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Le funzioni goniometriche
La goniometria Le funzioni goniometriche
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Obiettivi definire una funzione
definire una relazione definire una funzione definire la funzione goniometrica seno, coseno e tangente conoscere ed applicare le relazioni che intercorrono tra le funzioni goniometriche rappresentare graficamente le funzioni goniometriche elementari
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Il concetto di relazione
Nel linguaggio comune la parola “relazione” è sinonimo di rapporto, legame, connessione (pensa, per esempio a quando si parla di relazioni di parentela, relazioni affettive, relazioni tra eventi, …) Dati due insiemi non vuoti A e B, si dice relazione da A in B l’insieme delle coppie ordinate (x, y) con xA e yB. Esempio: A = {a, d, i, t, v}, B = {m, c, s, g, o, f} la relazione R da A in B è: R= {(d, c), (i, s), (t, g), (v, s)}
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Il concetto di relazione
Esempio: A = {a, d, i, t, v}, B = {m, c, s, g, o, f} la relazione R da A in B è: R= {(d, c), (i, s), (t, g), (v, s)} Per indicare che all’elemento iA corrisponde l’elemento sB si scrive , ad esempio, s=R(i). In generale, se (x, y)R allora y=R(x) Si dice che y è l’immagine di x tramite la relazione R e che x è la controimmagine di y tramite R
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Dominio e codominio Data una relazione da A in B, si chiama dominio della relazione l’insieme degli elementi di A che hanno almeno un immagine in B. Si chiama codominio della relazione l’insieme costituito dalle immagini di tutti gli elementi del dominio Esempio: Codominio Dominio Immagine di t Controimmagine di g
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Le rappresentazioni di una relazione
Sia A={2, 3, 4}, B={4, 5, 6} e sia R la relazione da A in B così definita: xA è in relazione con yB se x è divisore di y Per elencazione R= {(2, 4), (2, 6), (3, 6), (4, 4)} Tramite diagramma a freccia 4 5 6 2 3 Tramite piano cartesiano
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Il concetto di funzine Dati due insiemi non vuoti A e B, una funzione f da A in B è una relazione fra A e B (cioè un insieme di coppie ordinate) tale che a ogni elemento x di A corrisponde uno ed un solo elemento y di B OSS Il dominio di una funzione è l’insieme di tutti i valori x per i quali esiste l’immagine y. In pratica il domf=A
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Esempi: stabilire quali delle seguenti relazioni sono funzioni
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Esempi: stabilire quali delle seguenti relazioni sono funzioni
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Terminologia della funzione
f: A B x y=f(x) Data la funzione Diremo che x è la variabile indipendente ed y è la variabile dipendente. x è detta controimmagine di y tramite f mentre y è l’immagine di x tramite f f(x) è l’espressione analitica della funzione e serve, fissato il valore per x, a determinarne l’immagine il codominio è l’insieme delle immagini
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Esempio f: A B x y=x2-3x-1 Data la funzione In tal caso
x2-3x-1 è l’espressione analitica della funzione fissato il valore per x, ad esempio -2, la corrispondente immagine y è data sostituendo ad x, nell’espressione analitica, il valore -2 y= (-2)2-3(-2)-1=4+6-1=9 Dunque l’immagine di -2 è 9. La coppia ordinata (-2; 9) è un elemento della funzione data. In un piano cartesiano la coppia è rappresentata da un punto.
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Grafico di una funzione
La funzione è un insieme di coppie ordinate. Ad ogni coppia ordinata corrisponde un punto sul piano cartesiano L’insieme di questi punti ci da il grafico della funzione. Dunque Il grafico di una funzione è l’insieme dei punti che appartengono alla funzione
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Esempio x y x y -2 9 -1 1 -3 2 -3 4 3 5 9 x y x y -2 -16/3 -1 1/3 -1/2
-1 1 -3 2 -3 4 3 5 9 x y x y -2 -16/3 -1 1/3 -1/2 17/12 2 1 11/3 2 28/3
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Funzioni goniometriche
Goniometrico, dal greco gonìa=angolo e métron=misura, letteralmente misura degli angoli. Una funzione goniometrica è una funzione che associa ad ogni angolo un ed un solo numero reale Angoli Reali
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La circonferenza goniometrica
Fissato un sistema di assi cartesiani, si chiama circonferenza goniometrica la circonferenza con centro nell’origine degli assi e raggio unitario. Con la circonferenza goniometrica è possibile associare ad ogni angolo orientato un punto P sulla circonferenza, detto estremo dell’arco. Estremo dell’arco y P 1 x O Origine degli archi
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La funzione coseno e seno
Consideriamo un sistema di assi cartesiani, una circonferenza goniometrica e un angolo orientato . Il coseno dell’angolo è l’ascissa dell’estremo dell’arco (cos). Il seno dell’angolo è l’ordinata dell’estremo dell’arco (sen). y P sen cos 1 x O
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La funzione coseno e seno
Dunque, indicando con A l’insieme degli angoli (se l’unità di misura è il radiante A coincide con l’insieme dei numeri reali R) avremo: La funzione coseno: La funzione seno: cos: A R x y=cosx sen: A R x y=senx Grafico funzioni goniometriche
