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13 Le coniche

14 Classificazione Storia Costruzione
Le coniche Classificazione Storia Costruzione

15 Classificazione Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole
Con il termine CONICA si indica la curva che si ottiene come sezione tra un cono indefinito e un piano che non passa per il vertice del cono stesso. Indichiamo con  l’angolo formato dal piano con l’asse del cono, e con  l’angolo formato dall’asse con la retta generatrice del cono. Se:  >   = 90°  =   <  L’equazione generale di una conica è: ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0 a , b , c , d , e , f  R Ellisse Circonferenza Parabola Iperbole Coniche

16 Parabola Definizione Equazione Formule Casi particolari Concavità
Coniche Classificazione

17 Parabola Definizione Si dice parabola di fuoco F e direttrice d il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da F e da d.  y F  x d Coniche Classificazione

18 Parabola Equazione y=ax2+bx+c x=ay2+by+c  y   y x  x Coniche
Classificazione

19 Parabola Formule vertice V fuoco F direttrice d equazione asse
y=ax2+bx+c x=ay2+by+c vertice V (-b/2a ; -/4a) (-/4a ; -b/2a) fuoco F (-b/2a ; (1-)/4a) ((1-)/4a ; -b/2a) direttrice d y=-((1+)/4a) x=-((1+)/4a) equazione asse x=-b/(2a) y=-b/(2a) Coniche Classificazione

20 Parabola Casi particolari y= ax2+bx+c
b=0 y=ax2+c c=0 y=ax2+bx c=0 e b= y=ax2  x y    y x   x y Coniche Classificazione

21 Parabola Concavità a>0 a<0  y  y   x x   y y   x x
Coniche Classificazione

22 Circonferenza Definizione Equazione Casi particolari Formule Coniche
Classificazione

23 Circonferenza Definizione
Luogo geometrico dei punti P del piano aventi dal punto fisso C , centro, distanza uguale al raggio, r. Coniche Classificazione

24 Circonferenza Equazione
x2 + y2 + ax + by + c = 0 a , b , c  R Coniche Classificazione

25 Circonferenza Casi particolari
x2 + y2 = r2 x2 + y2 + ax + by = 0 Coniche Classificazione

26 Circonferenza Formule
x2 + y2 + ax + by + c = 0 a, b, c  R centro: C (a/2  b/2) raggio: r= (a/2)2 - (b/2)2 - c eccentricità: e = 1 Coniche Classificazione

27 Ellisse Definizione Equazione Grafici Formule Ellisse traslata Coniche
Classificazione

28 Ellisse Definizione Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi. PF1+ PF2= k k  R+ y x Coniche Classificazione

29 Ellisse Equazione canonica
x y2 = 1 a b2 Caso in cui l’asse focale è l’asse x: y a: semiasse maggiore b: semiasse minore c: F1F2 / 2 x Coniche Classificazione

30 Ellisse traslata Equazione dell’ellisse con assi || agli assi cartesiani e traslata di vettore V(; ). (x - )2 (y - )2 a b2 vettore V (; )  centro C (; ) vertici: A’(a ; ) B’( ; b) fuochi: a>b F1(+c ; ) ; F2(-c ; ) ; c2=a2+b2 a<b F1( ; +c) ; F2( ; -c) ; c2=b2-a2 y + =1 x Coniche Classificazione

31 Ellisse Grafici C(0;0) a>b C(0;0) b>a y y x x Coniche
Classificazione

32 Ellisse Formule a2 = b2 + c2 Fuochi:
a>b  F1(-a2-b2 ; 0) F2(a2-b2 ; 0) eccentricità: c/a a<b  F1(0 ; -b2-a2) F2(0 ; b2-a2) eccentricità: c/b Intersezioni:  asse x  A (±a;0)  asse y  B(0;±b) L’eccentricità di un ellisse è il rapporto costante tra la semidistanza focale e il semiasse maggiore. e =1  segmento e =0  circonferenza 0<e<1  ellisse Coniche Classificazione

33 Iperbole Definizione Equazione Formule I. Equilatera I. Traslata
Coniche Classificazione

34 Iperbole Definizione PF1- PF2 = k k  R+
Luogo geometrico dei punti P del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi F1 e F2 , detti fuochi. PF1- PF2 = k k  R+ Coniche Classificazione

35 Iperbole Equazione x2 y2 - = +1 a2 b2 x2 y2 - = -1 a2 b2
I caso c = semidistanza F1 -F2 asse focale: 2c x y2 = +1 a b2 II caso x y2 = -1 a b2 Coniche Classificazione

