MOTO ROTAZIONALE.

Presentazione sul tema: "MOTO ROTAZIONALE."— Transcript della presentazione:

1 MOTO ROTAZIONALE

2 Rotazione in 2 dimensioni: particella sull’anello
in 3 dimensioni: particella sulla sfera

3 PARTICELLA SULL’ANELLO
Il momento angolare di una particella di massa m in moto su un anello di raggio r nel piano xy è rappresentato da un vettore Jz di grandezza pr perpendicolare al piano.

4 MOTO RETTILINEO MOTO CIRCOLARE
v  m I p J = r x p

5 Ipotesi di de Broglie: alla particella associamo un’onda di lunghezza d’onda =h/mv
primo giro secondo giro NON accettabile

6 Secondo giro Primo giro accettabile

7 numero intero di lunghezze d’onda ACCETTABILE numero non intero di lunghezze d’onda NON ACCETTABILE

8 ORIGINE QUALITATIVA DELLA QUANTIZZAZIONE
Condizioni cicliche al contorno Una circonferenza di raggio r deve contenere un numero intero ml di λ ml = 0, ± 1, ± 2, …. ml numero quantico Solo certi valori di λ sono accettabili λ = h/mv  sono accettabili solo certi valori della velocità e quindi dell’energia cinetica, cioè dell’energia totale Quantizzazione dell’energia

9 Quantizzazione del momento angolare
J = r x p Jz = ± p r Per la relazione di de Broglie λ = h/p Solo i valori sono accettabili  solo i valori sono accettabili Quantizzazione del momento angolare

10 Trattazione quantistica

11 ml = 0, ± 1, ± 2, …. Energia è quantizzata

12 ml Energia di punto zero = 0 Stati doppiamente degeneri
3 2 1 Stati doppiamente degeneri Stato non degenere Energia di punto zero = 0

13 I valori positivi e negativi di ml corrispondono
a rotazioni in direzioni opposte E non dipende dal senso della rotazione

14 AUTOFUNZIONI

15 Nodo Parte reale della Ψ

16 Numero di nodi = 2

17 Numero di nodi = ml Al crescere di ml la lunghezza d’onda  diminuisce
↓ p=h/ cresce E=p2/2m cresce

18 Momento angolare Il momento angolare è quantizzato

19 La posizione della particella sull’anello è completamente indeterminata

20 I livelli energetici si avvicinano al crescere del raggio dell’anello
Polieni ciclici Energia di eccitazione e lunghezza dell’anello Benzene λ = 204 nm Azulene λ = 340 nm

21 Sistemi con 4n elettroni sono in stato di tripletto
Regola di Huckel n + 2 n = 1 n = 2 Sistemi con 4n elettroni sono in stato di tripletto

22 PARTICELLA SULLA SFERA
Longitudine Latitudine distanza Coordinate sferiche

23 I due numeri quantici hanno una relazione
Una particella su una sfera deve soddisfare 2 condizioni al contorno cicliche Questa richiesta porta a 2 numeri quantici per definire il momento angolare Le 2 condizioni al contorno cicliche sono collegate I due numeri quantici hanno una relazione

24 l = 0, 1, 2, … ml = l, l-1, …, -l Il momento angolare è quantizzato.
L’energia è quantizzata indipendente da ml

25 l 2 1 ml ml ml

26 C60 I = me (0.7 nm)2 Ponendo l’’ = 4 e l’ = 5 calcoliamo ΔE = 398 nm.
Una transizione è stata osservata nell’UV-VIS a 404 nm.

27 C60 Au32 Aromaticità sferica 2 (N+1)2 N 2 (N+1)2 0 2 1 8 2 18 3 32
0 2 1 8 2 18 3 32 4 50 5 72 C60 Au32

28 Autofunzioni: armoniche sferiche
Gli autovalori di L2 sono l(l+1)ħ2 con l = 0, 1, 2, … L’intero l è il numero quantico principale del momento angolare Determina la grandezza del momento angolare Gli autovalori di Lz sono mlħ con -l ≤ ml ≤ l L’intero ml è il numero quantico magnetico Determina la componente z del momento angolare Per ciascun valore di l ci sono 2l+1 possibili valori di ml

29 Conclusione La meccanica quantistica afferma che un corpo ruotante NON può avere un’orientazione arbitraria rispetto ad un asse. Questa vincolo sull’orientazione è detto quantizzazione spaziale. Il numero quantico ml è detto numero quantico magnetico perché indica l’orientazione di un campo magnetico causato dalla rotazione di un corpo carico attorno ad un asse.

30 ARMONICHE SFERICHE ml = 0
Il numero di linee nodali aumenta al crescere di l: tanto più grande il momento angolare, tanto maggiore l’energia cinetica.

