DISEQUAZIONI Una disequazione è una relazione tra 2 membri in cui compaiano in almeno uno di essi delle incognite e tra di loro uno dei seguenti segni.

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1 DISEQUAZIONI Una disequazione è una relazione tra 2 membri in cui compaiano in almeno uno di essi delle incognite e tra di loro uno dei seguenti segni >, <, ≥ o ≤

2 Disequazioni ad una incognita
Una disequazione è ad una incognita se di incognite ne compare una sola Il grado della disequazione è il grado più altro in cui compare l’incognita È scritta in forma normale se al secondo membro compare solo lo zero (si ottiene ciò portando tutti i termini dal 2° al 1° membro cambiandoli di segno) Disequazione di 2° grado scritta in forma normale:

3 Soluzioni di una disequazione
Sono tutti i valori dell’incognita che la soddisfano Ad esempio È soddisfatta per x≤-2 Nel caso di disequazioni di 1° grado si ottiene ciò isolando al 1° membro i termini con la x e portando al 2° i termini noti; quindi si divide per il coefficiente della x tenendo presente che se si divide per un numero negativo il verso della disuguaglianza cambia (< diviene > e viceversa). Le soluzioni di una disequazione possono anche essere indicate come intervalli, nel nostro caso x є(-∞;2] Per indicare che l’intervallo contiene gli estremi si usa la parentesi quadra, altrimenti quella tonda

4 Grafico delle soluzioni
Per disegnare il grafico delle soluzioni si traccia dapprima la retta dei numeri reali In essa si individuano i punti che sono soluzione dell’equazione associata e in corrispondenza di essi si traccia una barra verticale Sopra la retta dei reali si traccia una semiretta continua in corrispondenza dei valori che soddisfano la disequazione e tratteggiata in corrispondenza dei valori che non la soddisfano Ad esempio Si trasporta il termine noto nel 2° membro: x≥-4 Si divide i 2 membri per -2 (la disuguaglianza cambia verso) x≤2 Si traccia l’asse reale col numero soluzione dell’equazione associata x=2 La semiretta da -∞ a 2(compreso) sarà disegnata in modo continuo La semiretta tra 2 e +∞ sarà disegnata in modo tratteggiato 2 R

5 Soluzioni di disequazioni di 2° grado ad una incognita
Risolvere la disequazione equivale a trovare quando la parabola associata si trova al di sopra (1° e 4° caso) o al di sotto (2° e 3° caso) dell’asse x Nel 1° e 3° caso, essendo il coefficiente del termine di 2° grado >0, la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto nel 2° e 4° la parabola ha concavità rivolta verso il basso Se non vi sono punti d’incontro con l’asse x (soluzioni dell’equazione associata), o vi è un solo punto d’incontro, cioè se il delta≤0, il 1° e 2° caso sono sempre veri, il 3° e 4° mai (nel caso la disequazione sia di tipo ≥ o ≤ occorre considerare che l’equazione può essere soddisfatta o non soddisfatta solo per i punti che rappresentano le soluzioni dell’equazione associata) Se vi sono punti d’incontro con l’asse x, cioè se il delta>0, il 1° e 2° caso è vero per valori esterni alle radici, il 3° e il 4° per valori interni

6 Soluzioni di disequazioni di 2° grado ad una incognita
Si risolve l’equazione associata Se il coefficiente del termine di 2° grado è positivo il polinomio è positivo per valori esterni alle soluzioni x<x1  x>x2 che si può indicare anche come x є(-∞;x1)U(x2; +∞) Se il coefficiente del termine di 2° grado è negativo il polinomio è positivo per valori interni alle soluzioni x1<x<x2 che si può indicare anche come x є(x1 ;x2)

7 Soluzioni di disequazioni di 2° grado: esempio
Si risolve l’equazione associata x1=1/3, x2=1 Poiché il coefficiente del termine di 2° grado è >0 la disequazione è soddisfatta per valori esterni alle radici Si traccia l’asse reale con i valori delle radici trovate Il segmento tra 1/3 e 1 sarà disegnato in modo continuo (sono esclusi gli estremi) Le semirette da -∞ a 1/3 e da 1 a +∞ saranno disegnate in modo tratteggiato 1 R 1/3

8 Sistemi di disequazioni
Si risolvono entrambe le disequazioni utilizzando la stessa retta reale Si considera solo gli intervalli che soddisfano entrambe le disequazioni Esempio -1 R -3 -4

9 Disequazione di grado >2 e disequazioni fratte
Si scompongono in fattori in modo che i fattori siano di 1° o secondo grado Si studia la positività di ogni fattore in un unico asse reale Considerando che il prodotto tra fattori concordi è positivo e tra fattori discordi negativo si studia il segno dell’intero polinonio e quindi si verifica quando è in accordo col verso della disequazione - + - - + Denom. 2°fatt.num 1°fatt.num R -4 -3 -1