Equazioni e disequazioni irrazionali

Presentazione sul tema: "Equazioni e disequazioni irrazionali"— Transcript della presentazione:

1 Equazioni e disequazioni irrazionali
Equazioni e disequazioni modulari Equazioni e disequazioni logaritmiche e esponenziali Equazioni e disequazioni goniometriche

2 Equazioni irrazionali
n√ A(x) = B(x) ↔ A(x) = [B(x)]n (n dispari) A(X) ≥ 0 n√ A(x) = B(x) ↔ B(x) ≥ ( n pari) A(x) = [B(x)]n

3 Risolvi

4 Risolvi Soluzione x=3

5 Disequazioni irrazionali
se n è dispari n√ A(x) < B(x) ↔ A(x) < [B(x)]n n√ A(x) > B(x) ↔ A(x) > [B(x)]n se n è pari ( n = 2) A(x) ≥ 0 √ A(x) < B(x) ↔ B(x) > 0 A(x) < [B(x)]2 √ A(x) > B(x) ↔ A(x) ≥ V B(x) ≥ 0 B(x) < A(x) > [B(x)]2

6 ESEMPI 3 ≤ x < 4

7 Esempi

8 Valore assoluto di una variabile
se x≥0 se x<0

9 Risoluzione equazioni modulari
Per risolvere un’equazione che contiene il valore assoluto della variabile, o di una espressione con la variabile, si deve eliminare il valore assoluto, tenendo presente il segno dell’espressione in esso contenuta.

10 Esempi Andiamo a studiare l’argomento del modulo X = 1

11 Risolvi

12 Equazioni esponenziali
Un’equazione si dice esponenziale quando la variabile compare all’esponente ax = b con a > 0 2 ∙ 5x – 1 = è esponenziale 2x ∙52 – 1 = non è esponenziale

13 Come possono essere Come si risolvono ax = b con a > 0
determinata a, b Є R e a ≠ 1 ax = b è indeterminata a = b = 1 impossibile se b ≤ 0, a =1 e b ≠ 1 Si cerca di scrivere a e b come potenze aventi la stessa base per poi poter eguagliare gli esponenti Ad esempio: x = x= x= x=3/2 Come si risolvono

14 Questo non sempre è possibile come nel caso dell’equazione
6∙3x-32-x=15 In questo caso conviene introdurre una incognita ausiliaria ed applicare le proprietà delle potenze in modo da ottenere

15 Risolvi

16 LE DISEQUAZIONI ESPONENZIALI
Se a > 1, t > z ↔ at > az Se 0 < a < 1, t > z ↔ at < az Ad esempio si ha 32x > x> x> x>7/5

17 Risolvi

18 Risolvi

19 LE EQUAZIONI LOGARITMICHE
Un’equazione si dice logaritmica quando l’incognita compare nell’argomento di almeno un logaritmo Ad esempio log(x-7) = 1

20 Come si risolvono Risolvere un’equazione del tipo
loga A(x) = loga B(x) Equivale a risolvere il seguente sistema A(x)> condizione di esistenza B(x)> condizione di esistenza A(x)=B(x) uguaglianza argomenti

21 Ad esempio log x + log (x + 3) = log 2 + log (2x + 3)
Imponendo le condizioni di esistenza x>0 x+3>0 2x+3>0 Applicando le proprietà dei logaritmi log x(x+3)=log 2(2x+3) ottengo x>0 x2+3x=4x+6 x1 = N.A x2 = 3 acc.

22 Oppure possiamo aver bisogno di introdurre una incognita ausiliaria come nel caso
( log 3 x ) 2 – 2 log 3 x – 3 = 0 ponendo log 3 x = t ed x>0 Si ottiene t2 - 2t – 3 = 0 da cui t1 = -1 e t2 = 3 Da cui t1 = x1 = 1/3 t2 = x2 = 27

23 Risolvi

24 Risolvi

25 LE DISEQUAZIONI LOGARITMICHE
loga A(x) < loga B(x) equivale a risolvere il seguente sistema A(x)>0 condizione di esistenza B(x)>0 condizione di esistenza A(x)<B(x) se a>1 A(x)<B(x) se a<1 disequazione

26 Ad esempio log5 ( x – 1) < 2 che equivale log5 ( x – 1) < log5 25 Da cui x – 1 > 0 x – 1 < 25 log1/3 ( x – 4 ) > log1/3 5x da cui x – 4 > 0 x - 4 < 5x 1 < x < 26 x > 4

