Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Lezione n°9.

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1 Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Lezione n°9

2 Il modello di regressione lineare 1.Introduzione ai modelli di regressione 2.Obiettivi 3.Le ipotesi del modello 4.La stima del modello 5.La valutazione del modello 6.Commenti

3 Equazione di regressione lineare multipla i-esima oss. su Y i-esima oss. su X 1 errore relativo alli-esima oss. intercettacoefficiente di X1 La matrice X=[1,X 1,…,X p ] è detta matrice del disegno. Il modello di regressione lineare Le ipotesi del modello

4 Si vuole trovare la retta lineare migliore data la nuvola di punti Y X Il modello di regressione lineare La stima del modello

5 Equazione teorica coefficienti non noti Equazione stimata coefficienti stimati (una delle infinite rette possibili) stime dei coefficienti errore di previsione previsione Il modello di regressione lineare La stima del modello

6 Stimando la retta di regressione si commette un errore di previsione: Metodo dei Minimi Quadrati Y X VALORE STIMATO VALORE OSS. ERRORE Il modello di regressione lineare La stima del modello

7 Obiettivo trovare la miglior approssimazione lineare della relazione tra Y e X 1,…,X p (trovare le stime dei parametri beta che identificano la migliore retta di regressione) Metodo dei minimi quadrati lo stimatore LS è la soluzione al problema Il modello di regressione lineare La stima del modello

8 Lo stimatore dei Minimi Quadrati: LS è funzione di Y e X ha media ha varianza Il modello di regressione lineare La stima del modello

9 Proprietà dello stimatore LS non distorto consistente (se valgono certe hp su XX) coincide con lo stimatore di max verosimiglianza sotto hp forti BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) Il modello di regressione lineare La stima del modello

10 Scomposizione della varianza SST=SSE+SSM total sum of squares variabilità di Y error sum of squares variabilità dei residui model sum of squares variabilità spiegata Il modello di regressione lineare La stima del modello

11 Indicatori sintetici di bontà del Modello R-quadro adjusted OK valori alti R-quadro OK valori alti Il modello di regressione lineare La stima del modello Test F OK p-value con valori bassi

12 R-quadro= SSM/SST misura la % di variabilità di Y spiegata dal modello = capacità esplicativa del modello misura la variabilità delle osservazioni intorno alla retta di regressione. SSM=0 (R-quadro=0) il modello non spiega SSM=SST (R-quadro=1) OK R-quadro adjusted= [1-(1-SSM/SST)]/(n-1)(n-p-1) come R-quadro ma indipendente dal numero di regressori combina adattabilità e parsimonia Il modello di regressione lineare La stima del modello

13 Test F per valutare la significatività congiunta dei coefficienti ipotesi nulla statistica test valutazione se p-value piccolo (rifiuto lhp di coefficienti tutti nulli) il modello ha buona capacità esplicativa Il modello di regressione lineare La stima del modello

14 Test t per valutare la significatività dei singoli coefficienti ipotesi nulla (j=1,…,p) valutazione il coefficiente è significativo (significativamente diverso da 0) se il corrispondente p- value è piccolo (ossia, rifiuto lipotesi di coefficiente nullo) il regressore a cui il coefficiente è associato è rilevante per la spiegazione del fenomeno statistica test Il modello di regressione lineare La stima del modello

15 Root MSE55693R-Square0.6207 Dependent Mean32431Adj R-Sq0.6200 Coeff Var171.72861 Parameter Estimates VariableLabelDFParameter Estimate Standard Error t ValuePr > |t| Intercept 1-150162324.86370-6.46<.0001 PAG_ORDPagato in contrassegno11.194330.0548521.78<.0001 PAG_MESPagato con rate mensili12.523410.1010224.98<.0001 TOT_ORDTotale ordini114881683.8870321.76<.0001 LISTANumero di liste di appartenenza1603.365501110.847780.540.5871 SESSOSesso13453.147051994.834681.730.0835 CENResidenza Centro1-6431.884932597.25872-2.480.0133 SUDResidenza Sud1-183902077.96317-8.85<.0001 Il modello di regressione lineare La stima del modello

16 Interpretazione dei coefficienti impatto di X j su Y posto che nel modello sono presenti altre variabili tasso di variazione di Y al variare di X j come varia Y al variare di una unità di X j se gli altri regressori non variano Il modello di regressione lineare La stima del modello

