Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Decisioni sequenziali Chiara Mocenni.

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1 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Decisioni sequenziali Chiara Mocenni

2 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Problemi decisionali sequenziali Una lotteria modella una situazione di rischio relativa a un singolo evento In realtà il problema può riguardare una successione di decisioni Alberi di decisione

3 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Esempio: organizzazione di un concerto Avi deve organizzare un concerto estivo, e deve decidere se organizzarlo: –A allAperto, in un parco –C al Chiuso, in un teatro –P sotto il Portico di una villa

4 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il concerto La riuscita e lincasso dipenderanno dal luogo ma anche dal tempo che farà, che potrà essere: –S Sereno –R Pioggia

5 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 I possibili risultati 10,000 aperto, sereno 9,000 portico, sereno 0 aperto, pioggia 2,000 portico, pioggia 4,000 chiuso, sereno 5,000 chiuso, pioggia Profitto attesoRisultato

6 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Assessment dellutilità Col procedimento visto prima si può stabilire lutilità (per Avi) dei vari risultati u(10,000) = 1 u(9,000) = 0.95 u(5,000) = 0.67 u(4,000) = 0.57 u(2,000) = 0.32 u(0) = 0

7 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 2 0.32 45910 0.57 0.67 0.95 1

8 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Bollettino meteorologico Il bollettino meteorologico dà: –40% probabilità di sereno –60% probabilità di pioggia Il tempo di domani può vedersi come una lotteria i cui premi dipendono dalla decisione presa

9 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso portico sereno (0.4) pioggia (0.6) 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32

10 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Utilità attesa dei tre casi U[ aperto ] = 0.4 * 1 + 0.6 * 0 = 0.4 U[ chiuso ] = 0.4 * 0.57+ 0.6 * 0.67= 0.63 U[ portico ] = 0.4 * 0.95+ 0.6 * 0.32= 0.57

11 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso portico sereno (0.4) pioggia (0.6) 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32 0.4 0.63 0.57

12 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 2 0.32 45910 (K) 0.57 0.67 0.95 1 0.63 4.6

13 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Utilità attesa Lutilità attesa della decisione è pari alla massima utilità attesa delle lotterie tra le quali avviene la scelta In questo caso, lutilità attesa è 0.63 e lequivalente certo della decisione è 4,600 (ossia il decisore è indifferente tra partecipare alla lotteria, cioè organizzare il concerto al chiuso, e ricevere 4600 euro sicuri. )

14 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Decisioni e informazioni Fin qui lunica informazione è la probabilità di tempo sereno (0.4), e in base a questo Avi prende la decisione Come cambia la situazione se è possibile accedere ad altre fonti di informazione?

15 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Informazione perfetta Supponiamo esista un oracolo che, in modo infallibile, è in grado di prevedere il tempo Loracolo chiede un compenso in denaro Qual è la massima cifra che ha senso pagare per avere linformazione?

16 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Informazione perfetta (II) Supponiamo che loracolo chieda 1,500 euro Qual è la nuova utilità attesa?

17 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 sereno (1) 0.86 aperto chiuso sereno (1) pioggia (0) 0.92 -0.3 0.39 0.51 0.86 0.08 0.92 0.39 portico Loracolo prevede sereno (0.4) Loracolo prevede pioggia (0.6) aperto chiuso sereno (0) pioggia (1) 0.92 -0.3 0.39 0.51 0.86 0.08 -0.3 0.51 0.08 portico 0.92 0.51 0.67

18 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Informazione perfetta (II) La nuova utilità attesa è 0.67, corrispondente a un equivalente certo di 5,000 Poiché 5,000 > 4,600, la nuova situazione è più conveniente Per Avi, è conveniente spendere 1,500 per linformazione

19 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Decisioni sequenziali Se linformazione avesse avuto un prezzo superiore, poteva non essere più conveniente consultare loracolo Il problema diviene sequenziale: Consultare o no loracolo? Dove tenere il concerto?

20 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione La massima cifra che ha senso pagare per avere linformazione rappresenta il valore dellinformazione (perfetta) per un determinato decisore Come si determina il valore dellinformazione?

21 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione (II) Per una classe abbastanza ampia di decisori, il valore dellinformazione può calcolarsi come differenza tra: equivalente certo della decisione con informazione gratuita e equivalente certo della decisione in assenza di informazione

22 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso sereno (1) pioggia (0) 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32 1 0.67 portico aperto chiuso sereno (0) pioggia (1) 0 0.67 0.32 portico Loracolo prevede sereno (0.4) Loracolo prevede pioggia (0.6) 1 0.67 0.802 Informazione gratuita 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32 0.95

23 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 0.802 2 0.32 45910 (K) 0.57 0.67 0.95 1 6.6

24 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso sereno (1) pioggia (0) 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32 1 0.67 portico aperto chiuso sereno (0) pioggia (1) 0 0.67 0.32 portico Loracolo prevede sereno (0.4) Loracolo prevede pioggia (0.6) 1 0.67 0.802 6,600 Informazione gratuita 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32 0.95

25 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione Quindi il valore dellinformazione è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: 6,600 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: 4,600 = 2,000

26 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Un decisore alternativo: Inat Supponiamo che per Inat: u(10,000) = 1 u(9,000) = 0.9 u(5,000) = 0.5 u(4,000) = 0.4 u(2,000) = 0.2 u(0) = 0

27 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 2 0.2 45910 0.4 0.5 0.9 1

