L18 Scegliere tra infinite alternative Andrea Castelletti Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali.

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1 L18 Scegliere tra infinite alternative Andrea Castelletti Modellistica e Controllo dei Sistemi Ambientali

2 2 Il Problema di Progetto Anche in un contesto di completa razionalità il Problema di Progetto risulta complesso per la presenza di (vedi Lez. L15): 1. infinite alternative 2. incertezza degli effetti indotta dalla casualità dei disturbi 3. decisioni ricorsive Esaminiamo dapprima il caso più semplice: ipotesi A. i disturbi sono deterministici ipotesi B. le decisioni sono solo pianificatorie Problema di pura pianificazione

3 3 Il modello del sistema In pianificazione il modello si semplifica:

4 4 Il modello del sistema In pianificazione il modello si semplifica: Il modello globale del sistema in pianificazione Assumiamo il sistema periodico di periodo T:

5 5 Il Problema di pura pianificazione Questa è la formulazione più generale: considera ciò che accade sia in transitorio, sia a regime. Spesso il Decisore è interessato solo al regime.

6 6 Transitorio vs. regime Israele ha proposto un Progetto per lo sfruttamento idroelettrico del Mar Morto (-400 m s.l.m.). Denotiamo con u p il diametro della condotta idraulica tra il Mar Mediterraneo e il Mar Morto. Si assuma che la portata turbinata sia tempo-invariante. Mar Morto Mar Mediterraneo Giordano El Araba Gerusalemme 40 km Mar Mediterraneo Mar Morto Israele Giordania Esempio: Progetto Mar Morto

7 7 Transitorio vs. regime Ipotesi: gli afflussi sono deterministici e periodici. Il lago non ha emissari. Linvaso lacuale fluttua con periodo T : Mar Morto Mar Mediterraneo Giordano El Araba Gerusalemme 40 km Esempio: Progetto Mar Morto Cosa accade quando si costruisce una condotta? Il livello del lago sale fino a raggiungere un nuovo equilibrio.

8 8 Transitorio vs. regime Transitorio o regime? La scelta dipende dal Decisore, ma questi sarà quasi sempre interessato alla condizione di regime. - Quando lindicatore è di forma TDC si attribuisce più importanza al transitorio che al regime Esempio: Progetto Mar Morto - Per considerare il solo regime utilizzare la forma AEV, che ignora ciò che accade nel transitorio o, in alternativa, riformulare il problema di pianificazione.

9 9 Il Problema di pura pianificazione

10 10 Il Problema di pianificazione del regime Quando lobiettivo è AEV, questa formulazione definisce la stessa alternativa ottima della precedente, ma per particolari forme dellobiettivo e dei vincoli permette di individuarla più facilmente.

11 11 Lo scenario dei disturbi In molti Progetti di pianificazione del regime si assume come scenario del disturbo deterministico la traiettoria dei disturbi casuali nellanno medio o nellanno peggiore Ma luguaglianza è verificata solo se lindicatore è lineare!!! con lidea di valutare la prestazione media (o peggiore) anno medio anno peggiore... calcolando la prestazione del sistema nella condizione media (o peggiore)

12 12 Algoritmo risolvente Se U p contiene pochi elementi: si valuta lobiettivo per ogni alternativa e si sceglie quella cui corrisponde il valore migliore. Orizzonte finito:

13 13 Se U p contiene pochi elementi: si valuta lobiettivo per ogni alternativa e si sceglie quella cui corrisponde il valore migliore. Algoritmo risolvente Orizzonte infinito: la simulazione non sembra adatta, perché continuerebbe allinfinito, ma...... sconta i costi tanto più quanto più sono lontani nel tempo, così che le variazioni del valore dellindicatore diventano sempre più piccole al crescere di t;... se il sistema possiede una condizione di regime ciclo-stazionaria le variazioni del valore dellindicatore diventano sempre più piccole al crescere di t.

