Lalgebra nella Storia Secondo Nesselman, tre stadi: 1) Retorico o primitivo: si esprime tutto con parole 2)Sincopato, intermedio: alcune abbreviazioni.

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1 Lalgebra nella Storia Secondo Nesselman, tre stadi: 1) Retorico o primitivo: si esprime tutto con parole 2)Sincopato, intermedio: alcune abbreviazioni 3) Simbolico MMosca SIS Piemonte

2 1° stadio al-Khuwarizmi (Bagdad, 850) Al–jabr wal muqabalah Restaurazione Riduzione Completamento Equilibrio (Trasposizione dei termini (Somma dei sottratti ai due membri termini simili ) di unequazione ) MMosca SIS Piemonte

3 2° stadio Diofanto (250 d.C.) SS2 C7 x5 M S4 u 6 MMosca SIS Piemonte

4 1° stadio Tartaglia in risposta a Cardano Quando chel cubo con le cose appresso Se aguaglia a qualche numero discreto …. MMosca SIS Piemonte

5 1°- 2° stadio R.Bombelli L ALGEBRA (1572) Radice quadrata R.q. Radice cubica R.c. Radice quadroquadrata RR.q. Radice prima incomposta, over relata R.p.r. Potenza potenza eguale a potenze Tanti e numero MMosca SIS Piemonte

6 2°- 3° stadio F.Viète (1540-1603) Indica con una vocale lincognita Indica con una consonante una grandezza o un numero che si assumeva come noto (parametro) MMosca SIS Piemonte

7 P. Ruffini (1799) N.H.Abel (1824) Teorema Unequazione polinomia di grado 5° o maggiore non è in generale risolubile per radicali MMosca SIS Piemonte

8 E. Galois ( …1846) Teorema Perché unequazione irriducibile avente per grado un numero primo sia risolvibile per radicali, è necessario e sufficiente che tutte le sue radici siano funzioni razionali di due qualsiasi di esse. Permutazione delle radici di unequazione polinomia… Struttura di gruppo MMosca SIS Piemonte

9 ASSIOMI di PEANO PER LARITMETICA (Arithmetice principia nova methodo exposita, 1889) 1)N 0 è una classe (i suoi elementi sono numeri) 2)Zero è un numero 3)Se a è un numero, il successivo di a è un numero 4)Zero non è il successivo di nessun numero 5)Due numeri i cui successivi siano uguali sono uguali 6)Se una classe S di numeri contiene lo zero e contiene anche il successivo di ogni numero di S, allora ogni numero è contenuto in S ( pr.induzione) MMosca SIS Piemonte

10 Assiomi del campo dei razionali Assiomi del campo dei reali + Addizione * Moltiplicazione Operazioni interne Proprietà associativa Proprietà commutativa Ciascuna ha un elemento neutro Ogni elemento ha un inverso rispetto a + e * ( tranne che lo 0 per la moltiplicazione). Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alladdizione MMosca SIS Piemonte

11 ERRORI MMosca SIS Piemonte

12 2 aDovè finita la seconda a ? Lo studente dà un significato materiale, fisico, alle scritture E memore del significato delle operazioni con i numeri naturali (specie delladdizione, che rappresenta laggiungere…) MMosca SIS Piemonte

13 3 a + 2 b = 5 a b 2+ 3x = 5x Le ragioni dello studente: Lanalogia con il calcolo numerico in cui si giunge sempre ad un unico numero Le parole dell insegnante e del libro calcola Strafare: a scuola più si fa più si è premiati … Estensione di ambiti di applicazione, generalizza quanto ha visto per la moltiplicazione tra monomi MMosca SIS Piemonte

14 Non sbaglia con i numeri perché con essi egli ha un forte controllo semantico MMosca SIS Piemonte

15 Come PREVENIRE gli errori Premettere e svolgere sempre attività di modellizzazione Usare materiali concreti Dare punti solidi di riferimento: gli assiomi Dedurre i teoremi (regole di trattamento) Far compiere esplorazioni numeriche, anche con le tecnologie MMosca SIS Piemonte

16 3° tipo di Rimedio 1)Confronta la 5 a e la 7 a colonna: sono diverse? 2)In generale a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 ? MMosca SIS Piemonte

17 Cè qualche caso in cui luguaglianza è vera?… Esistono alcuni valori razionali (reali) di a e b per i quali a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 è vera? Spiega MMosca SIS Piemonte

18 In un tempo successivo Cè qualche caso numerico in cui luguaglianza a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 è vera? Spiega a 2 + b 2 = ( a + b) 2 ; 0 = 2 a b a = 0 b = 0 MMosca SIS Piemonte