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Definizione (rigorosa) di limite
Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende al limite finito l e si scrive : Se per
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Se x0 è arbitrariamente grande
Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive : +∞ + ∞ Se per
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Definizione (rigorosa) di limite
Asintoto orizzontale In questo caso la retta orizzontale di equazione y=l si dice asintoto orizzontale per la funzione f(x) per x→+ ∞
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Se x0 è arbitrariamente grande e negativo
Si dice che per x tendente a - ∞ la funzione tende al limite finito l (converge) e si scrive : Se per
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Definizione (rigorosa) di limite
Asintoto orizzontale In questo caso la retta orizzontale di equazione y=l si dice asintoto orizzontale per la funzione f(x) per x→- ∞
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Se x0 è arbitrariamente grande o positivo o negativo
Si dice che per x tendente a ∞ la funzione tende al limite finito l e si scrive : Se per Equivale a x>K se x>0 e x<-K se x<0
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Definizione (rigorosa) di limite
Asintoto orizzontale In questo caso la retta orizzontale di equazione y=l si dice asintoto orizzontale per la funzione f(x) per x→ ∞
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Se l è arbitrariamente grande e positivo
Si dice che per x tendente a x0 la funzione (diverge positivamente) tende a + ∞ e si scrive : f(x)>M Se per
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Asintoto verticale (p.154)
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Se l è arbitrariamente grande e negativo
Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende a - ∞ (diverge negativamente) e si scrive : f(x)<-M Se per
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Asintoto verticale (p.154)
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Se l è arbitrariamente grande
Si dice che per x tendente a x0 la funzione tende a ∞ (diverge) e si scrive : |f(x)|>M Se per
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Asintoto verticale (p.154)
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Se x0 e l sono arbitrariamente grande
Si dice che per x tendente a ∞ la funzione tende a ∞ e si scrive : |f(x)|>M Se per
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Limite sinistro, destro (p.151)
Il limite sinistro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da sinistra. Per ricordarlo si scrive
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Limite sinistro, destro (p.151)
Il limite destro si ottiene considerando l’avvicinamento solo da destra. Per ricordarlo si scrive
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Teorema: se il limite esiste, allora esistono anche il limite sinistro, il limite destro e coincidono. Conseguenze: Il limite non esiste se: il limite sinistro non esiste il limite destro non esiste esistono entrambe, ma hanno valori diversi.
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Asintoti obliqui Un asintoto obliquo è una retta non orizzontale e non verticale cui la funzione si avvicina indefinitivamente per x che tende o a + ∞ o a –∞ o in entrambe i casi
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Asintoti obliqui L’asintoto obliquo ha equazione y=mx+n
La funzione f(x) ha un asintoto obliquo se risulta: Possiamo trovare m ed n nel modo seguente
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Asintoti obliqui Dal limite Dividendo per x abbiamo
Portando n a destra abbiamo N.B. il discorso vale anche per x→-∞
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Proprietà dei limiti (p.155)
Teorema della permanenza del segno In forma diretta Se per x tendente a x0 la funzione tende ad un limite finito l diverso da zero, allora esiste un intorno di x0 nel quale la f(x) ha lo stesso segno di l l x0
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Proprietà dei limiti (p.155)
Teorema della permanenza del segno In forma inversa: Se in tutti i punti vicini ad x0 la funzione è strettamente positiva allora il limite è non negativo (esempio: parabola) x0
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Proprietà dei limiti (p.155)
Teorema carabinieri Se due funzioni f(x) e g(x) per x tendente a x0 ammettono lo stesso limite l e se in un intorno di x0 si ha f(x) h(x) g(x) allora anche h(x) converge a l in x0 x0
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Proprietà dei limiti (p.155)
Il limite di somma, differenza, prodotto, quoziente di due funzioni È dato da somma, differenza, prodotto, quoziente dei limiti (eccetto il caso in cui il limite della funzione al denominatore è nullo)
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f(x)g(x), x in un intorno di x0
Teorema del confronto Sia f:A→R e g:B → R, sia x0 punto di accumulazione per A. Se esiste un intorno di x0 nel quale le funzioni sono entrambe definite tale che f(x)g(x), x in un intorno di x0 ed esistono i limiti Allora LM
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Se L=+ ∞ allora g ha limite ed esso è + ∞
Attenzione: nel teorema si chiede che esistano entrambi i limiti. L’esistenza del limite deve quindi essere nota a priori. Osservazione: ci sono due casi in cui l’esistenza del limite segue dal teorema precedente: Se L=+ ∞ allora g ha limite ed esso è + ∞ Se M=- ∞ allora g ha limite ed esso è - ∞
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Metodi per il calcolo dei limiti
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Funzioni continue
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Definizione Una funzione f:A→R, con A R si dice continua in x0 punto di accumulazione di A se esiste Se x0 è un punto isolato (e quindi non è di accumulazione) allora, per convenzione, la funzione è continua. Se vale soltanto allora la funzione si dice continua da destra Se vale soltanto allora la funzione si dice continua da sinistra
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Le seguenti funzioni sono continue (p.136)
Bisogna dimostrare che è verificata la definizione di funzione continua f(x)=k f(x)=2x-3 (p.135) f(x)=mx+n (tutte le rette) f(x)=x^2 Le potenze I polinomi Le funzioni razionali fratte con l’eccezione dei punti in cui il denominatore si annulla
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Teorema di Weierstrass
Se f(x) è continua un [a,b] allora è sempre dotata di minimo e di massimo ed assume tutti i valori compresi tra il minimo ed il massimo Osservazione: [a,b] è un intervallo chiuso e limitato. Tali intervalli prendono il nome di compatti.
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