Sistemi Digitali.

Presentazione sul tema: "Sistemi Digitali."— Transcript della presentazione:

1 Sistemi Digitali

2 Definizione

3 Segnali elettronici: giunzione P-N
Zona di “svuotamento” P: zona “drogata” con lacune N: zona drogata con elettroni

4 Segnali elettronici: variazioni di potenziale
Aumenta la zona di svuotamento e la differenza di potenziale + Si riduce la zona di svuotamento, la differenza di potenziale diminuisce + - I “transistor” si costruiscono con connessioni P-N-P o N-P-N

5 Segnali analogici e digitali
“1” logico “0” logico

6 Forme d’onda “idealizzate”
5 Analog Waveform Time Voltage (V) Digital Waveform 1 Forme d’onda “idealizzate”

7 Analisi e Sintesi Rispetto ai sistemi analogici, nei quali i segnali possono assumere tutti i possibili valori in un continuo, i sistemi digitali consentono una minore complessità dei dispositivi che devono generare i segnali, ed una maggiore immunità ai disturbi. Un sistema digitale é un circuito costituito da componenti elementari e dai collegamenti che li interconnettono. Obiettivo: analisi e sintesi di sistemi digitali. • analisi dal circuito alla specifica formale • sintesi dalla specifica funzionale al circuito

8 “Viste” della progettazione digitale.
Vista comportamentale: descrive le funzioni indipendentemente dall’implementazione (es: progettare un circuito che esegua la somma aritmetica fra due numeri interi ) Vista strutturale: descrive il modello di interconnessione dei componenti (es: disegno dei componenti digitali elementari e loro interconnessioni) Vista fisica: componenti fisici (es. transistors, layout su silicio, tecnologie di integrazione..)

9 Esempio: sommatore aritmetico
adder X Y X+Y Comportamentale o funzionale (quale funzione) Strutturale o simbolica (collegamenti) fisica (layout)

10 Campi di Applicazione La progettazione digitale interessa tutti i campi di applicazione dell'elettronica: Calcolo Automatico Telecomunicazioni Controlli Automatici Misure Elettriche .... In questo corso, oltre ad introdurre i principi generali di progetto di sistemi digitali, siamo interessati a studiare applicazioni nel campo del Calcolo Automatico.

11 Aspetti della progettazione digitale
Come si rappresenta l’informazione (dati, istruzioni, comandi..) in un sistema digitale Analisi Sintesi

12 Rappresentazione dell'Informazione
I calcolatori elettronici sono macchine in grado di elaborare informazioni trasformandole in altre informazioni. Nel mondo dell'informatica, intendiamo in modo più restrittivo per informazione tutto ciò che può essere rappresentato tramite opportune sequenze di simboli in un alfabeto prefissato. La rappresentazione estensionale di un insieme I é un insieme di “parole” ognuna delle quali esprime un elemento di I. Esempio: mela,pera,uva,arancia Un codice C é un insieme di parole composte da simboli di un alfabeto S (detto alfabeto di supporto di C).

13 Esempi di codici Codice 1: lingua Italiana Macchina Codice 1 Codice 2
Linguaggio Binario 00 01 10 Codice 1: lingua Italiana Macchina Razzo Aereo Codice Codice 2 Macchina Razzo Aereo

14 Codifica e decodifica CODIFICA
La codifica di un insieme di informazioni I in un dato codice C é una funzione f: I  C Esempio: macchina  00, razzo  01, aereo  01 dove I è un sottoinsieme di parole della lingua italiana, e C è un sottoinsieme delle parole composte da due simboli binari DECODIFICA La decodifica di una informazione codificata in precedenza é una corrispondenza g : C I

15 La funzione di co-decodifica
La funzione f può essere descritta in modo estensionale, cioè ad ogni simbolo di I si fa corrispondere un simbolo di C (vedi esempio dei mezzi di locomozione) La funzione f può viceversa avere una rappresentazione intensiva, come ad esempio il cifrario di Cesare

16 Cifrario di Cesare: codifica intensiva
Il cifrario di Cesare, usato nei tempi dell'antica Roma, aveva la seguente funzione di codifica: f: i  i+3(modulo 26) i=0,1..25 dove al numero 0 corrisponde la lettera a, 1 a b ecc. Secondo tale codice, la parola "babbo" é codificata come "edeer" , perché b  b+3=e ecc;

17 Criteri di valutazione di una codifica
Economicità: sono considerate migliori rispetto a questa caratteristica le codifiche che utilizzano pochi simboli. Semplicità di codifica e decodifica: é auspicabile poter trasformare un linguaggio da un codice all'altro in modo efficiente Semplicità di elaborazione: sono preferibili le codifiche che consentono di eseguire le operazioni definite sui dati in modo agevole (ad esempio, sostituendo ai simboli arabi i simboli dei numeri romani, "saltano" il meccanismo del riporto e della posizionalità).

