BANDE DI ENERGIA PERCHE’ ESISTONO I LIVELLI ENERGETICI?

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1 BANDE DI ENERGIA PERCHE’ ESISTONO I LIVELLI ENERGETICI?
In meccanica quantistica le particelle hanno anche una componente ondulatoria

2 BANDE DI ENERGIA Una particella confinata in una certa zona dello spazio può essere vista come un’onda stazionaria su una corda con estremi fissi

3 BANDE DI ENERGIA Naturalmente l’analogo degli estremi fissi della corda sono le pareti della scatola in cui è confinata la particella

4 BANDE DI ENERGIA Il punto fondamentale è che gli estremi devono essere fissi: ma gli unici punti fissi di un’onda sono i nodi

5 BANDE DI ENERGIA Questo significa che i nodi devono coincidere con gli estremi della corda

6 BANDE DI ENERGIA Ma la distanza tra due nodi vicini è pari a mezza lunghezza d’onda, ciò significa che la metà della lunghezza d’onda deve essere una frazione intera della distanza tra gli estremi della corda λ/2

7 BANDE DI ENERGIA In formule, se λ è la lunghezza d’onda, L quella della corda, n un numero intero:

8 BANDE DI ENERGIA Nel caso di una particella racchiusa in una scatola L è lo spigolo della scatola L

9 BANDE DI ENERGIA Ma la lunghezza d’onda è legata alla velocità dalla relazione di DeBroglie

10 BANDE DI ENERGIA Combinando queste due e ricavandone la velocità si ottiene:

11 BANDE DI ENERGIA Nel caso di una particella che si muova liberamente tra le pareti della scatola l’energia è puramente cinetica

12 BANDE DI ENERGIA Quindi, combinando le due formule, si ottiene:

13 BANDE DI ENERGIA n è il numero quantico principale
Questa è la formula dei livelli energetici di una particella che si muove liberamente in una scatola n è il numero quantico principale

14 BANDE DI ENERGIA Non è, ovviamente, paragonabile alla formula di Bohr per l’atomo di idrogeno; in quel caso infatti l’elettrone non è libero

15 BANDE DI ENERGIA Nel legame metallico gli elettroni di valenza sono per certi versi liberi di muoversi nel reticolo degli ioni

16 BANDE DI ENERGIA D’altra parte essi risentono ancora fortemente del campo coulombiano generato dagli ioni

17 BANDE DI ENERGIA I livelli energetici nel campo coulombiano sono pochi e separati da un grosso salto di energia,

18 BANDE DI ENERGIA Nel caso dell’atomo di idrogeno, ad esempio, i livelli 1 e 2 sono separati da un salto di quasi 10 elettronvolt

19 BANDE DI ENERGIA ENERGIA Al contrario, i livelli della particella nella scatola sono moltis-simi ed estremamente ravvicinati

20 BANDE DI ENERGIA I livelli energetici degli elettroni in un solido cristallino assumono una struttura intermedia tra i due casi:

21 BANDE DI ENERGIA Vi è un enorme numero di livelli molto ravvicinati, come nel caso della particella nella scatola… …ma questi livelli sono raggruppati in BANDE DI ENERGIA, separate da intervalli molto ampi privi di livelli

22 BANDE DI ENERGIA ENERGIA Bande Intervalli

23 BANDE DI ENERGIA Bisogna inoltre ricordare che gli elettroni sono fermioni, quindi su ogni livello ce ne possono stare al più due con spin opposto ENERGIA

24 BANDE DI ENERGIA Poiché ogni banda è formata da un numero grande, ma finito di livelli, ciò significa che le bande verranno riempite di elettroni dalla più bassa a salire ENERGIA

25 BANDE DI ENERGIA La più alta banda piena si dice BANDA DI VALENZA.
La prima banda vuota BANDA DI CONDUZIONE ENERGIA

26 BANDE DI ENERGIA L’intervallo tra banda di conduzione e banda di valenza si dice ENERGY GAP ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA

27 BANDE DI ENERGIA L’energy gap è tipicamente dell’ordine di alcuni elettronvolt, energia paragonabile a quella dei salti tra i livelli atomici ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA

28 BANDE DI ENERGIA In un conduttore percorso da corrente l’energia degli elettroni è di due tipi: energia termica, che origina il moto caotico degli elettroni nel reticolo cristallino Energia elettrica, che genera il moto ordinato noto come corrente elettrica

29 BANDE DI ENERGIA L’energia termica degli elettroni, a temperature ordinarie, è dell’ordine di qualche centesimo di eV

30 BANDE DI ENERGIA L’energia che un generatore elettrico può fornire ad un elettrone è in genere molto più piccola di quella termica, non più di pochi decimillesimi di eV

31 BANDE DI ENERGIA Ricordiamo inoltre questo principio basilare: un elettrone può saltare da un livello ad un altro a due condizioni: che il livello di destinazione sia libero che gli sia fornita un’energia pari alla differenza di energia tra i due livelli

32 BANDE DI ENERGIA Ricapitoliamo poi le energia in gioco:
Energy gap: qualche elettronvolt Energia termica: qualche centesimo di elettronvolt Energia elettrica: qualche decimillesimo di elettronvolt

33 BANDE DI ENERGIA Ne concludiamo quindi che
L’ENERGIA ELETTRICA NON PUO’ CONSENTIRE IL SALTO DA UNA BANDA ALL’ALTRA, MA SOLO TRA LIVELLI DELLA STESSA BANDA

34 BANDE DI ENERGIA Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza è totalmente occupata da elettroni mentre la banda di conduzione è vuota ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA

35 BANDE DI ENERGIA Gli elettroni non possono acquistare energia elettrica perché non hanno livelli vuoti abbastanza vicini in cui saltare ENERGIA BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA

36 BANDE DI ENERGIA Il corpo risulterà quindi un ISOLANTE ENERGIA
BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA

37 BANDE DI ENERGIA Consideriamo il caso di un corpo in cui la banda di valenza non è del tutto piena… BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA

38 BANDE DI ENERGIA O quello equivalente in cui l’energy gap non esiste e le due bande sono fuse BANDA DI CONDUZIONE BANDA DI VALENZA

39 BANDE DI ENERGIA In entrambi i casi gli elettroni possono acquisire anche minime quantità di energia elettrica in quanto hanno livelli liberi vicinissimi BANDA DI CONDUZIONE BANDA DI VALENZA

40 BANDE DI ENERGIA In questo caso il corpo risulta un CONDUTTORE
BANDA DI CONDUZIONE BANDA DI VALENZA

41 BANDE DI ENERGIA Si è fin qui trascurato il ruolo dell’energia termica: pur essendo in media molto bassa alcuni elettroni potrebbero averne abbastanza per superare l’energy gap

42 BANDE DI ENERGIA Si avrebbero così livelli liberi in banda di valenza ed elettroni in banda di conduzione BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA

43 BANDE DI ENERGIA Questo può avvenire di fatto solo se l’energy gap è piccolo, mentre se è grande l’effetto è insignificante BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA

44 BANDE DI ENERGIA Le sostanze in cui nonostante la struttura a bande sia da isolante avviene la conduzione si dicono semiconduttori BANDA DI CONDUZIONE ENERGY GAP BANDA DI VALENZA

45 BANDE DI ENERGIA Germanio e silicio hanno un energy gap pari rispettivamente a 0,67 e 1,1 eV, e sono i più noti semiconduttori

46 BANDE DI ENERGIA Il carbonio nella forma di diamante ha un energy gap di 5,5 eV ed è un ottimo isolante