UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani Corso di Meccanica Applicata.

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI Frequenza naturali – Vettori modali Funzione di parametri interni al sistema C e Φ DIPENDONO DA PARAMETRI ESTERNI

2 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI Se le condizioni iniziali sono: Allora avremo :

3 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI Da cui si ottiene: Indicando con U la matrice modale:

4 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA ALLE CONDIZIONI INIZIALI N.B. Questo tipo di approccio è attuabile fino ai sistemi con 2 GDL per i sistemi con numero maggiore di GDL non è praticabile questo tipo di soluzione.

5 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Si ottiene quando collego due sistemi ad 1 GDL identici con una molla di costante elastica molto bassa.

6 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Le equazioni di moto sono: In forma matriciale avremo dunque:

7 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Si cerca una soluzione del tipo: Dallequazione di moto avremo dunque:

8 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Lequazione caratteristica è dunque :

9 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI I modi di vibrare risultano dunque essere:

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11 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Imponendo le condizioni iniziali: Si ottiene:

12 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI Considerando che k<<mgL/a 2 : Lequazione di moto diventa: dove ω B rappresenta la frequenza dei battimenti.

13 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: FENOMENO DEI BATTIMENTI

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15 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA Se ottengo soluzioni negative vuol dire che ho una fase di 180°:

16 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

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18 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

19 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA

20 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL SMORZATI: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA La soluzione è dunque:

21 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: RISPOSTA AD UNA ECCITAZIONE ARMONICA Se il sistema non è smorzato la matrice impedenza è reale: Questa soluzione include la fase: linversione di segno è dovuta allo sfasamento di 180°

22 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO RISOLVO IL SISTEMA IPOTIZZANDO PICCOLI SPOSTAMENTI PER LE DUE MASSE.

23 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO Ovviamente considero ununica compontente del moto.

24 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO Per piccoli spostamenti avremo: La forza di gravità introduce dei termini che contribuiscono allo spostamento ma non alle vibrazioni.

25 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO Scompongo il moto in contributo statico e contributo vibrazionale. EQUILIBRIO STATICOEQUILIBRIO DINAMICO

26 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO

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28 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO Considerando il caso particolare in cui F 2 =0 e ponendo k=T/L: Il denominatore è il determinante caratteristico:

29 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL: ESEMPIO

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31 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI

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33 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PERUGIA Dipartimento di Ingegneria Industriale Prof. Francesco Castellani francesco.castellani@unipg.it Corso di Meccanica Applicata A.A. 2012-2013 Mod. B (Meccanica delle Vibrazioni) SISTEMI A 2 GDL NON SMORZATI: SISTEMA DI ASSORBIMENTO DELLE VIBRAZIONI