18 Sistemi posizionali (def)

19 Riassumiamo: b è la base, cioè il numero di simboli diversi nell’alfabeto  (in base 10 il numero di simboli è 10, e l’alfabeto dei simboli è  ={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Nb indica un numero espresso in base b Quindi ad esempio 1010 e 102 hanno significato diverso anche se le sequenze di simboli sono le stesse (1 seguito da 0)!! Ci dovremo dunque occupare di come tradurre una codifica in un’altra codifica, o di come interpretare una stringa di simboli una volta che ci venga detto il codice utilizzato per generarla Esempio: case IT ENG

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21 Codice binario Codice binario: un codice posizionale costituito dai soli simboli 0 ed 1. Quindi, b=2,  ={0,1} I simboli 0 ed 1 prendono il nome di bit, una contrazione per "binary digit". Perchè il codice binario viene utilizzato nel progetto di circuiti digitali? George Boole dimostrò come la logica possa essere ridotta ad un sistema algebrico molto semplice, che utilizza solo un codice binario (zero e uno, vero e falso). Il codice binario fu trovato particolarmente utile nella teoria della commutazione (Shannon) per descrivere il comportamento dei circuiti digitali (1=acceso, 0=spento).

22 x variabile che descrive lo stato del rélais x assume valori in {0,1}
..ai tempi di Shannon i commutatori telefonici erano reti di rélais (interruttori) Rélais aperto (non passa segnale) Rélais chiuso (il segnale passa) x variabile che descrive lo stato del rélais x assume valori in {0,1} Shannon introdusse l’alfabeto binario per descrivere lo stato dei rélais

23 xy xy Grazie all’algebra di Boole (che vedremo in seguito)
non solo lo stato di un rélais, ma un intero circuito si può descrivere mediante una espressione algebrica xy Il segnale passa solo se sia x che y sono 1, cioè i due rélais sono chiusi x y I moderni componenti digitali hanno un funzionamento che approssima quello del rélais: il loro stato può essere descritto da una variabile binaria, cioè che assume solo I valori 0 o 1 (variabile booleana, da Boole) x y xy Il segnale passa se x o y sono “1” cioè, chiusi

24 Codici binari L’alfabeto binario può essere usato per rappresentare lo STATO di un circuito, e, come vedremo, anche le sue funzioni Inoltre l’alfabeto binario può essere utilizzato per codificare l’informazione che viene elaborata da un circuito Codici binari sono tutti quelli che usano un alfabeto binario per codificare l’informazione Informazione: numeri e simboli Cominciamo con i numeri: i codici saranno diversi a seconda che si vogliano rapprsentare numeri naturali, interi, reali..

25 Riassumiamo Un alfabeto binario può essere usato per rappresentare lo stato di un componente digitale (aperto/chiuso, acceso/spento) Variabili binarie (booleane) ed un insieme di operatori algebrici possono essere usati per esprimere mediante espressioni algebriche la vista comportamentale di un circuito (xy) Infine, possiamo utilizzare codici binari per rappresentare le informazioni che entrano, vengono elaborate, ed escono in un circuito digitale (ad esempio gli addendi da sommare in un sommatore, ed il risultato della somma)

26 1.Rappresentazione dell’informazione numerica
Rappresentzione dei numeri naturali (= interi non negativi)

27 Rappresentazione binaria di numeri naturali

28 Cambiamenti di base e artimetica in base b
Le regole di codifica, di cambiamento di base e di calcolo variano a seconda che si vogliano rappresentare: Numeri Naturali Numeri Interi Numeri decimali in virgola fissa e mobile Tuttavia tali regole restano le stesse indipendentemente dalla base!