27 Risolvi

28

29 LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE
Un’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una funzione goniometrica dell’incognita. Ad esempio 2∙cos(x) = 1 Mentre 2∙cos(π/4) = 1 non è un’equazione goniometrica perché non contiene funzioni goniometriche dell’incognita x

30 LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
determinata se -1 ≤ a ≤ 1 sen x = a impossibile se a < -1 v a > 1 sen x = ½ x = π/6 + 2k π e x = π – π/6 + 2k π = 5/6 π + 2k π

31 determinata se -1 ≤ b ≤ 1 cos x = b impossibile se b < -1 v b > 1 cos x = - √3 / 2 Se β è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = β + 2kπ v x = - β + 2kπ

32 tg x = c L’equazione è determinata per qualunque valore reale di c tg x = √ 3 / 3 Se γ è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = γ + kπ

33 Particolari equazioni goniometriche elementari
Ad esempio risolviamo Che fornisce le soluzioni ed anche

34 sen α = - sen α’ Poiché – senα’ = sen(-α’), si ha senα = sen(-α’) senα = cosα’ Poiché cosα’ = sen(π/2 – α’ ) l’equazione si può scrivere sen α = sen (π/2 – α’ ) sen α = - cos α’ Poichè cos α’ = sen (π/2 – α’ ) l’equazione si può scrivere sen α = - sen (π/2 – α’ ) = sen (- π/2 + α’ )

35 – cos α’ = cos (π - α’), quindi cos α = cos (π - α’)
Ad esempio risolviamo cos α = - cos α’ – cos α’ = cos (π - α’), quindi cos α = cos (π - α’)

36 Ad esempio risolviamo tg α = - tg α’ Poiché - tg α’ = tg(- α’) l’equazione si può scrivere tg α = tg (- α’ )

37 Le equazioni lineari in seno e coseno
a sen x + b cos x + c = con a, b, c Є R a ≠ 0 e b ≠ 0 METODO ALGEBRICO Se c = 0, a sen x + b cos x = 0 si divide per cos x : a tg x + b = 0 → tg x = - b / a Se c ≠ 0, a sen x + b cos x + c = 0 Si utilizzano le formule parametriche: 2t t2 sen x = cos x = con t = tg x/2 e x ≠ π/2 + k π 1 + t t2 Si ottiene un’equazione del tipo α t2 + β t + γ = 0, riconducibile ad elementare

38 Esempio

39 METODO GRAFICO Si risolve il sistema a sen x + b cos x + c = 0
cos 2 x + sen 2 x = 1 Poi si pone cos x = X e sen x = Y si ottiene il sistema algebrico a Y + b X + c = 0 X2 + Y2 = 1 √3 sen x + cos x = 2

40 LE EQUAZIONI OMOGENEE DI SECONDO GRADO IN SENO E COSENO
a sen 2 x + b sen x cos x + c cos 2 x = 0 a = 0 v c = 0 b sen x cos x + c cos 2 x = se a = 0 a sen 2 x + b sen x cos x = se c = 0 cos x (b sen x + c cos x ) = 0 sen x (a sen x + b cos x ) = 0 a ≠ 0 ^ c ≠ 0 Si divide per cos 2 x ottenendo un’equazione di secondo grado in tg x, equivalente alla data. sen 2 x – ( 1 + √3 ) sen x cos x + √3 cos 2 x = 0

41 Esempio

42 LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
soluzione con il metodo grafico utilizzando la circonferenza goniometrica LE DISEQUAZIONI ELEMENTARI Si risolvono risolvendo un sistema misto formato dalla disequazione in cui si è posto cosx=Y o senx=X e dalla circonferenza goniometrica X2+Y2=1

43 Risolviamo sen x < 1/2 con 0°<x<360°
Risolvo il sistema Y<1/2 X2+Y2=1 Ottenendo 0°< x < 30° 150°< x < 360°

44 LE DISEQUAZIONI NON ELEMENTARI
Si possono risolvere per via algebrica introducendo una incognita ausiliaria Come ad esempio nella disequazione √ 2 sen2 x - sen x ≥ 0 Ponendo sex = t si ottiene √2 t2 – t ≥ 0 e diventa una disequazione di secondo grado le cui soluzioni sono t ≤ 0 e t ≥ √2 /2 per cui ottengo le due disequazioni elementari sen x ≤ 0 sen x ≥ √2 /2 Di cui devo prendere entrambe le soluzioni

45 Risolvi

46 Risolvi

47 Risolvi

48 Risolvi Risolviamo l’equazione associata Rappresentiamo
graficamente gli intervalli soluzione della disequazione con la circonferenza goniometrica

49 Le soluzioni della disequazione sono: