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MATEMATICA O ARTE? Gruppo 3
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Le Permutazioni Permutare n oggetti significa cambiare l’ordine in cui tali oggetti sono disposti. 1234 3214
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Definizione di gruppo In generale si dice gruppo un insieme dotato di un’operazione che gode delle seguenti proprietà ASSOCIATIVA IDENTITA’ INVERSO Anche le permutazioni sono un Gruppo
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Simmetrie di figure geometriche
Classificazioni delle isometrie del piano. (Chasles, 1831) Riflessioni (o ribaltamenti); Rotazioni; Traslazioni; Glissoriflessioni.
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Simmetrie dei triangoli e quadrati
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Che cos’è un reticolo? Un reticolo è un insieme di punti del piano (o dello spazio) “indotto” dal gruppo generato da due traslazioni associate a vettori indipendenti.
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Classificazione dei reticoli piani
Le simmetrie di un reticolo piano dipendono dalla forma del parallelogramma di base, o cella elementare.
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Sistemi regolari di punti
E’ un insieme di punti ottenuto ripetendo uno stesso insieme di punti lungo i filari di un reticolo ad intervalli uguali al periodo di identità del filare. Esempi sono le tassellazioni o tappezzerie nel piano e cristalli nello spazio.
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I Fregi Sono un gruppo di isometrie che contiene solo una:
Traslazione; Rotazioni; Riflessioni. In totale sono 7.
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Esempio di fregio
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Tassellazioni nel piano
I gruppi associati agli insiemi delle simmetrie delle tassellazioni sono 17. Un tipo di tassellazioni che permette di coprire il piano sono le tassellazioni di Penrose che non contengono simmetrie al loro interno.
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Tassellazione di Penrose
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Applicazione nell’arte: Escher
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Isometrie nello spazio
Riflessioni rispetto a un piano; Rotazioni; Traslazioni; Glissoriflessioni; Glissorotazioni; Riflessioni rotatorie. I gruppi associati a queste simmetrie sono 230
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Il tetraedro Ha esattamente 24 simmetrie
E ci sono 4 rotazioni di 120°, 4 di 240°, 3 rotazioni di 180°, 6 riflessioni e l’identità, 6 riflessioni rotatorie ad uno dei 3 assi di rotazione
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