14 14 Algoritmo risolvente Dal punto di vista pratico possiamo, quindi, arrestare la simulazione quando le variazioni del valore dellindicatore diventano abbastanza piccole. Condizione di terminazione: Al crescere di diminuisce il tempo richiesto dalla simulazione, ma aumenta lapprossimazione della soluzione. Se U p contiene pochi elementi: si valuta lobiettivo per ogni alternativa e si sceglie quella cui corrisponde il valore migliore. Orizzonte infinito: la simulazione non sembra adatta, perché continuerebbe allinfinito, ma...

15 15 Algoritmo risolvente Se U p contiene un numero molto elevato o infinito di elementi la soluzione esaustiva non è più praticabile: ci si deve accontentare di una soluzione sub-ottima. Si utilizzano per questo metodi evolutivi vincolati: viene calcolato il valore dellindicatore, via simulazione, solo per di alcuni elementi di U p ; lalgoritmo evolve in U p alla ricerca di una soluzione il più vicino possibile a quella ottima; quando il numero di componenti di u p è elevato, anche questo approccio è computazionalmente molto oneroso.

16 16 Il Piano del Sinai

17 17 Il Piano del Sinai Obiettivo: migliorare la qualità della vita in Egitto aumentando la superficie coltivata. Azioni: Bonifica di zone desertiche (reclaimed lands) nelle 7 aree Z j (j=1-7) sfruttando lacqua dei 4 canali S s (s=1-4) e scegliendo in ciascuna la rotazione colturale R i (i=1-5) e la tecnica irrigua I h (h=1-3) più appropriate. Criterio di valutazione: beneficio netto a regime.

18 18 Il Piano del Sinai jZona bonificabile Z j A j [feddan] 1Costa Nord-Est del Sinai515 000 2Pianura di El Tina135 000 3Territori a Ovest del Canale di Suez235 000 4Territori a Nord del Canale di Salhia102 000 5Territori tra i Canali Ismailia e Salhia120 000 6Territori a sud del Canale di Ismailia45 000 7Territori a Sud del lago di Manzala29 000 max area bonificabile nella zona Z j 4 212 m 2 sCanale S S w s [10 9 m 3 ] 1Ismailia4.4 2Bahr Hadous2.4 3Bahr El Baqar1.4 4Damietta-Salam2.3 volume medio annuo derivabile da S S

19 19 Il Piano del Sinai jZona bonificabile Z j A j [feddan] 1Costa Nord-Est del Sinai515 000 2Pianura di El Tina135 000 3Territori a Est del Canale di Suez235 000 4Territori a Nord del Canale di Salhia102 000 5Territori tra i Canali Ismailia e Salhia120 000 6Territori a sud del Canale di Ismailia45 000 7Territori a Sud del lago di Manzala29 000 max area bonificabile nella zona Z j 4 212 m 2 iRotazione colturale R i b i [LE/feddan] 1Trifoglio-Riso298 2Trifoglio-Cotone374 3Trifoglio-Mais152 4Trifoglio-Soia158 5Grano-Mais184 sCanale S S w s [10 9 m 3 ] 1Ismailia4.4 2Bahr Hadous2.4 3Bahr El Baqar1.4 4Damietta-Salam2.3 hTecnica irrigua I h L h [LE/feddan] 1A scorrimento650 2A pioggia1500 3A goccia2500 volume medio annuo derivabile da S S beneficio agricolo unitario prodotto dalla rotazione R i costo di impianto unitario per la tecnica irrigua I h

20 20 Portatori 0. Ricognizione e obiettivi 1. Definizione delle azioni 2. Definizione di criteri e indicatori 3. Identificazione del modello 4. Progetto delle alternative 6. Valutazione delle alternative 5. Stima degli effetti 7. Comparazione e negoziazione Alternative di compromesso 8. Mitigazione e compensazione Cercare ancora? si 9. Scelta politica no PIANIFICAZIONE Alternativa di miglior compromesso MODSS

