-5 novembre 2014 19 L’insegnante scrive in questo modo: 37 + 56 ↓+2 ↓-2 39 + 54 Poi riflette a voce alta: I: Vedo che a 37 ho aggiunto 2 e a 56 ho tolto 2 (aggiunge le frecce man mano che parla) e il risultato è lo stesso. A4. Confrontare 37+56 e 39+54 e argomentare le conclusioni.

20 Una rivoluzione copernicana Trieste - 4-5 novembre 2014 20 Il ricercatore propone allora queste scritture: 37+a 39+a+2 L’insegnante le confronta correttamente usando la strategia precedente e conclude: I: Il risultato è lo stesso. A4. Confrontare 37+56 e 39+54 e argomentare le conclusioni.

21 Una rivoluzione copernicana Trieste - 4-5 novembre 2014 21 L’esempio illustra in modo chiaro un aspetto nodale: è necessario non solo che gli insegnanti comprendano la differenza fra procedurale e relazionale, ma che il punto di vista relazionale diventi per loro un valore. Nell’esempio, l’insegnante ha spontaneamente parlato di ‘risultato’ in entrambi i casi e non ha colto – a livello consapevole – di aver effettuato un confronto tra numeri o, meglio, tra le loro rappresentazioni. Sarebbe più corretto affermare che, poiché si aggiunge 2 al primo addendo e si toglie 2 al secondo, il numero 37+56 è uguale al numero 39+54.

22 Quinta primaria (due classi, una ArAl e una non ArAl) Trieste - 4-5 novembre 2014 22 Differenza fra classe ArAl e non ArAl nella produzione di traduzioni di tipo relazionale: A1ArAl (20)Non ArAl (20) ½×10100 3×b×h100 (5+4)×240 A2ArAl (20)Non ArAl (20) Raddoppia la differenza fra 12 e 5 110 Div. per 2 la somma fra 5 e il precedente 143 Moltiplica un numero scon. per 5 155

23 Competenze promosse dalle prove di verifica Trieste - 4-5 novembre 2014 23 Attraverso queste prove di verifica vengono promosse competenze a due livelli: a livello metalinguistico, che comporta la comprensione del significato della consegna ‘Traduci’, che conduce alla categoria del rappresentare, contrapposta a quella del risolvere. a livello linguistico, relative all’interpretazione delle scritture e alla produzione delle traduzioni nei loro aspetti semantici e sintattici.

24 a)(4+5):2 (13, 3) b)(5+4):2=4,5 (1) c)2:(5+4) (1) d)(5+4)×2 (1) e)5+4=9:2=4,5 (1) f)(5×4):2 (1) g)9:2= (1, 2) h)4. R. 1 (1) i)5×6:2 (1) A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) Trieste - 4-5 novembre 2014 24 (Classe ArAl, non ArAl) j)5+4=9:2=4,5 (2) k)5+4=9:2=4 R2 (1) l)5:4=1×1 (1) m) 5+4=9 9:2=4,5 (1) n)9:2=4,5 (2) o)3 (1) p)5+4=9:2 (1) q)5+4=9 9:2=4,5 (1)

25 a)(4+5):2 (13, 3) b)(5+4):2=4,5 (1) c)2:(5+4) (1) d)(5+4)×2 (1) e)5+4=9:2=4,5 (1) f)(5×4):2 (1) g)9:2= (1, 2) h)4. R. 1 (1) i)5×6:2 (1) A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) Trieste - 4-5 novembre 2014 25 (Classe ArAl, non ArAl) j)5+4=9:2=4,5 (2) k)5+4=9:2=4 R2 (1) l)5:4=1×1 (1) m) 5+4=9 9:2=4,5 (1) n)9:2=4,5 (2) o)3 (1) p)5+4=9:2 (1) q)5+4=9 9:2=4,5 (1) Si cancellano delle frasi

26 a)(4+5):2 (13, 3) b)(5+4):2=4,5 (1) c)9:2= (1, 2) d)5+4=9 9:2=4,5 (1) e)9:2=4,5 (2) A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) Trieste - 4-5 novembre 2014 26 (Classe ArAl, non ArAl) Molti alunni si rendono conto che la consegna chiede di tradurre, e non di effettuare operazioni e propongono di cancellare le scritture che contengono le operazioni e/o il risultato.

27 a)(4+5):2 (13, 3) b)9:2= (1, 2) A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ (V) Trieste - 4-5 novembre 2014 27 (Classe ArAl, non ArAl) Cosa si può dire di 4+5 e 9? 4+5 è più trasparente (rappresentazione non canonica di 9, mostra il processo) rispetto a 9 (rappresentazione del prodotto, opaco rispetto al processo che l’ha generato).

28 a)(5+4):2 b). c). d). e). f)4,5 g). A2: tradurre ‘Dividi per due la somma fra 5 e il numero precedente’ Trieste - 4-5 novembre 2014 28 Guidiamo la classe verso rappresentazioni che esprimano in modo trasparente le relazioni fra i numeri in gioco, differenti processi, parafrasi, connotazioni dello stesso numero.

29 A. LINGUAGGIO - Quinta A1. Traduci in linguaggio naturale: 4×100+2×10+6 15×2-32:2 Passa a: Primaria 1 2 3 4 5 Secondaria 1° 1 2 3 Secondaria 2° 1Primaria 12345Secondaria 1° 123Secondaria 2° 1 29 Somma fra il prodotto di 4 e 100, il prodotto di 2 e 10 e 6; Somma fra il quadruplo di 100, il doppio di 10 e 6 Differenza fra il doppio di 15 e la metà di 32 Perché è importante attivare queste competenze?

30 Cosa è un oggetto matematico (3+5) 2 (a+b) 2 quadrato di un binomio a 3 –b 3 differenza di due cubi (3–b 3 )(5a+4b) prodotto di due binomi quadrato di una somma (3+5) 2 =8 2 =64 La capacità di nominare gli oggetti dipende dal fatto che lo studente non sia stato abituato solo ad operare sugli oggetti: 3+5 Verso l’oggettivazione Modena - 17 settembre 2014 30