Combinazioni di lenti Le proprietà della lente sottile sono fondamentali per la comprensione di sistemi ottici rifrattivi anche complessi. Oggi il calcolo.

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1 Combinazioni di lenti Le proprietà della lente sottile sono fondamentali per la comprensione di sistemi ottici rifrattivi anche complessi. Oggi il calcolo di tali sistemi si effettua con complessi ed efficacissimi sistemi di tracciamento di raggi che operano sui moderni PC (li tratteremo in seguito). E’ tuttavia fondamentale comprendere sia pure a grandi linee il funzionamento di essi basandoci sulle nozioni della lente singola sottile. Vediamo ora la combinazione di due lenti sottili.

2 Si abbiano L1 ed L2 separate da una distanza d piccola rispetto alle distanze focali di entrambe.
L’immagine risultante può costruirsi graficamente. Trascuriamo per il momento L2. L1 forma un’immagine che si può trovare con i raggi 1 e 3. Tali raggi passano per i fuochi immagine ed oggetto di L1: Fi1 e Fo1. Siccome l’oggetto è perpendicolare all’asse, l’intersezione di tali raggi determina il punto estremo dell’immagine P1’ e l’asse ottico l’altro punto

3 Ora da P1’ si tracci indietro il raggio 2 passante per O2
Ora da P1’ si tracci indietro il raggio 2 passante per O2. L’inserimento della lente L2 non ha alcun effetto sul raggio 2 mentre il raggio 3 è da essa portato a passare per il suo fuoco immagine Fi2. L’intersezione dei raggi 2 e 3 determina la posizione dell’immagine: in questo caso reale , rimpicciolita ed invertita. Un altro caso è dato in figura in cui la distanza tra le due lenti è aumentata.

4 Nuovamente i raggi 1 e 3 passanti per Fi1 e Fo1 determinano la posizione dell’immagine formata dalla sola L1. Si tracci indietro il raggio da O2 e passante per P1’ fino a S1. L’intersezione del raggio 2 e del raggio 3 portato dalla seconda lente L2 sul suo fuoco Fi2 determinano l’immagine finale P1. In questo caso reale e diritta. Si noti che se la lunghezza focale di L2 viene aumentata, tutto il resto eguale l’immagine si ingrandisce. Si ha: Questo è positivo e l’immagine intermedia è a destra di L1 se so1 > f1 e f1> 0. Per L2 : so2 = d – si1 e se d > si1 l’oggetto per L2 è reale, mentre se d < si1 è virtuale. Nel primo caso i raggi che arrivano su L2 sono divergenti da P1’ mentre nel secondo sono convergenti verso esso. Inoltre:

5 Sostituendo si ha: Nello stesso modo si può calcolare il risultato per un numero di lenti qualunque. Sostituendo ora si1 si ha: Qui so1 e si2 sono le distanze dell’oggetto e dell’immagine del sistema composto. Considerando ora che L2 “ingrandisce” l’immagine intermedia formata da L1 l’ingrandimento totale del sistema è il prodotto degli ingrandimenti di ciascuna lente: MT = MT1 MT2. Con un calcolo semplice si vede che:

6 Casi particolari significativi di due lenti sono: d = f1 + f2 : fasci paralleli che entrano il sistema da ciascun lato escono paralleli: le due lenti sono confocali. d→0 e cioè le due lenti sono a contatto: la lente sottile risultante ha una lunghezza focale effettiva: 1/f = 1/f1 + 1/f2 Se N lenti sono poste a contatto: 1/f = 1/f1 +1/f2 + … +1/fN purché siano rispettate le condizioni di lenti sottili!

7 Specchi sferici La trattazione degli specchi sferici segue lo stesso metodo utilizzato per i diottri sferici e le lenti sottili. L’equazione che regola le proprietà ottiche dello specchio sferico si ricava con l’aiuto della figura. Siccome θi= θr CA è la bisettrice dell’angolo SAP per cui divide il lato SP del triangolo SAP in parti proporzionali agli altri due lati. Per cui: SC/SA = CP/PA. Inoltre: SC = so - ׀R׀ e CP = ׀R׀ – si; so ed si essendo a sinistra sono positive. Usando la stessa convenzione dei segni che per il diottro sferico R è negativo perché C è a sinistra di V. Per cui ׀R׀ = - R e: SC = so + R; CP = -(si + R). Limitandoci alle condizioni parassiali SA ~ so, PA ~ si e l’equazione diventa:

8 che è la formula dello specchio sferico
che è la formula dello specchio sferico. Essa si applica sia per specchi concavi (R<0) che convessi (R>0). Come per le lenti il fuoco oggetto è definito: e quello immagine: per cui ed infine: f è positivo per specchi concavi (R<0) negativo per specchi convessi (R>0).

