(II) Concavità e flessi

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1 (II) Concavità e flessi
8. Massimi, minimi, flessi (II) Concavità e flessi

2 8.3 Definizione di punto di flesso
D. Data una funzione y=f(x), definita in un intervallo I, se esiste la retta tangente al grafico di f(x) nel suo punto (x0, f(x0)) in corrispondenza ai due intorni, sinistro e destro, di x0 il diagramma di f(x) sta da parti opposte rispetto alla retta tangente, allora il punto (x0, f(x0)) è un flesso della curva y=f(x). La retta tangente nel punto di flesso (detta tangente inflessionale) attraversa il grafico della funzione

3 8.9 Concavità di una curva Concavità di una curva in un punto
D. Si dice che la curva y=f(x) ha nel punto P di ascissa c la concavità rivolta verso l’alto (verso il basso), se esiste un intorno del punto c per tutti i punti del quale le ordinate dei punti di f(x) sono maggiori (minori) delle ordinate dei corrispondenti punti sulla tangente in P. La curva, in un intorno di c, giace sopra (sotto) la tangente

4 8.12 Concavità e derivata seconda
Concavità in un intervallo T. Sia y=f(x) una funzione due volte derivabile nei punti interni di un intervallo I e sia f’’(x) continua in I se f’’(x) > 0 per ogni x interno a I, allora f(x) è concava verso l’alto se f’’(x) < 0 per ogni x interno a I, allora f(x) è concava verso il basso

5 8.14 Concavità e punti di flesso
Nei punti c in cui si annulla la derivata seconda, y’’=0, e, a destra e a sinistra di c, la y’’ ha segni opposti (cioè, cambia concavità), si ha un punto di flesso Osservazione. Nei casi in cui y’’=0, ma la derivata seconda y’’ non cambia segno nell’intorno del punto c, non si ha un flesso

6 8.15 Ricerca dei punti di flesso
Metodo dello studio del segno della derivata seconda Si studia la continuità e la derivabilità di f(x) e si calcola f’’(x) Si determinano i punti in cui f(x) è continua e derivabile e f’’(x) = 0 Si studia il segno di f’’(x) nell’intorno dei suddetti punti, per verificare se essi siano punti di flesso Se, inoltre, f’(c) = 0, il flesso è a tangente orizzontale Se la derivata prima in c è infinita, il flesso è a tangente verticale Esempi 1-4, pag