Matematica e statistica Versione didascalica: parte 2 Sito web del corso Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di.

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2 Matematica e statistica Versione didascalica: parte 2 Sito web del corso http://www.labmat.it/didattica Docente: Prof. Sergio Invernizzi, Università di Trieste e-mail: inverniz@units.it

3 2.7. Applicazioni numeriche delle derivate 2.7.1. Il metodo delle tangenti di Newton

4 > y1 <- function(x) exp(x)-2. > y2 <- function(x) exp(x) > y3 <- function(x) x - y1(x)/y2(x) > y3(2) [1] 1.270671 > newton <- function(x) y3(y3(y3(y3(y3(x))))) > newton(2) [1] 0.6931472 > log(2) [1] 0.6931472 > y1 <- function(x) x^2-2 > y2 <- function(x) 2*x > newton(2) [1] 1.414214 > sqrt(2) [1] 1.414214

5 > y1 <- function(x) sin(x)-x^2 > y2 <- function(x) cos(x)-2*x > 1 -> a > y3(a) -> a; a [1] 0.891396 > y3(a) -> a; a [1] 0.8769848 > y3(a) -> a; a [1] 0.8767263 > y3(a) -> a; a [1] 0.8767262 > y3(a) -> a; a [1] 0.8767262 > y3(a) -> a; a [1] 0.8767262 > y1(a) [1] 0

6 2.7.2. Interpolazione: Lemma di Rolle Se: a < b f(a) = 0 f(b) = 0 Allora esiste c che verifica a < c < b f '(c) = 0

7 2.7.2.a. Interpolazione costante (di Lagrange) valore vero = valore approssimato + errore

8 2.7.2.a. Interpolazione costante (di Lagrange)

9 2.7.2.b. Interpolazione lineare (di Lagrange) valore vero = valore approssimato + errore

10 2.7.2.b. Interpolazione lineare (di Lagrange)

11 2.7.3. Funzioni crescenti e decrescenti f (x) è crescente in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo si ha f (u) f (v). f (x) è decrescente in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo si ha f (u) f (v). f (x) è costante in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo si ha f (u) = f (v).

12 Applicazione dellinterpolazione costante f '(x) 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è crescente nellintervallo I f '(x) 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è decrescente nellintervallo I f '(x) = 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è costante nellintervallo I una quantità positiva

13 2.7.4. Funzioni convesse e concave f (x) è convessa in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo I si ha f (x) r (x) per tutti gli x del sottointervallo [u, v] f (x) è concava in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo I si ha f (x) r (x) per tutti gli x del sottointervallo [u, v] f (x) è lineare in un intervallo I se comunque presi due valori u < v nellintervallo I si ha f (x) = r (x) per tutti gli x del sottointervallo [u, v] Qui la r(x) è la retta che passa per (u, f(u)) e (v, f(v)), cioè la funzione lineare che in x = u ed x = v assume gli stessi valori di f.

14 Applicazione dellinterpolazione lineare f "(x) 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è convessa nellintervallo I f "(x) 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è concava nellintervallo I f "(x) = 0 in ogni x di un intervallo I f (x) è lineare nellintervallo I una quantità negativa

15 Mnemotecnica

16 Dinamica di popolazioni, I X = X(t) popolazione al tempo t, ovviamente X(t) > 0 Tasso di crescita costante: X '/ X = a, ossia X ' = aX a > 0 popolazione crescente, < 0 decrescente, = 0 costante X " = aX ' = a aX = a ² X > 0 X = X(t) convessa (sia che cresca, sia che decresca) Si ottengono informazioni su X(t) senza risolvere la equazione (senza conoscere la formula per X(t) =...) Si parla di analisi qualitativa del problema. Si dimostra che X(t) = X(0) exp(a t)

17 Dinamica di popolazioni, II X = X(t) popolazione al tempo t, ovviamente X(t) > 0 Tasso di crescita decrescente linearmente: X '/ X = a – bX, ossia X ' = aX – bX 2 = X (a – bX) Negli intervalli di tempo in cui X < a/b la popolazione è crescente Negli intervalli di tempo in cui X > a/b la popolazione è decrescente X " = aX ' – 2bXX ' = X '(a – 2bX) Negli intervalli di tempo in cui X < (a/b)/2 la popolazione è crescente, e la crescita è convessa. Negli intervalli di tempo in cui (a/b)/2 < X < a/b la popolazione cresce, ma la crescita è concava. Negli intervalli di tempo in cui X > a/b la popolazione decresce, in modo convesso. - fare il grafico! -

18 Metodo di Eulero in avanti, o forward (standard) (derivata = quoziente di Newton destro): per il futuro (valore iniziale assegnato) essendo Variante: Metodo di Eulero indietro, o backward (derivata = quoziente di Newton sinistro): per il passato

19 > a <- 1.14 > b <- 0.08 > f <- function(x) a*x-b*x^2 > u <- function(x) (20.0550*exp(1.14*x))/(161.642+1.40737*exp(1.14*x)) > h <- 0.4 > t0 <- 0. > x0 <- 0.123 > t <- c(1:25)*NA > x <- c(1:25)*NA > t[1] <- t0 > x[1] <- x0 > for (n in c(2:25)) { t[n] <- t[n-1]+h; x[n] <- x[n-1]+ h*f(x[n-1]) } > plot(t,x,type="b",col="red") > plot(u,0,10,add=TRUE,col="blue") > Metodo di Eulero forward

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21 Metodo Leap Frog, o della cavallina (derivata = differenza centrale) (valore iniziale assegnato) (secondo valore calcolato con il metodo di Eulero forward) essendo e dove

22 > x[1] <- x0 > x[2] <- x[1] + h*f(x[1]) > for (n in c(3:25)) { x[n] <- x[n-2]+ 2*h*f(x[n-1]) } > plot(t,x,col="red",type="b") > plot(u,0,10,add=TRUE,col="blue") > Metodo di Eulero Leap Frog

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24 Attenzione! Per questi tipi di modelli (equazioni differenziali) devono sempre essere usati integratori professionali! No fai-da-te! Problemi di stabilità