9 Le proprietà ottiche di uno specchio sferico assomigliano molto a quelle delle lenti sottili: entro la limitazione parassiale fasci di raggi paralleli di varia inclinazione rispetto all’asse ottico sono focalizzati su un punto del piano focale, piano perpendicolare all’asse ottico per F. Similmente un oggetto piano perpendicolare all’asse ottico sarà immaginato in un simile piano: ogni punto di esso avrà un corrispondente punto immagine. Questo è vero per uno specchio piano e solo approssimativamente per uno specchio sferico. In questo caso se lo specchio lavora a piccola apertura le onde riflesse provenienti da ogni

10 punto dell’oggetto saranno sferiche con buona approssimazione
punto dell’oggetto saranno sferiche con buona approssimazione. In queste condizioni si ha la formazione di buone immagini di oggetti estesi. Nel caso degli specchi il punto immagine si trova su una retta partente dal punto stesso e passante per il centro di curvatura C (nelle lenti era il centro O della lente). La posizione dell’immagine si determina in modo simile alle lenti. La parte superiore dell’immagine si colloca all’intersezione di due raggi: uno che parte parallelo all’asse ottico ed è riflesso passante per F, e l’altro che passa indeviato per C.

11 E’ facile da disegnare anche il raggio che parte da ciascun punto oggetto, cade in V e viene riflesso con lo stesso angolo. Lo stesso anche per il raggio che passa per il fuoco ed è riflesso parallelo all’asse. Nella figura precedente i triangoli S1S2V e P1P2V sono simili: i loro lati proporzionali. Prendendo yi negativo perché sta sotto l’asse ottico si ha: yi/yo = - si/so = MT l’ingrandimento trasversale. L’unica grandezza che contiene la particolarità dell’elemento ottico (n,R) è f e quindi differisce tra specchio sferico e lente. Tutte le altre espressioni che legano so, si ed f o yo, yi e MT sono eguali. La tabella mostra la convenzione per i segni dello specchio sferico: si a sinistra di V

12 è ora positivo (differenza con la lente).
Le proprietà di formazione delle immagini riassunte in Tabella sono

13 mostrate in figura.

14 Specchi piani Per uso domestico essi sono costruiti con lo strato riflettente dietro la superficie di una lastra piana per protezione. Gli specchi per impiego tecnico-scientifico sono invece tutti ricoperti sulla faccia anteriore. Con le nozioni precedenti è facile stabilire le proprietà di formazione delle immagini di uno specchio piano. Si vede che ׀si׀= ׀so׀cioè oggetto S ed immagine P sono equidistanti dalla superficie. Si ha che θi= θr; ma θi+θr è angolo esterno al triangolo SPA. Ma l’angolo in S di VSA è pure θi per cui anche l’angolo in P di APV è θi Ne risulta che i due triangoli VSA e VPA sono eguali.

15 Per quanto riguarda la convenzione dei segni bisogna notare che ora l’immagine virtuale è a destra della superficie. L’osservatore vede P come posto dietro lo specchio: i raggi da P sono chiaramente divergenti e l’immagine è virtuale. Ricordando la convenzione per gli specchi ora so è positivo ed si è negativo. In questo caso l’ingrandimento trasversale MT= +1 e cioè l’immagine ha la stessa grandezza dell’oggetto ed è virtuale e diritta.

16 Dalla figura precedente si vede che un oggetto esteso a distanza (in perpendicolare) si dallo specchio viene immaginato punto a punto alla stessa distanza dietro. Ricordando la formazione dell’immagine della lente sottile (ad es. di una mano) si vedono le differenze: la lente forma l’immagine di una mano (sinistra) magari distorta perché MT ≠ ML ma ancora sinistra ruotata attorno all’asse ottico di 180o. Invece lo specchio forma l’immagine della mano sinistra come destra: il cambiamento di un sistema di coordinate cartesiane destrorso in sinistrorso prende il nome di inversione.

17 Nel caso di più specchi piani si possono avere sistemi con numero pari o dispari di inversioni: nel caso pari un sistema destrorso rimane destrorso mentre nel caso dispari diventa sinistrorso.

18 Vi sono molti sistemi che utilizzano specchi piani rotanti: deflettori di fascio, rotatori d’immagine ecc. Inoltre specchi piani sono utilizzati per esaltare piccole rotazioni di alcuni strumenti come ad es. galvanometri o bilance a torsione. Dalla figura si vede che se lo specchio ruota dell’angolo α il raggio riflesso (o l’immagine) ruota di 2α.