DIAMO I NUMERI CON EULERO Pristem & Polymath Scuola di Idro 13 settembre 2008 Renato Betti Politecnico di Milano Lamore degli uomini per i numeri forse.

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1 DIAMO I NUMERI CON EULERO Pristem & Polymath Scuola di Idro 13 settembre 2008 Renato Betti Politecnico di Milano Lamore degli uomini per i numeri forse è più antico della teoria dei numeri. (A. Weyl)

2 1) Contenuto = Numeri Il termine teoria dei numeri fa la prima comparsa in E279 (De resolutione formularum quadricarum indeterminarum per numeros integros), pubblicato nel 1764. 2) Metodo = Tensione al risultato / rigore 3) La matematica che serve? E quanti soldi occorre pagare per liberarsi da chi vuole imparare solo la matematica che serve? 4) Matematica di Euclide Matematica dell'abaco 5) Continuità e generalità La costruzione di una rete di proprietà

3 Eulero e la matematica che serve Dal piccolo teorema di Fermat (1640) al teorema di Eulero-Fermat (E271, Theoremata arithmetica nova metodo demonstrata, 1758). Piccolo teorema di Fermat: Fermat studiava i numeri perfetti attraverso i numeri primi della forma 2 m -1 (primi di Mersenne) e le proprietà dei coefficienti binomiali

4 Euclide (IX,36) dimostra che i numeri della forma 2 m –1 (2 m –1 ), con 2 m –1 primo, sono perfetti Eulero (1756), dimostra che i numeri di questa forma sono tutti i numeri perfetti pari Numeri perfetti Proprietà magiche o mistiche dei numeri ricorrono in molte culture. In qualche modo, nellantica Grecia, o anche prima, lidea di perfezione fu associata a quegli interi che sono uguali alla somma dei propri divisori. (A. Weyl) Non si conoscono numeri perfetti dispari (ma se ne esistono devono essere > 10 300

5 La dimostrazione del piccolo teorema di Fermat segue subito osservando che i coefficienti binomiali sono divisibili per p esattamente quando p è primo (k = 1, 2,…,p). è divisibile per 2p Infatti:

6 Prime dimostrazioni del piccolo teorema di Fermat Eulero 1741(E54, Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio) per induzione su a Eulero 1763 (E271, Theoremata arithmetica nova methodo demonstrata) generalizza p–1 a φ(n): Eulero 1750 (E134, Theoremata circa divisores numerorum) basata sulla proprietà:

7 Matematica di Euclide / Matematica dell'abaco F 0 = 3 F 1 = 5 F 2 = 17 F 3 = 257 F 4 = 65.537 Nel 1729 Goldbach comunica ad Eulero la congettura di Fermat

8 Eulero 1747 (E134, Theoremata circa divisores numerorum) : ha divisori primi solo della forma 2 m+1 ·h + 1 ha solo divisori primi della forma 2 6 · h + 1 Eulero 1732 (E26, Observationes de theoremate quodam Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus): Ma F 5 e divisibile per 641

9 Occorre rivalutare i fenomeni matematici! Niente è più bello di ciò che è vero (H. Minkowski) Bastano cinque tentativi per trovare il divisore primo 641 di F 5.

10 Secondo Condorcet: pranza con gli allievi discute il fenomeno Montgolfier (idrodinamica) calcola (con Lexell) l'orbita di Urano cessa di vivere e di calcolare '600 Fermat '700 Eulero '800 Gauss... Cosa ha fatto Eulero il 18 settembre 1783? La matematica non deve essere nella mente come un peso portato dallesterno, ma come unabitudine del pensiero. (P.A. Florenskij) Continuità e generalità

11 La formula del prodotto Eulero 1744 (E72, Variae observationes circa series infinitas): Teorema 8. Se usiamo la serie dei numeri primi per formare lespressione allora il suo valore è uguale alla somma della serie In simboli:

12 Come dire (?!) Teorema 7. Il prodotto esteso all'infinito della frazione in cui i numeratori sono numeri primi e superano di un'unita i denominatori, uguaglia la somma della serie infinita ed entrambe le somme sono infinite. Ma….

13 Dim. Nel nostro linguaggio:

14 Il problema di BasileaViene posto nel 1644 da Pietro Mengoli: Nel 1730 il Methodus differentialis di James Stirling fornisce lapprossimazione: Eulero dimostra: [tre dimostrazioni in E41, De summis serierum reciprocarum (1735), una quarta in E63, Demonstration de la somme de cette suite 1+1/4+1/9+1/16+… (1743)]

15 Dim. La funzione ha gli zeri Se allora Per analogia: implica

16 La ζ di Riemann Il problema di Basilea corrisponde a: In E41, De summis serierum reciprocarum (1735), Eulero calcola la somma ζ (s) per ogni s= 2n pari.

17 L'infinità dei primi Prima dimostrazione in Euclide (IX,20) Eulero, E72, Variae observationes circa series infinitas (1744): Inoltre: La serie degli inversi dei numeri primi è infinitamente minore della serie armonica il valore della serie armonica è uguale al logaritmo di infinito La prima somma è quasi il logaritmo della seconda

18 In simboli: Questo anticipa il teorema dei numeri primi, congetturato da Gauss nel 1793, da Legendre nel 1798 e dimostrato nel 1896 sia da Hadamard che da La Vallée Poussin.