A.S.E.3.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 3 Sistema numericoSistema numerico Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12,

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1 A.S.E.3.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 3 Sistema numericoSistema numerico Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16Base 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 16 Conversione da base N a base 10Conversione da base N a base 10 Conversione da base 10 a base NConversione da base 10 a base N Aritmetica binariaAritmetica binaria Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno

2 A.S.E.3.2 Sistema Numerico BaseBase Numero di simboli diversi di un sistema numericoNumero di simboli diversi di un sistema numerico Digit (Cifra)Digit (Cifra) ciascun simbolo = DIGIT denota una quantitàciascun simbolo = DIGIT denota una quantità BaseSistemaDigit 2binario 0, 1 3ternario 0, 1, 2 4quaternario 0, 1, 2, 3 5quinario 0, 1, 2, 3, 4 8ottale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10decimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 12duodecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B 16esadecimale 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

3 A.S.E.3.3 Notazione Posizionale Per rappresentare una quantità maggiore di quella associata a ciascun digit si usano più digit per formare un numeroPer rappresentare una quantità maggiore di quella associata a ciascun digit si usano più digit per formare un numero La posizione relativa di ciascun digit allinterno del numero è associata ad un pesoLa posizione relativa di ciascun digit allinterno del numero è associata ad un peso N = 587 = 5x10 2 + 8x10 1 + 7x10 0N = 587 = 5x10 2 + 8x10 1 + 7x10 0 Notazione posizionaleNotazione posizionale Rappresenta il polinomioRappresenta il polinomio

4 A.S.E.3.4 Rappresentazione completa Se si usano basi diverse, lo stesso numero rappresenta quantità diverse in funzione della base usataSe si usano basi diverse, lo stesso numero rappresenta quantità diverse in funzione della base usata Si deve quindi indicare la base utilizzataSi deve quindi indicare la base utilizzata EsempiEsempi

5 A.S.E.3.5 DecimaleBinarioOttaleEsadecimale 0000 1111 21022 31133 410044 510155 611066 711177 81000108 91001119 10101012A 11101113B 12110014C 13110115D 14111016E 15111117F Tabella

6 A.S.E.3.6 Conversione in base 10 Direttamente dalla rappresentazione posizionaleDirettamente dalla rappresentazione posizionale ESEMPIO 1ESEMPIO 1 –Convertire il numero 1101 in base 2 nellequivalente in base 10 –Convertire il numero D3F in base 16 nellequivalente in base 10

7 A.S.E.3.7 Divisione tra Interi La divisione tra interi e definita nel modo seguente:La divisione tra interi e definita nel modo seguente: dati due numeri m e n, loperazione m div n produce due numeri p e q tali che m = np+q, 0 q (n-1) Dati due numeri m e n, si definisceDati due numeri m e n, si definisce |m| n =q (leggesi m modulo n) Teorema: |m| n = |m+kn| nTeorema: |m| n = |m+kn| n Prova: dalla definizione, m+kn = np'+q', p' e q' ottenuti tramite divisione, ma p'=[(m+kn)/n]=[k+m/n]=k+[m/n]=k+p,Prova: dalla definizione, m+kn = np'+q', p' e q' ottenuti tramite divisione, ma p'=[(m+kn)/n]=[k+m/n]=k+[m/n]=k+p, ([x] = parte intera di x) quindi q' = (m+kn)-np' = m+kn-n(k+p) = m-np = q, CVD

8 A.S.E.3.8 Rappresentazioni Finite Nei computer, il numero di cifre a disposizione per la rappresentazione dei numeri e finitaNei computer, il numero di cifre a disposizione per la rappresentazione dei numeri e finita Esempio: con 3 cifre in base 10 possiamo rappresentare solo i numeri da 0 a 999 (=10 3 -1)Esempio: con 3 cifre in base 10 possiamo rappresentare solo i numeri da 0 a 999 (=10 3 -1) –Cio significa che in questo caso i numeri 763 17631948763 sarebbero tutti uguali e pari a 763, ovvero |763| 1000 = |1763| 1000 = |1948763 | 1000 In generale, lavorare con n cifre in base b significa operare modulo b nIn generale, lavorare con n cifre in base b significa operare modulo b n

9 A.S.E.3.9 Conversione da base 10 a base n Tecnica delle divisioni successiveTecnica delle divisioni successive –Perché dividendo un numero per la sua base, il resto è lultimo digit

10 A.S.E.3.10 Esempio 1 Convertire il numero 52 in base 10 nellequivalente in base 2Convertire il numero 52 in base 10 nellequivalente in base 2 QuindiQuindi5220262 0132 16 2 03 2 11

11 A.S.E.3.11 Esempio 2 Convertire il numero 58506 in base 10 nellequivalente in base 16Convertire il numero 58506 in base 10 nellequivalente in base 16 QuindiQuindi585061610365616 (A) (A) 822816 (8) (8)4 14 (4) (E) (E)