36 Iperbole Formule I caso: a > b Vertici: ( a ;0) fuochi: (a2+b2 ; 0) II caso: a < b Vertici: (0 ; b) fuochi: (0 ; a2+b2) asintoti: y= (b/a) x eccentricità e = c/a e =1  segmento e =0  circonferenza 0<e<1  ellisse e>1  iperbole Coniche Classificazione

37 Iperbole equilatera: a=b
x2 - y2 = -a o x2 - y2 =a2   asintoti: y =  x c = a2 e = 2 Coniche Classificazione

38 Iperbole traslata Traslazione di vettore: v (  ; )
I caso: vertici: (  a ;  ) fuochi: (  c ; ) e = c/a II caso: vertici: ( ;   b ) fuochi: ( ;   c) e = c/b asintoti: y -  =  (b/a) (x- ) Coniche Classificazione

39 Le coniche nella storia

40 Matematici greci Le curve non venivano definite come luoghi del
piano che soddisfano una certa condizione, ma con il seguente ordine: Coniche Storia

41 Apollonio (Biografia)
Apollonio Pergeo (Perga, Panfilia 262 a.C. ca. - ? 180 a.C.), matematico greco. Studiò le matematiche ad Alessandria d'Egitto; scrisse di calcolo aritmetico ed elaborò i fondamenti della disciplina antenata dell'attuale geometria proiettiva con le Coniche, opera che constava originariamente di otto libri, di cui solo i primi quattro sono giunti fino a noi scritti in greco, mentre i tre libri rimasti dei quattro seguenti sono noti solo attraverso traduzioni arabe. Apollonio fornì inoltre un grande contributo all'astronomia greca, applicando modelli geometrici al movimento dei pianeti. Coniche Storia

42 Pensiero di Apollonio Elaborò gran parte di quella che noi oggi definiamo “geometria analitica”. Considera 2 luoghi: 1)il luogo dei punti tali che la differenza dei quadrati delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante è una retta perpendicolare al segmento che congiunge i punti. 2)il luogo dei punti tali che il rapporto delle loro distanze da 2 punti fissi sia costante (e diversa da 1) è un cerchio. Definisce il cono come: “Se una retta prolungatesi all’infinito e passante sempre per un punto fisso, viene fatta ruotare lungo la circonferenza di cerchio che non si trovo nello stesso piano del punto in modo che passi successivamente attraverso ogni punto di quella circonferenza, la retta che ruota traccerà la superficie di un cono doppio”. Coniche Storia

43 Pensiero di Apollonio Affermò che da un unico cono era possibile ottenere tutte e tre le varietà di sezioni coniche, semplicemente variando l’inclinazione del piano d’intersezione. Dimostrò che le proprietà delle curve non cambiano, se intersecate in coni obliqui o in coni retti. Coniche Storia

44 “Le coniche” Trattati di Apollonio
(1°libro) Tratta le proprietà fondamentali delle curve in maniera più completa e generale di quanto fosse stato fatto negli scritti degli altri autori. (2°libro) Continua lo studio dei diametri coniugati e delle tangenti. (3°libro) Contiene molti teoremi notevoli, utili per la sintesi dei luoghi solidi e per la determinazione dei limiti. (4°libro) Apollonio illustra in quanti modi le sezioni coniche possono incontrarsi l’una con l’altra. Coniche Storia

45 “Le coniche” Trattato di Apollonio
(5°libro) Tratta i segmenti massimi e minimi che si possono tracciare rispetto a una conica. (6°libro) Abbraccia proposizioni concernenti segmenti di coniche uguali e disuguali, oltre ad altre questioni trascurate da altri autori. (7°libro) Ritorna sull’argomento dei diametri coniugati e contiene molte nuove proposizioni concernenti diametri di sezione e le figure descritte su di esse. (8°libro)Tratta problemi simili. Coniche Storia

46 Costruzione delle coniche
Proviamo a costruire le coniche usando un pallone da basket, una torcia e un piano bianco sul quale proiettare l’ombra del pallone. Posizioniamo la torcia secondo diverse angolazioni e osserviamo cosa succede... Coniche

47 ...Parabola Torcia a livello della sommità della palla... Coniche
Costruzione

48 Proiettando un fascio di luce perpendicolare alla palla...
...Circonferenza Coniche Costruzione

49 Spostando la torcia verso destra...
...Ellisse Coniche Costruzione

50 Spostando la torcia al di sotto della sommità della palla...
...Iperbole Coniche Costruzione

51 Percorso logico Coniche

52 The end Coniche