A.S.E.5.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 5 Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno –Modulo e segno (MS)

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1 A.S.E.5.1 ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N° 5 Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno –Modulo e segno (MS) –Complemento a 2 (C2) –Complemento a 1 (C1) –Traslazione (T) Addizione su numeri relativiAddizione su numeri relativi

2 A.S.E.5.2 Numeri binari con segno 1 Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fissoIl numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word) 8 bit formano un Byte8 bit formano un Byte Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno Si usa il bit più significativo per indicare il segnoSi usa il bit più significativo per indicare il segno 0 = +0 = + 1 = -1 = - Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica –Modulo e segno Complemento a 2Complemento a 2 Complemento a 1Complemento a 1 In traslazione ( cambia la codifica del segno)In traslazione ( cambia la codifica del segno)

3 A.S.E.5.3 Modulo Il modulo di un numero è il valore assoluto del numero stessoIl modulo di un numero è il valore assoluto del numero stesso –si indica con due barre verticali Risulta:Risulta: EsempioEsempio Graficamente si ha:Graficamente si ha: x |x| 3 3 -3

4 A.S.E.5.4 Modulo e segno (1) Operando in base B e disponendo di N cifreOperando in base B e disponendo di N cifre Si può numerare B N oggetti distinti [ 0 ÷ (B N -1)]Si può numerare B N oggetti distinti [ 0 ÷ (B N -1)] Dovendo numerare sia oggetti positivi, che negativi, si sceglie di centrare lintervalloDovendo numerare sia oggetti positivi, che negativi, si sceglie di centrare lintervallo

5 A.S.E.5.5 Modulo e segno (2) AssumendoAssumendo –B > base in cui si opera –N > Digit (cifre) a disposizione (lunghezza della parola) –X > numero di cui si vuole eseguire la conversione –X MS > rappresentazione di X in M.S. RisultaRisulta In Base 2 risultaIn Base 2 risulta

6 A.S.E.5.6 Esempio 1 Disponendo di 3 digit in base 10Disponendo di 3 digit in base 10 –Stabilire il max e min rappresentabile –Convertire in MS i numeri 25, 147, -13, -258 Essendo B = 10 e N = 3, risultaEssendo B = 10 e N = 3, risulta

7 A.S.E.5.7 Esempio 2 Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in MS i numeri 1111 (15), 1110101 (117), -10111 (-23), -1011001 (-89)

8 A.S.E.5.8 Modulo e segno (3) Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

9 A.S.E.5.9 Osservazione Dati due numeri arbitrari X e Y, con Y 0, alloraDati due numeri arbitrari X e Y, con Y 0, allora Se R = 0 allora X è divisibile per YSe R = 0 allora X è divisibile per Y Si può dimostrare che R e Q esistono e sono uniciSi può dimostrare che R e Q esistono e sono unici EsempiEsempi

10 A.S.E.5.10 Modulo M (1) X modulo M è il resto della divisione di X diviso M (intero positivo); si indica con due barre verticali e pedice MX modulo M è il resto della divisione di X diviso M (intero positivo); si indica con due barre verticali e pedice M R è detto anche residuo e risultaR è detto anche residuo e risulta EsempioEsempio Intero di X diviso M

11 A.S.E.5.11 Modulo M (2) Altra interpretazione: dato un numero X e detto R il modulo M di XAltra interpretazione: dato un numero X e detto R il modulo M di X 1° caso 0 X < M segue R = X1° caso 0 X < M segue R = X 2° caso X M si togli tante volte M in modo che risulti 0 R < M2° caso X M si togli tante volte M in modo che risulti 0 R < M 3° caso X 0 si somma tante volte M in modo che risulti 0 R < M3° caso X 0 si somma tante volte M in modo che risulti 0 R < M

12 A.S.E.5.12 Alcune proprietà Dati due numeri X e Z risultaDati due numeri X e Z risulta

13 A.S.E.5.13 Osservazione 1 Loperazione modulo M in generale non è biunivoca, ovvero dato il numero X è univocamente determinato R = |X| MLoperazione modulo M in generale non è biunivoca, ovvero dato il numero X è univocamente determinato R = |X| M Dato R esistono infiniti numeri che hanno per residuo R stesso Loperazione modulo M è biunivoca se risultaLoperazione modulo M è biunivoca se risulta

