DEFINIZIONE DI LIMITE Il concetto di limite esprime, attraverso un complesso formalismo matematico, una forte relazione tra due ambienti, dominio e codominio,

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1 DEFINIZIONE DI LIMITE Il concetto di limite esprime, attraverso un complesso formalismo matematico, una forte relazione tra due ambienti, dominio e codominio, che sono messi in comunicazione tra loro da una qualunque funzione reale di variabile reale. La scrittura sta a significare, a grandi linee, che punti “vicini” ad l provengono da punti “prossimi” ad x0 . Dobbiamo cercare , quindi, di esprimere i concetti di “vicinanza” e “prossimità” in maniera oggettiva, liberi da ambiguità. É noto che il concetto di vicinanza nel linguaggio comune è relativo al contesto; ad esempio, l’insegnante e gli studenti all’interno della stessa aula sono abbastanza vicini per parlare, ma non abbastanza per stringersi la mano; ancora, la distanza di 1 metro per un astronomo è trascurabile, mentre per un biologo, abituato a spazi intermolecolari microscopici,è una distanza , manco a dirlo, “astronomica”. Concludendo, due oggetti alla distanza di un metro sono vicini o lontani?

2 Orbene, in matematica per ovviare a tale ambiguità si intendono vicini i punti
appartenenti ad uno stesso intorno. Da ciò si evince che nella definizione di limite saranno messi in comunicazione intorni di l con intorni di x0. Dominio Codominio J(l) I(x0) f x0 l

3 Bisogna ancora fare chiarezza su almeno due punti:
1. quanti intorni di l posso mettere in comunicazione con intorni di x0? 2. qual è la tipologia della comunicazione tra J(l) e I(x0)? La definizione di limite afferma che la determinazione dell’ intorno di x0 in corrispondenza di un intorno di l non è sottoposta ad alcuna limitazione, ovvero qualunque sia la scelta di J(l) è sempre possibile determinare almeno un I(x0) Fig. 1 Fig. 2

4 Riguardo al punto 2 c’è da capire che qualunque punto x si scelga in I(x0), distinto da x0, la sua immagine f(x) appartiene proprio a quell’intorno J(l) che abbiamo scelto in maniera arbitraria

5 Da quanto detto possiamo riassumere che:
ogni volta che scegliamo in maniera arbitraria un intorno di l è sempre possibile trovare almeno un intorno di x0 tale che per ogni punto x appartenente all’intorno di x0 trovato, distinto da x0 la sua immagine f(x) appartiene all’intorno di l che abbiamo scelto all’inizio

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