A.S.E.13.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 13 Somma e differenza di due numeri in C2Somma e differenza di due numeri in C2 Half AdderHalf.

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1 A.S.E.13.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 13 Somma e differenza di due numeri in C2Somma e differenza di due numeri in C2 Half AdderHalf Adder Full AdderFull Adder Sommatori e Sottrattori di due word di n bitSommatori e Sottrattori di due word di n bit

2 A.S.E.13.2 Richiami Base 2, 8, 10, 16Base 2, 8, 10, 16 Conversione da base N a base 10Conversione da base N a base 10 Conversione da base 10 a base NConversione da base 10 a base N Aritmetica binariaAritmetica binaria Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno Esempio di minimizzazioneEsempio di minimizzazione Or esclusivoOr esclusivo Tecniche strutturate di minimizzazioneTecniche strutturate di minimizzazione Sintesi a due livelliSintesi a due livelli

3 A.S.E.13.3 Aritmetica binaria 1 Somma di due bitSomma di due bit x + yx + y s = Sommas = Somma c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO) EsempioEsempio xysc 0000 0110 1010 1101 11111011001 1110101 11001110 carry 89 + 117 = 206

4 A.S.E.13.4 Aritmetica binaria 2 Sottrazione di due bitSottrazione di due bit x -yx -y d = Differenzad = Differenza b = Borrow (Prestito)b = Borrow (Prestito) EsempioEsempio xydb 0000 0111 1010 1100 111111001110 1110101 1011001 borrow 206 - 117 = 89xysc0000 0110 1010 1101

5 A.S.E.13.5 Numeri binari con segno Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fissoIl numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word) 8 bit formano un Byte8 bit formano un Byte Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno Si usa il bit più significativo per indicare il segnoSi usa il bit più significativo per indicare il segno 0 = +0 = + 1 = -1 = - Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica Modulo e segnoModulo e segno Complemento a 1Complemento a 1 Complemento a 2Complemento a 2 In traslazione ( cambia la codifica del segno)In traslazione ( cambia la codifica del segno)

6 A.S.E.13.6 Varie rappresentazioni su 4 bit Base 10 Mod e seg comp a 1 comp a 2 trasl. 70.1110.1110.1111.111 60.1100.1100.1101.110 50.1010.1010.1011.101 40.1000.1000.1001.100 30.0110.0110.0111.011 20.0100.0100.0101.010 10.0010.0010.0011.001 00.0000.0000.0001.000 01.0001.1110.0001.0001.0011.1101.1110.111 -21.0101.1011.1100.110 -31.0111.1001.1010.101 -41.1001.0111.1000.100 -51.1011.0101.0110.011 -61.1101.0011.0100.010 -71.1111.0001.0010.001 -8--1.0000.000

7 A.S.E.13.7 Modulo e segno Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

8 A.S.E.13.8 Complemento a 1 Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

9 A.S.E.13.9 Complemento a 2 Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

10 A.S.E.13.10 Traslazione Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

11 A.S.E.13.11 Trasformazione da numeri positivi a numeri negativi e viceversa Per la rappresentazione in modulo e segnoPer la rappresentazione in modulo e segno Basta cambiare il bit di segnoBasta cambiare il bit di segno Per la rappresentazione in complemento a 1Per la rappresentazione in complemento a 1 Si complementano tutti bitSi complementano tutti bit Per la rappresentazione in complemento a 2Per la rappresentazione in complemento a 2 Si complementano tutti bit e si somma 1Si complementano tutti bit e si somma 1 Per la rappresentazione in tralazionePer la rappresentazione in tralazione Si somma sempre 2 n-1Si somma sempre 2 n-1

12 A.S.E.13.12 Tabella Riassuntiva Con riferimento a una word di n bit, si ha:Con riferimento a una word di n bit, si ha: K = 2 n K = 2 n H =2 n-1H =2 n-1 W numero in base 2 da convertireW numero in base 2 da convertire W numero convertitoW numero convertito

13 A.S.E.13.13 Complemento a 2 Somma [-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 ]Somma [-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 ] Osservare che K non è possibile rappresentarlo su n bitOsservare che K non è possibile rappresentarlo su n bit *Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2 *Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2 **Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2**Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2 ***Il risultato è rappresentato in C. 2***Il risultato è rappresentato in C. 2