14 A.S.E.5.14 Esempio grafico Per B = 2 e N = 4, si haPer B = 2 e N = 4, si ha

15 A.S.E.5.15 Osservazione 2 Data una base B, se si dispone di un numero limitato di digit (K), se si esegue laddizione di due numeri la cui somma eccede B K, allora la somma S assume il valoreData una base B, se si dispone di un numero limitato di digit (K), se si esegue laddizione di due numeri la cui somma eccede B K, allora la somma S assume il valore

16 A.S.E.5.16 Numeri binari con segno Il numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fissoIl numero massimo di bit usato da un calcolatore è noto e fisso Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word)Solitamente è : 4 o 8 o 16 o 32 (Word) 8 bit formano un Byte8 bit formano un Byte Non esiste un apposito simbolo per il segnoNon esiste un apposito simbolo per il segno Si usa il bit più significativo per indicare il segnoSi usa il bit più significativo per indicare il segno 0 = +0 = + 1 = -1 = - Si hanno varie tecniche di codificaSi hanno varie tecniche di codifica Modulo e segnoModulo e segno –Complemento a 2 Complemento a 1Complemento a 1 In traslazione ( cambia la codifica del segno)In traslazione ( cambia la codifica del segno)

17 A.S.E.5.17 Complemento a 2 (1) AssumendoAssumendo –B > base in cui si opera = 2 –N > Digit (cifre) a disposizione (lunghezza della parola) –X > numero di cui si vuole eseguire la conversione –X C2 rappresentazione di X in C2 RisultaRisulta

18 A.S.E.5.18 Esempio Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max e min rappresentabile –Convertire in C2 i numeri 1111 (15), 1110101 (117), -10111 (-23), -1011001 (-89)

19 A.S.E.5.19 Complemento a 2 (2) Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

20 A.S.E.5.20 Complemento a 1 (1) AssumendoAssumendo –Bit a disposizione (lunghezza della parola) N –X numero di cui si vuole eseguire la conversione –X C1 rappresentazione di X in C1 RisultaRisulta

21 A.S.E.5.21 Esempio Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max min rappresentabile –Convertire in C1 i numeri 1111 (15), 1110101 (117), -10111 (-23), -1011001 (-89)

22 A.S.E.5.22 Complemento a 1 (2) Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

23 A.S.E.5.23 Traslazione (1) AssumendoAssumendo –Bit a disposizione (lunghezza della parola) N –X numero di cui si vuole eseguire la conversione –X T rappresentazione di X in T RisultaRisulta

24 A.S.E.5.24 Esempio Disponendo di 8 digit in base 2Disponendo di 8 digit in base 2 –Stabilire il max e min rappresentabile –Convertire in T i numeri 1111 (15), 1110101 (117), -10111 (-23), -1011001 (-89)

25 A.S.E.5.25 Traslazione(2) Se si dispone di n bitSe si dispone di n bit Il corrispondente in base 10 èIl corrispondente in base 10 è Il renge dei numeri risultaIl renge dei numeri risulta Esempio n = 4Esempio n = 4

26 A.S.E.5.26 Trasformazione da numeri positivi a numeri negativi e viceversa Per la rappresentazione in modulo e segnoPer la rappresentazione in modulo e segno Basta cambiare il bit di segnoBasta cambiare il bit di segno Per la rappresentazione in complemento a 1Per la rappresentazione in complemento a 1 Si complementano tutti bitSi complementano tutti bit Per la rappresentazione in complemento a 2Per la rappresentazione in complemento a 2 Si complementano tutti bit e si somma 1Si complementano tutti bit e si somma 1 Per la rappresentazione in tralazionePer la rappresentazione in tralazione Si somma sempre 2 n-1Si somma sempre 2 n-1

27 A.S.E.5.27 Tabella Riassuntiva Con riferimento a una word di n bit, si ha:Con riferimento a una word di n bit, si ha: K = 2 n K = 2 n H =2 n-1H =2 n-1 W numero in base 2 da convertireW numero in base 2 da convertire W numero convertitoW numero convertito

28 A.S.E.5.28 Varie rappresentazioni su 4 bit Base 10 Mod e seg comp a 1 comp a 2 trasl. 70.1110.1110.1111.111 60.1100.1100.1101.110 50.1010.1010.1011.101 40.1000.1000.1001.100 30.0110.0110.0111.011 20.0100.0100.0101.010 10.0010.0010.0011.001 00.0000.0000.0001.000 01.0001.1110.0001.0001.0011.1101.1110.111 -21.0101.1011.1100.110 -31.0111.1001.1010.101 -41.1001.0111.1000.100 -51.1011.0101.0110.011 -61.1101.0011.0100.010 -71.1111.0001.0010.001 -8--1.0000.000