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Proprietà della funzione seno e coseno
Non vi sono valori che un angolo non può assumere, siano essi positivi o negativi, il dominio sia di sin che di cos è dunque tutto l’insieme dei reali sin e cos sono funzioni periodiche: questo significa che assumono gli stessi valori periodicamente all'aumentare della loro variabile indipendente x
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Proprietà della funzione seno e coseno
Questo è chiara conseguenza del fatto che angoli che differiscono di un angolo giro hanno lo stesso punto per estreme dell’arco. Il periodo vale dunque un angolo giro, ovvero (in radianti): T = 2 Inoltre i valori del seno e del coseno di un angolo sono compresi fra -1 e 1
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Grafico della cosinusoide
Nell’intervallo (0, 2) la funzione è decrescente da 0 a e crescente da a 2 OSS: crescente vuol dire che all’aumentare del valore della variabile indipendente x anche la funzione aumenta, descrescente, invece, all’aumentare della variabile indipendente x la funzione diminuisce di valore
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Grafico della sinusoide
Nell’intervallo (0, 2) la funzione è crescente da 0 a /2, è decrescente da /2 a 3/2 ed è crescente da 3/2 a 2.
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La tangente Consideriamo un sistema di assi cartesiani, una circonferenza goniometrica e un angolo orientato . Consideriamo la retta tangente alla circonferenza nell’origine degli archi. Sia T il punto d’intersezione della retta tangente con il secondo lato dell’angolo. La tangente dell’angolo è l’ordinata del punto T (tg). y T tg 1 x O Grafico funzioni goniometriche
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Il grafico della tangentoide
La funzione è sempre crescente e non è definita in x=(2k+1)/2 con k numero intero.
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Proprietà della funzione tangente
È definita in tutto R tranne in (2k+1)/2. La tangente può assumere qualsiasi valore reale, il codominio è tutto R. Anche la tangente è una funzione periodica: questo significa che assumono gli stessi valori periodicamente all'aumentare della loro variabile indipendente x Il periodo è di uguale a .
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Le relazioni fondamentali
Ricordiamo: il teorema di Pitagora In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa (a2) è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti (b2+c2). a2=b2+c2 a2 b2 c2
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Le relazioni fondamentali
Dunque Pitagora (a2=b2+c2) ci fornisce un modo pratico per calcolare la misura del terzo lato conoscendo la misura degli altri due. Infatti: Conoscendo i due cateti b e c avremo: Conoscendo un cateto, b o c, e l’ipotenusa a avremo:
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Le relazioni fondamentali
Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo OHP ed otteniamo: da cui si ha: y P sen H cos 1 x O
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Le relazioni fondamentali
Dal teorema di Pitagora avremo:
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Le relazioni fondamentali
Il triangolo OHP e il triangolo OAT sono simili, perciò avremo che AT:PH=OA:OH tg:sen=1:cos tg·cos=sen·1 tg=sen/cos y T tg P sen H A cos 1 x O
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Le relazioni fondamentali
Dunque le relazioni fondamentali sono:
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Equazioni goniometriche
Un’equazione si dice goniometrica se contiene almeno una funzione goniometrica dell’incognita. Ad esempio : 2∙cos(x) = 1 Mentre 2∙cos(π/4) = 1 non è un’equazione goniometrica perché non contiene funzioni goniometriche dell’incognita x
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osservazione Prima di vedere come si risolvono le equazioni è opportuno imparare a determinare graficamente il valore delle funzioni goniometriche. seno e coseno tangente In quanto per la risoluzione delle eq elementari si applica il procedimento inverso
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LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
determinata se -1 ≤ a ≤ 1 sen x = a impossibile se a < -1 v a > 1 sen x = ½ x = π/6 + 2k π e x = π – π/6 + 2k π = 5/6 π + 2k π
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LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
determinata se -1 ≤ b ≤ 1 cos x = b impossibile se b < -1 v b > 1 cos x = 1 / 2 Se β è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = β + 2kπ v x = - β + 2kπ
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LE EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
tg x = c L’equazione è determinata per qualunque valore reale di c tg x = √ 3 Se γ è una soluzione, le sue soluzioni sono: x = γ + kπ
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Le disequazioni goniometriche
Esempi: Funzione seno Funzione seno 2 Funzione coseno Funzione coseno 2 Funzione tangente Funzione tangente 2 OSS: Le soluzioni sia delle eq sia quelle delle diseq possono essere scritte in diversi modi. Tutto dipende dal contesto in ci si ritrova a risolverle (in base al dominio della variabile x).
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