28 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso portico sereno (0.4) pioggia (0.6) 1 0 0.4 0.5 0.9 0.2 0.4 0.46 0.48 Assenza di informazione 4,800 0.48

29 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso sereno (1) pioggia (0) 1 0 0.4 0.5 0.9 0.2 1 0.4 0.9 portico aperto chiuso sereno (0) pioggia (1) 0 0.5 0.2 portico Loracolo prevede sereno (0.4) Loracolo prevede pioggia (0.6) 1 0.5 0.7 1 0 0.4 0.5 0.9 0.2 7,000 Informazione gratuita

30 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione Quindi il valore dellinformazione per Inat è: equivalente certo della decisione con informazione gratuita: 7,000 - equivalente certo della decisione in assenza di informazione: 4,800 = 2,200

31 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione Dunque per Avi (avverso al rischio) il valore dellinformazione è inferiore al valore che ha per Inat (indifferente al rischio) Non sempre è così...

32 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso portico sereno (p) pioggia (1-p) 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32 Avi 1 0 0.4 0.5 0.9 0.2 Inat

33 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Confronto tra decisori (p=0.4) Quando p=0.4, Avi (avverso al rischio) deciderebbe di svolgere il concerto al chiuso, Inat (indifferente al rischio) sotto il portico Il valore dellinformazione perfetta è: V AVI = 2,000 V INAT = 2,200

34 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Confronto tra decisori (p=0.5) Consideriamo ora lo stesso problema, ma con una maggiore probabilità di tempo sereno, p=0.5

35 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso portico sereno (0.5) pioggia (0.5) 1 0 0.57 0.67 0.95 0.32 Avi 1 0 0.4 0.5 0.9 0.2 Inat 0.5 / 0.5 0.45 / 0.62 0.55 / 0.64 Assenza di informazione

36 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Confronto tra decisori (p=0.5) Stavolta ambedue i decisori sceglierebbero il portico Lequivalente certo in assenza di informazione è: x AVI = 4,700 x INAT = 5,500

37 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso sereno (1) pioggia (0) 1 1 portico aperto chiuso sereno (0) pioggia (1) 0.67 portico Loracolo prevede sereno (0.5) Loracolo prevede pioggia (0.5) 1 0.67 0.84 0.67 7,100 Informazione gratuita: Avi 0 0.57

38 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 aperto chiuso sereno (1) pioggia (0) 1 1 portico aperto chiuso sereno (0) pioggia (1) 0.5 portico Loracolo prevede sereno (0.5) Loracolo prevede pioggia (0.5) 1 0.5 0.75 0.5 7,500 Informazione gratuita: Inat 0 0.4

39 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione: Avi Equivalente certo della decisione con informazione gratuita: 7,100 - Equivalente certo della decisione in assenza di informazione: 4,700 = 2,400

40 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione: Inat Equivalente certo della decisione con informazione gratuita: 7,500 - Equivalente certo della decisione in assenza di informazione: 5,500 = 2,000

41 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Confronto tra decisori (p=0.5) Il valore dellinformazione perfetta è: V AVI = 2,400 V INAT = 2,000 Poiché i due decisori fanno la stessa scelta, Avi è disposto a pagare di più linformazione rispetto a Inat

42 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Inat deve acquistare titoli... Xassicurano un guadagno di 250 Ycon probabilità 0.3, un guadagno di 275, con probabilità 0.7 un guadagno di 107; in questultimo caso può scambiarli con Z Z con probabilità 0.5 il guadagno può essere 375 o 100

43 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 275 107 375 100 Acquistare Y Scambiare Acquistare X 0.3 0.7 0.5 237.5 250 248.75 Z guadagna 0.5 Tenere Y 250 237.5 Z crolla Assenza di informazione Y guadagna Y perde

44 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 275 107 375 250 Acquistare Y Scambiare Acquistare X 0.3 0.7 0.5 375 297.5 345 Informazione gratuita sui titoli Z prima della dec. su X 275 107 100 250 Acquistare Y Tenere Y Acquistare X 0.3 0.7 107 157.4 Z guadagna Z crolla 345 250

45 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione su Z Lutilità attesa della lotteria nel nodo radice è di 297.50 In assenza di informazione, lutilità attesa è di 250 Il valore dellinformazione su Z prima di decidere su X è di: 297.50 - 250 = 47.50

46 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 275 375 107 Acquistare Y Scambiare 0.3 0.7 0.5 375 251.2 Informazione gratuita sui titoli Z dopo aver deciso su X Acquistare X Y guadagna 251.2 250 Y perde 100 107 Tenere Y 0.5 Loracolo prevede che Z guadagnerà Loracolo prevede che Z perderà 107 241

47 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione su Z Lutilità attesa della lotteria nel nodo radice è di 251.20 In assenza di informazione, lutilità attesa è di 250 Il valore dellinformazione su Z dopo avere già deciso su X è di: 251.20 - 250 = 1.20

48 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 275 250 375 Acquistare Y 0.3 0.7 0.5 257.5 Informazione gratuita sui titoli Y prima della dec. su X Acquistare X Loracolo prevede che Y guadagnerà 250 100 107 Tenere Y 275 Loracolo prevede che Y perderà 250 Acquistare X 0.5 237.5

49 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni – a.a. 2009-2010 Il valore dellinformazione su Y Lutilità attesa della lotteria nel nodo radice è di 257.50 In assenza di informazione, lutilità attesa è di 250 Il valore dellinformazione su Y prima di decidere su X è di: 257.50 - 250 = 7.50