12 A.S.E.3.12 Esempio 3 Convertire il numero 58506 in base 10 nellequivalente in base 8Convertire il numero 58506 in base 10 nellequivalente in base 8 QuindiQuindi585068273138 19148 2114 8 2148 61

13 A.S.E.3.13 Numeri frazionari 1 Conversione da base b a base 10Conversione da base b a base 10 Non presenta problemiNon presenta problemi EsempioEsempio Convertire il numero binario 1101.101Convertire il numero binario 1101.101

14 A.S.E.3.14 Numeri frazionari 2 Conversione da base 10 a base bConversione da base 10 a base b La parte intera procedimento prima vistoLa parte intera procedimento prima visto Per la parte frazionaria in base b si haPer la parte frazionaria in base b si ha Moltiplicando per la base si haMoltiplicando per la base si ha La conversione può non avere fine, si arresta una volta raggiunta la precisione desiderataLa conversione può non avere fine, si arresta una volta raggiunta la precisione desiderata

15 A.S.E.3.15 Esempio Conversione da base 10 a base 16Conversione da base 10 a base 16

16 A.S.E.3.16 ERRORE Avendo arrestato la conversione al quarto passaggio si commette un certo erroreAvendo arrestato la conversione al quarto passaggio si commette un certo errore Lentità dellerrore si può valutare convertendo il risultato in base dieciLentità dellerrore si può valutare convertendo il risultato in base dieci

17 A.S.E.3.17 Binario => Ottale Dato un numero binarioDato un numero binario FattorizzandoFattorizzando

18 A.S.E.3.18 Metodo Basta raggruppare i digit del numero binario (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nel corrispondente digit ottaleBasta raggruppare i digit del numero binario (bit) tre a tre e convertire ciascun gruppo nel corrispondente digit ottale EsempioEsempio NotaSono stati aggiunti degli zeri in testa e in coda affinché si avessero due gruppi di digit multipli di treNotaSono stati aggiunti degli zeri in testa e in coda affinché si avessero due gruppi di digit multipli di tre

19 A.S.E.3.19 Binario => Esadecimale Stesso procedimento del caso precedente, però ora si raggruppano i bit quattro a quattroStesso procedimento del caso precedente, però ora si raggruppano i bit quattro a quattro EsempioEsempio Per le conversioni ottale => binario e esadecimale => binario si opera in modo simile convertendo ciascun digit nel corrispondente numero binarioPer le conversioni ottale => binario e esadecimale => binario si opera in modo simile convertendo ciascun digit nel corrispondente numero binario

20 A.S.E.3.20 Ottale => Esadecimale (Esadecimale => Ottale) Conversione intermedia in binarioConversione intermedia in binario EsempioEsempio –Ottale => Esadecimale –Esadecimale => Ottale

21 A.S.E.3.21 Aritmetica binaria 1 Somma di due bitSomma di due bit x + yx + y s = Sommas = Somma c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO) EsempioEsempio xysc 0000 0110 1010 1101 11111011001 1110101 11001110 carry 89 + 117 = 206

22 A.S.E.3.22 Aritmetica binaria 1 bis Somma di due bitSomma di due bit x + y + c in {s, c out }x + y + c in {s, c out } s = Sommas = Somma c = Carry (RIPORTO)c = Carry (RIPORTO) xy c in s c out 00000 01010 10010 11001 00110 01101 10101 11111 + x y c in c out s

23 A.S.E.3.23 Aritmetica binaria 2 Sottrazione di due bitSottrazione di due bit x -yx -y d = Differenzad = Differenza b = Borrow (Prestito)b = Borrow (Prestito) EsempioEsempio xydb 0000 0111 1010 1100 111111001110 1110101 1011001 borrow 206 - 117 = 89xysc0000 0110 1010 1101

24 A.S.E.3.24 Aritmetica binaria 2 bis Sottrazione di due bitSottrazione di due bit x - y - b in {d, b out }x - y - b in {d, b out } d = Differenzad = Differenza b = Borrow (Prestito)b = Borrow (Prestito) xy b in d b out 00000 01011 10010 11000 00111 01101 10100 11111 - x y b in b out d

25 A.S.E.3.25 Aritmetica binaria 3 Prodotto di due bitProdotto di due bit a x ba x b p = Prodottop = Prodotto EsempioEsempio abp 000 010 100 111 1101101 1101 0000 1101 1000001 13 x 5 = 65

26 A.S.E.3.26 Numeri binari con segno Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fissoIl numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word) 8 bit formano un Byte8 bit formano un Byte Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica Modulo e segnoModulo e segno Complemento a 1Complemento a 1 Complemento a 2Complemento a 2 In traslazione ( cambia la codifica del segno)In traslazione ( cambia la codifica del segno) In pratica, il bit più significativo indica il segnoIn pratica, il bit più significativo indica il segno 0 = +0 = + 1 = -1 = -