29 Per ogni insieme di numeri (naturali, interi e reali) vedremo:
Modalità di rappresentazione in base b Trasformazione da una base a ad una base b Aritmetica nella base considerata Perché ci occupiamo di basi diverse da 2, se i circuiti digitali usano un alfabeto binario? Perché le informazioni vengono manipolate da altri dispositivi (es. tastiere e stampanti) che usano altri codici. Inoltre nei linguaggi di programmazione i numeri possono essere codificati in codici diversi (es. esadecimale), e vengono poi “tradotti” in binario

30 Cambiamento di base per i numeri naturali
Problema : convertire un numero N espresso in base a Na in un numero N’ espresso in base b: N’b

31 Conversione di Base (2) Metodo polinomiale: usare l’espressione:

32 Metodo polinomiale Si esprime il numero Na come un polinomio, usando i numeri dell’alfabeto b nel polinomio Si valuta il polinomio usando l’aritmetica in base b

33 Conversione di base Metodo iterativo: N=23 Q= r= 11 5 2 1 1 1 1 1 MSB
1. Si divide N per b (b va espresso in base a e la divisione va fatta in base a), sia Q il quoziente e r il resto. r è la cifra meno significativo di N’b, poiché r èb 2. (finché Q>0) ripeti: esegui Q/b : quoziente=Q’ resto=r’ Q’Q N’b r’ N’b Esempio: 2310= (a=10 e b=2) Nota: divido per 2 con l’aritmetica decimale. (2 espresso con codice binario è la stringa 10!!!) N=23 Q= r= 11 5 2 1 1 1 1 1 MSB

34 Osservazioni Il risultato si ottiene affiancando a sinistra le cifre che rappresentano i resti delle divisioni per b in base a. Questi resti saranno sicuramente <b (ad esempio se b è 3, e divido Na per 3, i resti possibili saranno 0,1 o 2) Le divisioni vanno fatte nella “matematica” di a, b va espresso in base a, ed i resti che si accumulano sono in base a. Tutto ok se a>b!! Ma.. Ma che succede se la base di arrivo è> di quella di partenza?? (ad esempio, a=10 e b=16) La base sedici utilizza 16 simboli, A B C D E F, perciò “16” si rappresenta col simbolo F Ma le divisioni vanno fatte in base 10, quindi F16=1610 Inoltre i resti, pur essendo <16, risulteranno espressi in base 10 Quindi alla fine ogni singolo resto va ri-espresso nella base di arrivo,cioè 16 (quindi se nell’ i-esimo passo r=11, devo trasformarlo in B)

35 Esempio 2 (da base 10 a base 16)
Dividere per 1610 notate che 1610= F16 La base di arrivo va convertita nella base di partenza!! 1) 317 : 16 2) 19:16 Q=19 , r1=1310 Q=1 r2=3 1310=D16 (LSB) 310=316 3) 1: Q=0 r3=1 110=116 Quindi 31710=13D16

36 Provate!! in base 12 = ??? A B

37 Esempio 3 (se la base di partenza non è 10)
Convertire il numero da base 3 a base 5 Due strade : a) eseguire : (Notate: 123=105=510) Dovrei effettuare la divisione con aritmetica in base 3 DIFFICILE!!! b) (più semplice) convertire in base 10 (metodo polinomiale) e poi convertire il risultato in base 5 (resti) = 33 + 2 = col procedimento dell'esempio precedente :5 ecc. Si ottiene =

38 Conversioni da base b a base bn
Prop. : lavorando in aritmetica in base b si ha che 1) nm-1 … n1 n0 DIV bi = nm-1 … ni r= ni-1 … n0 2) nm-1 … n1 n0 MOD bi = ni-1 … n0 (r = resto, MOD = modulo) Es: DIV 100 (102)=35 (r=310) 10112 DIV 2(21) = 101 (r=1) Da ciò : Conversione da base 2 a base 2n : considera i bit a n-uple partendo dal meno significativo e traducile in base 2n Esempio 3 : convertire da base 2 a base 4=22 =

39 Esempio Converti 101001101101 da base 2 a base 8 e 16 8=23 16=24
Prima conversione: dividi in triple e converti  dunque 51558  A 6 D dunque A6D16 Notate: nel dividere in gruppi da “k” bit il gruppo di bit più significativi potrebbe avere meno di k bit se la stringa di partenza non ha m=nk bit; in tal caso vanno aggiunti degli zeri Es: converti da base due a base 8:

40 ARITMETICA IN BASE b PER I NATURALI
Tutte le operazioni vengono eseguite come in base 10, ma modulo b ( Es.: ( ) 2 = ) e quindi anche i riporti e i prestiti agiscono modulo b.