21 21 Il Piano del Sinai: Fase 0 - ricognizione Condizioni poste dal Ministero: il Piano deve essere elaborato in modo non-partecipato; il Decisore è lo stesso Ministero; il metodo di valutazione deve essere lAnalisi Costi-Benefici (ACB); il Piano deve essere valutato a regime. Condizioni individuate dallAnalista: i Portatori dinteresse sono gli Agricoltori e gli attuali utilizzatori (industrie e idroelettrico) dei volumi idrici che verrebbero destinati allirrigazione; è fondamentale considerare la qualità dellacqua prelevata: in alcuni canali la salinità Q s [ppm] è tale da ridurre la produttività delle colture.

22 22 Portatori 0. Ricognizione e obiettivi 1. Definizione delle azioni 2. Definizione di criteri e indicatori 3. Identificazione del modello 4. Progetto delle alternative 6. Valutazione delle alternative 5. Stima degli effetti 7. Comparazione e negoziazione Alternative di compromesso 8. Mitigazione e compensazione Cercare ancora? si 9. Scelta politica no PIANIFICAZIONE Alternativa di miglior compromesso MODSS

23 23 Il Piano del Sinai: Fase1- definizione delle azioni Le azioni proposte dal Ministero riguardano: superficie da bonificare in ogni zona rotazione colturale tecnica di irrigazione area [feddan] da destinare alla rotazione R i nella zona Z j con la tecnica irrigua I h volume idrico annuale [m 3 ] da convogliare dal canale S s alla zona Z j volume idrico da fornire sorgente da cui prelevarlo Possiamo quantificarle con le seguenti variabili: Non tutte le combinazioni sono possibili (ad es. non si può irrigare il riso a goccia) Indichiamo con F linsieme delle combinazioni ammissibili di i,j,h,s Il vettore u p delle decisioni di pianificazione è il seguente

24 24 Portatori 0. Ricognizione e obiettivi 1. Definizione delle azioni 2. Definizione di criteri e indicatori 3. Identificazione del modello 4. Progetto delle alternative 6. Valutazione delle alternative 5. Stima degli effetti 7. Comparazione e negoziazione Alternative di compromesso 8. Mitigazione e compensazione Cercare ancora? si 9. Scelta politica no PIANIFICAZIONE Alternativa di miglior compromesso MODSS

25 25 Il Piano del Sinai: Fase2- definizione del criterio e dellindicatore Lobiettivo del Progetto è formulato con lACB (come richiesto) max (Benefici_sociali - Costi_sociali) beneficio agricolo specifico coeff. di produttività [%]: tiene conto del fatto che la produttività decresce al crescere della salinità media Q j i coltura j superficie h tecnica irrigua

26 26 Il Piano del Sinai: Fase2- definizione del criterio e dellindicatore Lobiettivo del Progetto è formulato con lACB (come richiesto) max (Benefici_sociali - Costi_sociali) costi installazione impianti di irrigazione costo unitario di impianto della tecnica I h costi di trasporto dellacqua dai canali allarea bonificata costi opportunità costo specifico [LE /m 3 km] costante su tutto il territorio distanza [km] tra il canale S s e la zona Z j costo opportunità [LE /feddan] dellacqua del canale S s In conclusione lindicatore di progetto è il seguente vettore dei volumi idrici w s derivabili dai canali

27 27 Portatori 0. Ricognizione e obiettivi 1. Definizione delle azioni 2. Definizione di criteri e indicatori 3. Identificazione del modello 4. Progetto delle alternative 6. Valutazione delle alternative 5. Stima degli effetti 7. Comparazione e negoziazione Alternative di compromesso 8. Mitigazione e compensazione Cercare ancora? si 9. Scelta politica no PIANIFICAZIONE Alternativa di miglior compromesso MODSS

28 28 Il Piano del Sinai: Fase3- identificazione del modello Si vuole valutare la situazione a regime (come richiesto dal Ministero) e sono noti i volumi annui w s derivabili dai canali, pertanto: Problema di Progetto = problema di pianificazione del regime; passo temporale = anno. Il modello è pertanto lo stato è la salinità allequilibrio: distanza [km] tra la sorgente S s e la zona Z j perdita unitaria [m 3 /km] Insieme delle azioni ammissibili. Vediamo come è definito.