29 A.S.E.5.29 Addizione in Modulo e segno Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1]Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1] * è necessario fare un test sul segno prima di eseguire la somma* è necessario fare un test sul segno prima di eseguire la somma

30 A.S.E.5.30 Addizione in Complemento a 2 Somma [-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1]Somma [-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1] Osservare che K non è possibile rappresentarlo su n bitOsservare che K non è possibile rappresentarlo su n bit *Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2 *Per X < |Y| il risultato è rappresentato in C. 2 **Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2**Per Y < |X| il risultato è rappresentato in C. 2 ***Il risultato è rappresentato in C. 2***Il risultato è rappresentato in C. 2

31 A.S.E.5.31 Esempi Parola di 4 bitParola di 4 bit 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11) 0011 0100 011101011101 10010 01100101 1011 10110011 1110 11001101 1100110101011 10101

32 A.S.E.5.32 Osservazioni Se la word si estende K bit si haSe la word si estende K bit si ha per numeri positivi si aggiungono in testa K zeriper numeri positivi si aggiungono in testa K zeri per numeri negativi si aggiungono in testa K unoper numeri negativi si aggiungono in testa K uno EsempioEsempio Word di 4 bit Word di 6 bit 30.0110.00011 40.1000.00100 70.1110.00111 -31.1011.11101 -41.1001.11100 -71.0011.11001

33 A.S.E.5.33 OverfloW Parola di 4 bitParola di 4 bit 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11) 0000 0011 0100 011111010101 1101 10010 01000110 0101 1011 00111011 0011 1110 11001100 1101 1100110101010 1011 10101

34 A.S.E.5.34 Addizione in Complemento a 1 Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1]Somma [1-2 n-1 <(X+Y)<2 n-1 -1] Osservare che K non è possibile rappresentarlo su n bitOsservare che K non è possibile rappresentarlo su n bit *è necessario un test sul bit di segno, ma la correzione è facile*è necessario un test sul bit di segno, ma la correzione è facile *se il risultato è negativo è già rappresentato in C. 1*se il risultato è negativo è già rappresentato in C. 1 **è necessario aggiungere 1 per ottenere il risultato in C. 1**è necessario aggiungere 1 per ottenere il risultato in C. 1

35 A.S.E.5.35 Esempi Parola di 4 bitParola di 4 bit 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) 3 + 4 = 75 + (-3) = 2(-5) + 3 = (-2) (- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11)(- 4) +(-3) = -7 6 + 5 =11 (-6) + (-5) =(-11) 0011 0100 0111 01011100 10001 1 0010 01100101 1011 10100011 1101 10111100 10111 1 100010011010 10011

36 A.S.E.5.36 BCD (Binary-Coded Decimal numbers) Necessità di rappresentare i numeri decimali in codice binarioNecessità di rappresentare i numeri decimali in codice binario 8421 BCD8421 BCD si codifica in binario ciascuna cifra decimale utilizzando i primi 10 numeri binari su 4 bitsi codifica in binario ciascuna cifra decimale utilizzando i primi 10 numeri binari su 4 bit EsempioEsempio 453 10453 10 010001010011010001010011 è possibile eseguire somme e sottrazioni in BCDè possibile eseguire somme e sottrazioni in BCD

37 A.S.E.5.37 Altri codici (1) Codici decimali pesatiCodici decimali pesati B10C98421242154215043210 090000000000000100001 180001000100010100010 270010001000100100100 360011001100110101000 450100010001000110000 540101101110001000001 630110110010011000010 720111110110101000100 811000111010111001000 901001111111001010000

38 A.S.E.5.38 Altri codici (2) Codici decimali non pesatiCodici decimali non pesati B10 Eccesso a 3 2 su 5 0001111000 1010000011 2010100101 3011000110 4011101001 5100001010 6100101100 7101010001 8101110010 9110010100

39 A.S.E.5.39 Conclusioni Conversione da base N a base 10Conversione da base N a base 10 Conversione da base 10 a base NConversione da base 10 a base N ModuloModulo Modulo MModulo M Rappresentazione di numeri con segnoRappresentazione di numeri con segno Modulo e segno (MS)Modulo e segno (MS) Complemento a 1 (C1)Complemento a 1 (C1) Complemento a 2 (C2)Complemento a 2 (C2) Traslazione (T)Traslazione (T)