41 Somma

42 Sottrazione Sottrazione: Differenza Prestito 0-0 0 0 0-1 1 1 1-0 1 0
Se c’è un prestito (borrow) e il bit adiacente è un 1, questo viene modificato in uno zero Se c’è un prestito (borrow) e il bit adiacente è uno 0, questo è modificato in 1, e così tutti i bit successivi, finché non si incontra un bit=1. Questo viene posto=0, e si ripristina il processo di sottrazione

43 Sottrazione (2) Esempio (l’avanzo si propaga verso sinistra!!):
(24-17=7) (40-25=15)

44 Moltiplicazione Complessa Funziona con prodotti parziali
Slittamento dei prodotti parziali Somma prodotti parziali

45 Esempio 1011 Moltiplicando (11 dec) x 1101 Moltiplicatore (13 dec)
Prodotti parziali Nota: se il Mt=1 COPIA Md (slittando il valore) altrimenti prod_parz=0 Prodotto (143 dec) Nota: il risultato ha lunghezza doppia!

46 Divisione Più complessa della moltiplicazione
In particolare per numeri negativi In dettaglio nel corso di Arc. Elab. (II sem)

47 Divisione per Interi senza segno
Quoziente 1101 Divisore 1011 Dividendo 1011 001110 Resti parziali 1011 001111 1011 Resto 100

48 Lunghezza di parola: di quante cifre in base b abbiamo bisogno per rappresentare un numero Nb?
Nota: Un elaboratore lavora con “parole” (stringhe binarie) di lunghezza fissa (diciamo W ). La dimensione massima e minima dei numeri rappresentabili dipende dalla lunghezza di parola. In base due, posso rappresentare numeri naturali fra 0 e 2W-1 Quindi: se un numero è codificato con m <W bit dobbiamo inserire in testa (W-m) zeri non significativi se un numero è codificato con m> W bit : dobbiamo considerare solo le W cifre meno significative del numero (situazione di errore detta overflow)

49 Rappresentazione dell’informazione numerica
2) Rappresentazione dei numeri interi (positivi e negativi)

50 RAPPRESENTAZIONE DEGLI INTERI POS E NEG
Rispetto ai naturali, il problema è la rappresentazionedel segno. Esistono tre modalità di rappresentazione: in modulo e segno, in complemento a uno e in complemento a due. I primi due rendono le operazioni di somma e sottrazione delicate (sono necessari controlli preliminari sul segno e sui valori assoluti degli operandi) Col secondo, invece, la sottrazione si esegue semplicemente come somma dell’opposto (a patto di ignorare l’eventuale overflow derivante dalla somma di numeri negativi).

51 Rappresentazione con modulo e segno
Data una sequenza di simboli cn-1cn-2..c0, cn-1 rappresenta il SEGNO e non concorre a rappresentare il valore assoluto del numero 1011  -310 Quindi se ho n bit, uno va “perso” per codificare il segno. In valore assoluto, con n bit, rappresento un range di numeri da –(bn-1 – 1) a +(bn-1-1) Es con n=4 min 1111= -111=-7 e max 0111=+7

52 Rappresentazione in complemento a 2 (Ca2):
2N = -bn-1c n-1+ L’espressione per rappresentare col metodo polinomiale un intero N in Ca2 in base b è:

53 Esempi (in base 2 e con n=8)
+3 = +2 = +1 = +0 = -1 = -2 = -3 =

54 Verifica Il digit più significativo non ha valore i segno ma concorre al calcolo del numero!! Applicando la formula, si ha:

55

56 Descrizione geometrica della rappresentazione di interi in Ca2

57 Range dei Numeri in Ca2 (max e min interi rappresentabili con W cifre)
8 bit (Ca2) +127 = = 27 -1 -128 = = -27 16 bit (Ca2) = = = = -215 Il più grande numero positivo ha il primo bit 0 e tutti gli altri 1. Il più grande numero negativo (in valore assoluto) ha il primo bit 1 e tutti gli altri zero

58 Range di rappresentazione
In generale con n bit, il range va da 2n-1 -1 a -2n-1 E in base b2?

59 Complemento a 2 Proprietà-benefici:
Rappresenta i numeri da -2n-1 a +2n+1 Una sola interpretazione per “0” Un numero negativo si esprime in complemento a 2 invertendo i bit del corrispondente numero positivo, e poi sommando 1 (segue dimostrazione) Regola della sottrazione in Ca2: N1-N2=N1+not(N2)+1