29 29 Il Piano del Sinai: Linsieme E definito da tre vincoli: 1. Il volume complessivamente derivato dal canale S s non deve superare quello disponibile w s 2. Larea complessivamente bonificata nella zona Z j non deve superare la massima area bonificabile A j 3. Le componenti del vettore u p non possono assumere valori negativi, poiché privi di senso (N.B. LAlternativa zero corrisponde al vettore identicamente nullo.)

30 30 Il Piano del Sinai: Fase3- identificazione del modello Si vuole valutare la situazione a regime (come richiesto dal Ministero) e sono noti i volumi annui w s derivabili dai canali, pertanto: Problema di Progetto = problema di pianificazione del regime; passo temporale = anno. Il modello è pertanto volumi w s derivabili dai canali tutti i vincoli che non ricadono in quelli precedentemente considerati precisamente

31 31 Il Piano del Sinai: Fase3- identificazione del modello Il beneficio specifico b i è stato stimato in corrispondenza di una fornitura di acqua che soddisfi totalmente la domanda idrica delle colture. Pertanto affinché il Beneficio agricolo sia stimato correttamente è necessario imporre che il volume complessivamente fornito a una zona sia maggiore della domanda idrica della rotazione considerata domanda specifica [m 3 /feddan] della rotazione R i irrigata con la tecnica I h

32 32 Portatori 0. Ricognizione e obiettivi 1. Definizione delle azioni 2. Definizione di criteri e indicatori 3. Identificazione del modello 4. Progetto delle alternative 6. Valutazione delle alternative 5. Stima degli effetti 7. Comparazione e negoziazione Alternative di compromesso 8. Mitigazione e compensazione Cercare ancora? si 9. Scelta politica no PIANIFICAZIONE Alternativa di miglior compromesso MODSS

33 33 Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli Problema di Programmazione Matematica non-lineare 55 variabili di decisione 80 vincoli

34 34 Il Piano del Sinai: Fase4 – progetto delle alternative Il Problema di progetto ha dunque la seguente forma soggetto ai vincoli OSSERVAZIONE: se i valori di Q j (j=1,...,7) fossero fissati il Problema sarebbe lineare OSSERVAZIONE: se i valori di Q j (j=1,...,7) fossero fissati il Problema sarebbe lineare idea per la soluzione Un algoritmo evolutivo nello spazio Q j (j=1,...,7) che minimizza soggetto agli stessi vincoli della formulazione originale. algoritmo del simplesso

35 35 Il Piano del Sinai: lAlternativa ottima La soluzione del Problema fornisce lAlternativa ottima (si è assunto o s = 10 [LE/1000 m 3 ]) Bonifica complessiva = 448 000 feddan Beneficio annuo netto (obiettivo) = 80 000 000 LE ZonaArea bonificata [feddan] Canali utilizzati RotazioneTecnica irrigua 10*** 2135 0001 e 352 3235 0002 e 321 40*** 50*** 645 000352 729 0002 e 421

36 36 Portatori 0. Ricognizione e obiettivi 1. Definizione delle azioni 2. Definizione di criteri e indicatori 3. Identificazione del modello 4. Progetto delle alternative 6. Valutazione delle alternative 5. Stima degli effetti 7. Comparazione e negoziazione Alternative di compromesso 8. Mitigazione e compensazione Cercare ancora? si 9. Scelta politica no PIANIFICAZIONE Alternativa di miglior compromesso MODSS

37 37 Portatori 0. Ricognizione e obiettivi 1. Definizione delle azioni 2. Definizione di criteri e indicatori 3. Identificazione del modello 4. Progetto delle alternative PIANIFICAZIONE Alternativa ottima MODSS