CONTINUITA’ Una funzione continua e’ una funzione il cui grafico non presenta interruzioni CONTINUA DISCONTINUA.

Presentazione sul tema: "CONTINUITA’ Una funzione continua e’ una funzione il cui grafico non presenta interruzioni CONTINUA DISCONTINUA."— Transcript della presentazione:

1 CONTINUITA’ Una funzione continua e’ una funzione il cui grafico non presenta interruzioni CONTINUA DISCONTINUA

2 CONTINUITA’ Nel punto P(Xo,Yo) questa funzione è continua: se facciamo il limite per x tendente a Xo otteniamo come risultato Yo, che è anche il valore della funzione P Yo=f(Xo) CONTINUA Xo

3 CONTINUITA’ Questa è discontinua: se facciamo il limite sinistro e destro per x tendente a Xo questi danno due valori diversi, Yo e un altro, H. Il grafico compie un salto pari a Yo-H DISCONTINUA Yo H Xo

4 CONTINUITA’ Data f:D->R, e dato Xo punto del dominio D, allora la funzione f si dice CONTINUA in Xo se il limite per x tendente ad Xo di f(x): ESISTE E’ FINITO E’ UGUALE A f(Xo) Ovvero, in formule:

5 CONTINUITA’ Una funzione continua in tutti i punti di un certo intervallo si dice CONTINUA SU QUELL’INTERVALLO

6 CONTINUITA’ Se una di queste clausole non è verificata allora la funzione si dice discontinua in Xo.

7 I punti di discontinuità vengono classificati in tre specie
CONTINUITA’ I punti di discontinuità vengono classificati in tre specie

8 CONTINUITA’ Se il limite sinistro e destro di f(x) per x tendente a Xo: ESISTONO SONO FINITI SONO DIVERSI TRA LORO Xo si dice punto di discontinuità di PRIMA SPECIE

9 CONTINUITA’ La funzione y=INT(x) offre un esempio di tale discontinuità: tutti i numeri interi sono punti di discontinuità di prima specie

10 CONTINUITA’ Se almeno uno dei due limiti, sinistro o destro, di f(x) per x tendente a Xo: NON ESISTE… …OPPURE NON E’ FINITO Xo si dice punto di discontinuità di SECONDA SPECIE

11 CONTINUITA’ La funzione y=ln(x) offre un esempio di tale discontinuità nell’origine

12 CONTINUITA’ Se il limite per x tendente a Xo esiste, è finito, ma è diverso della valore della funzione (oppure la funzione non esiste in Xo) Xo si dice punto di discontinuità di TERZA SPECIE, o ELIMINABILE

13 CONTINUITA’ La discontinuità si dice eliminabile perché basta alterare leggermente la definizione della funzione ponendo: Per rendere la funzione continua

14 CONTINUITA’ Un esempio è la funzione:
Infatti non esiste per X=0, ma il limite per x tendente a 0 è, come è noto, 1. Basta quindi porre: f(0)=1 E la funzione risulta continua anche in 0.

15 CONTINUITA’ Dove si trovano i punti di discontinuità di una funzione?
Nei punti esclusi dal dominio (che siano però punti di accumulazione del dominio) Nei punti in cui l’argomento di un valore assoluto cambia segno in altri casi particolari

16 CONTINUITA’ TEOREMA DI WEIERSTRASS
Una funzione continua su un intervallo chiuso ammette sempre massimo e minimo assoluti su quell’intervallo

17 CONTINUITA’ Una curva senza salti, definita su un intervallo, di fatto può essere racchiusa in un rettangolo, la cui altezza avrà per estremi il massimo e il minimo della funzione MASSIMO MINIMO

18 CONTINUITA’ TEOREMA DI DARBOUX
Una funzione continua su un intervallo chiuso assume almeno una volta tutti i valori compresi tra il minimo e il massimo

19 CONTINUITA’ TEOREMA DI DARBOUX
Potremmo enunciarlo anche così: se la funzione f è continua sull’intervallo [a,b] e se il numero k è compreso tra min(f) e max(f) su tale intervallo, allora esiste un punto c appartenente ad [a,b] tale che: f(c)=k

20 CONTINUITA’ Graficamente è abbastanza evidente che, se una curva è continua, al valore k compreso tra min e max deve corrispondere un valore c tra a e b MASSIMO k MINIMO c a b

21 CONTINUITA’ TEOREMA DEGLI ZERI
Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora esiste almeno un punto dell’intervallo in cui la funzione si annulla

22 CONTINUITA’ TEOREMA DEGLI ZERI (altra versione)
Se f è una funzione continua su un intervallo chiuso e se su tale intervallo la funzione cambia segno, allora l’equazione: f(x)=0 Ammette almeno una soluzione in tale intervallo

23 CONTINUITA’ E’ una conseguenza del teorema di Darboux; infatti se la funzione cambia segno sicuramente il massimo sarà un numero positivo e il minimo un numero negativo: e siccome 0 è sempre compreso tra un numero positivo e uno negativo, allora la funzione deve per forza assumere il valore 0.