60 Artimetica dei numeri interi in Ca2
Il vantaggio è che somma e sottrazione si eseguono (quasi) nello stesso modo (mentre con la rappresentazione col segno devo considerare separatamente la parte della stringa che rappresenta il numero, ed il bit di segno, ed eseguire i calcoli in modo diverso a seconda dei casi)

61 Sottrazione in complemento a 2
Sia A un intero binario espresso in complemento a 2: N= Invertiamo tutti i bit di N e sommiamo 1: Si dimostra che N’= - N !!!! Ne consegue:

62 Dimostrazione -N2=N2+1 N2+N2+1=0 N2+N2+1= 1

63 Sottrazione in Ca2 Quindi, per eseguire una sottrazione in binario fra interi rappresentati in complemento a 2, basta sommare al minuendo il complemento del sottraendo e sommare 1

64 Corollario (-N=N+1) Per trasformare un numero negativo –N da base 10 a base 2 in Ca2: 1) Applicare il metodo polinomiale a N come se fosse un numero naturale (es. se –N è -8, ricavare la rappresentazione di 8: 1000) 2) Se il MSB è zero, la rappresentazione ottenuta è la stessa in Ca2. Altrimenti, si aggiunga uno zero a sinistra (nell’esempio, +8 in Ca2 è 01000) 3)Si complementano tutti i bit di +N e si somma 1 (nell’esempio, si ottiene =11000 che è proprio -8 (-16+8=-8)

65 3) Rappresentazione dei numeri Reali
Virgola fissa e mobile

66 3.1) Numeri reali in virgola fissa
Il problema aggiuntivo è la rappresentazione della parte intera e di quella frazionaria. Abbiamo sempre un sistema posizionale (in base b  2). I primi m bit rappresentano la parte intera, i successivi n la parte frazionaria. con ci  { 0 , … , b-1 }

67 Precisione

68 Cambiamento di base Riserva m bit per la parte intera (P.I.) e n bit per la parte frazionaria (P.F.) ( m e n fissati)

69 Conversione di base Es: 1011,011 =
Metodo polinomiale (da base b a base 10) Es: 1011,011 =

70 Conversione di base (da base 10 a b)
Metodo iterativo, parte intera: come per i numeri interi (divisioni ripetute di Nia per b, nell’aritmetica in base a) Metodo iterativo, parte frazionaria 1. Si moltiplica Nfa per b (sempre con l’aritmetica di a!!) . Il prodotto sia p=pi,pf (es 0,46) pi è la cifra più significativa di N’fb (in base b!!). 2. (finché pf=0) esegui: pfb = p’i,p’f N’f = N’fp’i (concatena la cifra p’i a destra di N’f) p’fpf NOTA: Il processo può o meno terminare (pf può non essere mai zero!)

71 Conversione di base (metodo iterativo, parte frazionaria)
Esempio (0,625)10=(0,N’f)8 0,6258=5,00 N’f=5 (0,23)10= (0,N’f)2 0,23 2=0,46 N’f=0 0,46 2=0,92 N’f=00 0,92 2=1,84 N’f=001 0,84 2=1,68 N’f=0011… (N’f)2=0011

72 Esempio 2 : convertire 17,416 in base 2 con 8 bit sia per P.I. che per P.F. 1. converti parte intera : = 2. converti parte frazionaria 0,416 * 2 = 0,832 da cui P.I. = 0 P.F. = 0,832 0,832 * 2 = 1,664 da cui P.I. = 1 P.F. = 0,664 0,664 * 2 = 1,328 da cui P.I. = 1 P.F. = 0,328 0,328 * 2 = 0,656 da cui P.I. = 0 P.F. = 0,656 0,656 * 2 = 1,312 da cui P.I. = 1 P.F. = 0,312 0,312 * 2 = 0,624 da cui P.I. = 0 P.F. = 0,624 0,624 * 2 = 1,248 da cui P.I. = 1 P.F. = 0,248 0,248 * 2 = 0,496 da cui P.I. = 0 P.F. = 0,49 Perciò 0, = 0, 17, = ,