14 A.S.E.13.14 Esempi Parola di 4 bitParola di 4 bit 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11) 0011 0100 011101011101 10010 01100101 1011 10110011 1110 11001101 1100110101011 10101

15 A.S.E.13.15 Osservazioni Se la word si estende K bit si haSe la word si estende K bit si ha per numeri positivi si aggiungono in testa K zeriper numeri positivi si aggiungono in testa K zeri per numeri negativi si aggiungono in testa K unoper numeri negativi si aggiungono in testa K uno EsempioEsempio Word di 4 bit Word di 6 bit 30.0110.00011 40.1000.00100 70.1110.00111 -31.1011.11101 -41.1001.11100 -71.0011.11001

16 A.S.E.13.16 Half Adder Somma di due bitSomma di due bit aiaiaiai bibibibi sisisisi c i+1 0000 0110 1010 1101 aiai bibi sisi H A aiai bibi sisi c i+1

17 A.S.E.13.17 Full Adder 1 Somma di due bit compreso il CarrySomma di due bit compreso il Carry cicicici aiaiaiai bibibibi sisisisi c i+1 00000 00110 01010 01101 10010 10101 11001 11111 0001111001 1111 00011110011 111 cici sisi a i,b i cici

18 A.S.E.13.18 Full Adder 2 Lo schema risultaLo schema risulta aiai bibi sisi c i+1 cici F A aiai bibi sisi c i+1 cici aiai bibi sisi cici F A

19 A.S.E.13.19 Half Subtractor Differenza fra due bit (x – y)Differenza fra due bit (x – y) xixixixi yiyiyiyi didididi b i+1 0000 0111 1010 1100 xixi yiyi didi H S aiai bibi sisi c i+1

20 A.S.E.13.20 Full Subcrtactor 1 Differenza fra due bit compreso il Borrow (x – y)Differenza fra due bit compreso il Borrow (x – y) bibibibi xixixixi yiyiyiyi didididi b i+1 00000 00111 01010 01100 10011 10101 11000 11111 0001111001 1111 00011110011 111 bibi didi x i,y i bibi

21 A.S.E.13.21 Full Subtractor 2 Lo schema risultaLo schema risulta xixi yiyi didi b i+1 bibi F S xixi yiyi didi b i+1 bibi xixi yiyi didi bibi F S

22 A.S.E.13.22 Sommatore a riporto seriale (Ripple-Carry Adder) Somma di due parole di 4 bit in C. 2Somma di due parole di 4 bit in C. 2 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b0b0 a0a0 b1b1 a1a1 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b2b2 a2a2 c i+1 FA cici aiai sisi bibi b3b3 a3a3 s0s0 s1s1 s3s3 s2s2 c4c4 c0c0 cici aiai sisi bibi c i+1

23 A.S.E.13.23 Proprietà dello XOR Lo XOR può essere visto come un inverter programmabileLo XOR può essere visto come un inverter programmabile in S outSinout000 011 101 110

24 A.S.E.13.24 Considerazioni sulla sottrazione Si ricorda cheSi ricorda che Operando in complemento a 2 si haOperando in complemento a 2 si ha QuindiQuindi

25 A.S.E.13.25 Sommatore/Sottrattore In base alle proprietà dello XOR e come si può eseguire la differenza (A – B) in C. 2 si ha:In base alle proprietà dello XOR e come si può eseguire la differenza (A – B) in C. 2 si ha: a0a0 b0b0 a1a1 b1b1 a2a2 b2b2 a3a3 b3b3 s0s0 s1s1 s3s3 s2s2 c4c4 c i+1 FA cici bibi sisi aiai c i+1 FA cici bibi sisi aiai c i+1 FA cici bibi sisi aiai c i+1 FA cici bibi sisi aiai k A –B K=1 A+Bk=0

26 A.S.E.13.26 OverfloW Parola di 4 bitParola di 4 bit 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11) 0000 0011 0100 011111010101 1101 10010 01000110 0101 1011 00111011 0011 1110 11001100 1101 1100110101010 1011 10101

27 A.S.E.13.27 Conclusioni Somma e differenza di due numeri in C2Somma e differenza di due numeri in C2 Half AdderHalf Adder Full AdderFull Adder Sommatori e Sottrattori di due word di n bitSommatori e Sottrattori di due word di n bit