31 l ARMONICHE SFERICHE ml
La distanza dall’origine corrisponde alla grandezza (modulo) della quantità disegnata ml

32 Rappresentazione vettoriale del momento angolare
La lunghezza è costante. L’orientazione nei 5 stati è diversa.

33 Effetto Zeeman (1896) B = 0 B  0 l = 1 l = 0 2l+1 livelli energetici
-1 l = 1 l = 0 B = B  0 2l+1 livelli energetici

34 Conosciamo la proiezione del momento angolare lungo l’asse z
Che valori hanno le proiezioni lungo x e y ?

35 ESPERIMENTO DI STERN-GERLACH (1921)
Problema le particelle hanno momento angolare intrinseco? Particelle cariche con momento angolare intrinseco hanno momento magnetico Interagiscono con un campo magnetico B non uniforme N S

36 Apparato sperimentale
Risultato classico atteso Risultato sperimentale con atomi di Ag

37 N S N S z z Sorgente x Ag collimatore B  0 B unif B non unif
vapore di Ag collimatore schermo z x Fascio di Ag N S Magnete B uniforme N S Fascio di Ag non uniforme z Numero atomi Ag B  0 B unif B non unif

38 Atomi in un campo magnetico
Teoria classica : interazione di un elettrone orbitante con il campo magnetico v r μ L’elettrone orbitante si comporta come una spira percorsa da corrente Momento magnetico μ  momento angolare L In un campo magnetico B, l’energia di interazione è E = -μ.B B μ Teoria classica: tutti i valori di μ in modulo e direzione sono accettabili Fascio deflesso in modo continuo

39 ml numero quantico magnetico
Teoria quantistica: quantizzazione spaziale  solo certe orientazioni sono accettabili B = 0 (2l+1) stati degeneri con ml = -l, …, +l B ≠ 0 (2l+1) stati con energie diverse ml = 0 ml = -1 ml = +1 ml numero quantico magnetico

40 Particella con spin ½ ( 107Ag o 1H) Particella con spin 1 (2H) Particella con spin 3/2 (7Li) Nell’esperimento di Stern-Gerlach con atomi di Ag non compaiono (2 l + 1) fasci

41 Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach
? Particella con spin ½ (107Ag)

42 Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach
Particella con spin ½ (107Ag) Una volta che abbiamo selezionato una componente pura lungo l’asse z, rimane in quello stato

43 Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach
? Particella con spin ½ (107Ag)

44 Variazioni sull’esperimento di Stern-Gerlach
dietro davanti Particella con spin ½ (107Ag) Quello che è successo lungo l’asse z non ha importanza se ora guardiamo lungo l’asse x. Il fascio si divide ancora in 2.

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46 Esperimenti di Stern-Gerlach in sequenza
comp.Sz+ Componente Sz+ Nessuna comp. Sz- SGz Sorgente SGz comp. Sz- SGz SGx Fascio Sx+ Fascio Sx- Fascio Sz+ Fascio Sz- Sorgente Fascio Sx- Fascio Sz+ Fascio Sz- Fascio Sx+ SGz SGx Sorgente Possiamo conoscere una sola delle componenti

47 Il modello vettoriale Immaginiamo che L precessi attorno all’asse z. Quindi la grandezza di L e della componente lungo z Lz sono costanti, mentre le componenti x e y possono avere qualunque valore e il loro valor medio è zero Un dato numero quantico l determina la grandezza del vettore L z L La componente z può avere 2l+1 valori corrispondenti a Nel modello vettoriale questo vuol dire che solo certi angoli fra il vettore momento angolare e l’asse z sono permessi θ

48 Il modello vettoriale Esempio: l = 2
Lx Ly Lz La grandezza del momento angolare è La componente del momento angolare lungo z può essere

49 Rappresentazione del momento angolare
Proiezione lungo z definita Proiezioni lungo x ed y non specificate.  Un cono è una rappresentazione più realistica di un vettore.

50 Principio di corrispondenza

51 SPIN s Il risultato dell’esperimento di Stern-Gerlach NON è in accordo
1) con la fisica classica che predice una distribuzione continua 2) con quanto visto sinora sul momento angolare in meccanica quantistica: 2 l numero dispari di gruppi. Momento angolare intrinseco Non esiste un analogo classico, è un effetto puramente quantistico s

52 Il momento angolare è un vettore.
Lo Spin è una proprietà quanto meccanica di molte particelle fondamentali o di combinazioni di particelle. E’ detto “spin” perché è un tipo di momento angolare ed è descritto dalle equazioni che trattano il momento angolare. Il momento angolare è un vettore. Dovremmo essere capaci di determinare l’orientazione 3D e la lunghezza di questo vettore. L’esperimento rivela che è impossibile. Possiamo conoscere una sola orientazione (per convenzione l’asse z) e la sua grandezza simultaneamente, ma le altre orientazioni sono completamente incognite. 52

53 Lo spin dell’elettrone (s = 1/2) può avere solo 2
orientazioni rispetto ad un asse specificato Un elettrone  (↑) è un elettrone con ms = + 1/2 Un elettrone  (↓) è un elettrone con ms = - 1/2 La lunghezza del momento angolare di spin è

54 NUMERI QUANTICI MOMENTO ANGOLARE
Nome Simbolo Intervallo di valori Momento angolare orbitale l 0, 1, 2, ….. Momento magnetico orbitale ml 0, ±1, …, ±l Momento angolare di spin s 1/2 per un elettrone Momento magnetico di spin ms ±1/2 per un elettrone

55 Spin Nucleare I Isotopi con numero di massa pari  spin 0 o intero
Numero pari di protoni + numero pari di neutroni  nessuno spin (12C and 18O) Numero dispari di protoni + numero dispari di neutroni  spin = intero > 0 (14N) Isotopi con numero di massa dispari  spin semi-intero (13C, 1H, 31P, 19F, 15N)