73 Precisione in virgola fissa

74 3.2) Rappresentazione in virgola mobile

75 Forma Normalizzata Es: Se b=10 m  [0,1 1)

76 Forma Normalizzata ((2)
Quindi, adottando la rappresentazione normalizzata, r = (–1)s · 0,m · be dove: s è il bit di segno della mantissa m ( m è un intero ) rappresenta la parte frazionaria del numero normalizzato (quindi la mantissa è un intero rappresentato con bit di segno) e è l'esponente, rappresentato in complemento a N (ad esempio, in complemento a 2)

77 CAMBIAMENTO di BASE in virgola mobile

78 Esempio

79 Range dei numeri in v.m. Supponiamo di avere M bit di mantissa e E di esponente La mantissa va da -0,11…1 a -0,10..0 (M bit dopo la virgola) per i numeri negativi e da +0,10..0 a +0,11..1 per i positivi L’esponente, in Ca2, va da -2E-1 a +2E-1-1

80 “Range” della rappresentazione in v.m. (2)

81 Esempio Con 4 bit di mantissa, il range della mantissa (in valore assoluto) è: [1000,1111] in decimale: [0.5, 0.875] Con 3 bit di esponente in Ca2, il range degli esponenti positivi è: [000,011] cioè [0,+3] esponenti negativi [100,111] cioè [-4,-1] 0,5x2-4 -0,5x2-4 0,875x23 -0,875x23

82 Relazione fra numero di bit di M ed E (a parità di M+E)
0,5x23 E=4 e M=4 bit

83 Relazione fra numero di it di M ed E
E=3 M=5

84 Precisione e Ampiezza

85 STANDARD IEEE Es. IEEE 724 a 32 bit: n=(s)-1x0,mxb(e-127)

86 Standard IEEE

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88 Es: Conversione in virgola mobile
Conversione in virgola mobile del numero -11,0625 utilizzando una rappresentazione con 1 bit di segno, 8 bit di mantissa e 4 di esponente in complemento a 2. Passo 1. Si converte il numero da decimale a binario 1.a) Conversione parte intera (divisioni successive per b(2) in base a(10) 11: 2 5 1 2 1 1 0 0 1 Quindi (11)10 = (1011)2

89 Conversione virgola mobile
1b) Conversione parte decimale x 2 = 0.125 x 2 = 0.25 x 2 = 0.5 x 2 = 1.0 Quindi (0.0625)10 = (0.0001)2 da cui ( )10 = ( )2

90 Conversione virgola mobile
Passo 2. Determinazione del segno è negativo quindi S=1 Passo 3. Determinazione della mantissa La mantissa contiene tutte le cifre significative del numero, a partire dall’1 più significativo, eventualmente trascurando le meno significative se il loro numero è maggiore del numero di bit a disposizione Quindi M = che, per definizione, rappresenta il valore (si sottintende che la virgola sia posizionata immediatamente a sinistra della cifra più significativa)

91 Conversione virgola mobile
Passo 4. Determinazione dell’esponente Dalla definizione della rappresentazione in virgola mobile un numero n è uguale a: n = S x M x 2E Poiché una moltiplicazione per una potenza positiva della base equivale ad uno spostamento verso destra della virgola di un numero di posizioni pari all’esponente, e poiché il numero da rappresentare ha la virgola 4 posizioni più a destra rispetto al numero rappresentato dalla sola mantissa, l’esponente dovrà essere uguale a 4. 1011, > 0,

92 Conversione virgola mobile
In complemento a due su 4 bit, rappresentazione con cui posso rappresentare i numeri interi relativi da -8 a +7, 4 è rappresentato da 0100 Infatti, poiché 4 un numero positivo, non lo devo complementare e lo rappresento come il corrispondente numero naturale. Quindi la rappresentazione di in virgola mobile, con 8 bit di mantissa, 4 di esponente e 1 di segno, è la seguente S=1 M= E=0100

93 Aritmetica in VM

94 Esempio

95 Somma

96 Somma (2)

97 Esempio 1 <+,1100,001> + <-,1111,011>
s= - perché e1<e2 (+1<+3) Sposta mantissa m1 di due posizioni a destra e aumenta l’esponente di due, poiché (e2-e1)=2 m=|m1-m2| = ( )=1100 Poiché m è normalizzata, non c’è altro da fare. Il risultato è <-,1100,011>

98 Esempio 2 Esprimi in forma normalizzata 2.Confronta esponenti
3.Allinea esponenti e slitta mantissa 4. Risultato