17 Segno del coefficiente indica la direzione dellimpatto del regressore a cui è associato segno atteso diverso da quello osservato può indicare interazione tra i regressori (multicollinearità) Ordine di grandezza dipende dallunità di misura per valutarlo usare coefficienti standardizzati Il modello di regressione lineare La stima del modello

18 Il modello di regressione lineare 1.Introduzione ai modelli di regressione – Case Study 2.Obiettivi 3.Le ipotesi del modello 4.La stima del modello 5.La valutazione del modello 6.Commenti

19 Indicatori di bontà del Modello Il modello di regressione lineare La stima del modello Y X Y X Y X R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo R-SQUARE=0.7 F con p-value piccolo

20 OUTLIERS ? INFLUENTI ? Il modello di regressione lineare Lanalisi di Influenza

21 Osservazione anomala rispetto alla variabilità di Y non attira a sé il modello in maniera significativa OUTLIER Il modello di regressione lineare Lanalisi di Influenza

22 Osservazione anomala rispetto alla variabilità di Y attira a sé il modello in maniera significativa OUTLIER Il modello di regressione lineare Lanalisi di Influenza

23 Valutazione dellimpatto delle singole osservazioni osservazioni outlier che creano distorsione nella stima del modello - plot dei residui - plot X/Y osservazioni influenti che contribuiscono in modo sproporzionato alla stima del modello - plot dei residui - statistiche di influenza Il modello di regressione lineare Lanalisi di Influenza

24 Leverage H: i-esimo elemento della diagonale della matrice di proiezione. misura quanto unosservazione è lontana dal centro dei dati (ma tende a segnalare troppe oss influenti e tratta tutti i regressori nello stesso modo) oss influente se lev H>2*(p+1)/n Distanza di Cook: misura la variazione simultanea dei coefficienti quando unosservazione viene rimossa oss influente se D>1 Il modello di regressione lineare Statistiche di Influenza

25 Plot delle statistiche di influenza attenzione alle osservazioni nel quadrante in alto a destra D lev H INFLUENTI - DINFLUENTI – SIA D CHE LEVERAGE H INFLUENTI - LEVERAGE H Il modello di regressione lineare Statistiche di Influenza

26 Il modello di regressione lineare Statistiche di Influenza Root MSE55693R-Square0.6207 Dependent Mean32431Adj R-Sq0.6200 Coeff Var171.72861 Parameter Estimates VariableLabelDFParameter Estimate Standard Error t ValuePr > |t| Intercept 1-150162324.86370-6.46<.0001 PAG_ORDPagato in contrassegno11.194330.0548521.78<.0001 PAG_MESPagato con rate mensili12.523410.1010224.98<.0001 TOT_ORDTotale ordini114881683.8870321.76<.0001 LISTANumero di liste di appartenenza1603.365501110.847780.540.5871 SESSOSesso13453.147051994.834681.730.0835 CENResidenza Centro1-6431.884932597.25872-2.480.0133 SUDResidenza Sud1-183902077.96317-8.85<.0001

27 Il modello di regressione lineare Statistiche di Influenza

28 Il modello di regressione lineare Statistiche di Influenza DATA REGRESS1 (DROP = COOK H REDD_PRE RES_STUD); SET RESID_0; WHERE COOK < 0.023 & H < 0.015; PROC REG DATA=REGRESS1; MODEL REDD=PAG_ORD PAG_MES TOT_ORD LISTA SESSO CEN SUD ; PAINT RSTUDENT.> 2 / SYMBOL='O'; PAINT RSTUDENT.<-2 / SYMBOL='O'; PLOT RSTUDENT.*P.; PLOT P.*REDD; PLOT COOKD.*H.; RUN;

29 Il modello di regressione lineare Statistiche di Influenza

30 Il modello di regressione lineare Statistiche di Influenza

31 Il modello di regressione lineare Statistiche di Influenza Root MSE52693R-Square0.6204 Dependent Mean30935Adj R-Sq0.6197 Coeff Var170.33339 Parameter Estimates VariableLabelDFParameter Estimate Standard Error t ValuePr > |t| Intercept 1-146242205.46539-6.63<.0001 PAG_ORDPagato in contrassegno11.154190.0548221.05<.0001 PAG_MESPagato con rate mensili12.568760.0956726.85<.0001 TOT_ORDTotale ordini114434674.2608021.41<.0001 LISTANumero di liste di appartenenza1872.661801052.556420.830.4071 SESSOSesso13192.818461889.029311.690.0911 CENResidenza Centro1-6320.888552462.17857-2.570.0103 SUDResidenza Sud1-179231971.41534-9.09<.0001