27 A.S.E.3.27 Varie rappresentazioni su 4 bit Base 10 Mod e seg comp a 1 comp a 2 trasl. 70.1110.1110.1111.111 60.1100.1100.1101.110 50.1010.1010.1011.101 40.1000.1000.1001.100 30.0110.0110.0111.011 20.0100.0100.0101.010 10.0010.0010.0011.001 00.0000.0000.0001.000 01.0001.1110.0001.0001.0011.1101.1110.111 -21.0101.1011.1100.110 -31.0111.1001.1010.101 -41.1001.0111.1000.100 -51.1011.0101.0110.011 -61.1101.0011.0100.010 -71.1111.0001.0010.001 -8--1.0000.000

28 A.S.E.3.28 Modulo e segno Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il range dei numeri risultaIl range dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

29 A.S.E.3.29 Complemento a 1 Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

30 A.S.E.3.30 Complemento a 2 Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il range dei numeri risultaIl range dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

31 A.S.E.3.31 Traslazione Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il range dei numeri risultaIl range dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

32 A.S.E.3.32 Trasformazione da numeri positivi a numeri negativi e viceversa Per la rappresentazione in modulo e segnoPer la rappresentazione in modulo e segno Basta cambiare il bit di segnoBasta cambiare il bit di segno Per la rappresentazione in complemento a 1Per la rappresentazione in complemento a 1 Si complementano tutti bitSi complementano tutti bit Per la rappresentazione in complemento a 2Per la rappresentazione in complemento a 2 Si complementano tutti bit e si somma 1Si complementano tutti bit e si somma 1 Per la rappresentazione in tralazionePer la rappresentazione in tralazione Si somma sempre 2 n-1Si somma sempre 2 n-1

33 A.S.E.3.33 Interi Assoluti Base 2Base 2 DinamicaDinamica dati N bitdati N bit Esempio N = 8Esempio N = 8 Base 10 Base 2 000000000 1600010000 9501011111 25511111111

34 A.S.E.3.34 Somma di Interi Assoluti N = 8N = 8 Base 10 Base 2 43+25= 68. 01110110001010110001100101000100 139+141=280. 100011110 1000101110001101 100011000 Il carry N+1 indica loverflow La somma di due numeri di N bit è rappresentabile sempre su N + 1 bit 24

35 A.S.E.3.35 Sottrazione di Interi Assoluti N = 8N = 8 Base 10 Base 2 143-86= 57. 11110000100011110101011000111001 95-141=-46. 100000000 0101111110001101 111010010 Il borrow N+1 indica lerrore 210

36 A.S.E.3.36 Prodotto di Interi Assoluti N = 5N = 5 Base 10 Base 2 19 x 23 = 57. 380. 437. 1001110111100111001101001100000000001001100000110110101 Il prodotto di due numeri su N bit è rappresentabile su 2N bit

37 A.S.E.3.37 Interi Relativi Complemento a 2Complemento a 2 DinamicaDinamica dati N bitdati N bit Esempio N = 8 (+128 > W > -129)Esempio N = 8 (+128 > W > -129) Base 10 Base 2 C-2 87 87256+87=34301010111 -123256-123=13310000101

38 A.S.E.3.38 Complemento a 2 Primo metodoPrimo metodo Applicare la definizioneApplicare la definizione Secondo metodoSecondo metodo complemento bit a bit più 1complemento bit a bit più 1

39 A.S.E.3.39 Somma di Interi Relativi (C-2) Se non cè overflow la somma è sempre correttaSe non cè overflow la somma è sempre corretta –W rappresentazione di W in C-2 –Z rappresentazione di Z in C-2 Base 10 Base 2 43+25= 68. 01110110001010110001100101000100 Base 10 Base 2 43+-25= 18. 111011110 001010111110011100010010

40 A.S.E.3.40 Sottrazione di Interi Relativi (C-2) Coincide con la sommaCoincide con la somma

41 A.S.E.3.41 Prodotto di Interi Relativi (C-2) N = 5N = 5 Base 10 Base 2 (C-2) 14 x -13 = 42. 14. -182. 0111010011011100111000000000000000000111000000100001010 Il prodotto di due numeri in C-2 non torna per i numeri negativi

42 A.S.E.3.42 Prodotto di Interi Relativi (C-2) N=5 Estensione a 10N=5 Estensione a 10 Base 10 Base 2 (C-2) -13 x 14 = 42. 14. -182. 11111100110000001110000000000011111001101111001100111001100000000000001101001010 Il prodotto di due numeri in C-2 torna se si estende la rappresentazione a 2N bit