Teorema di Cauchy.

Presentazione sul tema: "Teorema di Cauchy."— Transcript della presentazione:

1 Teorema di Cauchy

2 Tetraedro di Cauchy ej n = nj ej Fk = tk j ej Fn = tn j ej
con j = x, y, z z n = nj ej ez  Az Fk = tk j ej con k e j = x, y, z n Fn = tn j ej y n ty z tx z x ty x tx x ty y tx y P tz z tz x tz y ey  y Ay  ex z Ax x

3 Dal teorema del trasporto e dal principio di conservazione della massa risulta:
Dal principio di bilancio della quantità di moto risulta: (1) con l = x, y, z, n L'equazione (1), omettendo il pedice c, può essere scritta anche nella forma seguente: (2)

4 Calcolo dei valori dei due integrali dell'equazione
(2) Il valore del primo integrale nell'equazione (2) è pari a: dove con [()]* si intende il valore della funzione integranda calcolata in un punto X  ; con v(W) il volume del dominio W Sviluppando il secondo integrale dell’eq. (2) per l = x, y, z, n si ottiene:

5 Da semplici considerazioni di geometria proiettiva si può desumere
Il valore della somma dei 4 integrali a secondo membro è pari a: dove con l* si intende il valore del generico sforzo calcolato in un punto X  l con A() l'area della generica faccia del tetraedro di giacitura l Da semplici considerazioni di geometria proiettiva si può desumere un relazione tra le aree delle 4 facce del tetraedro

6 A (Ay,Az,P) = -nx A (Ax,Ay,Az)
 Az A (Ax,Az,P) = -ny A (Ax,Ay,Az) ez n A (Ax,Ay,P) = -nz A (Ax,Ay,Az) -nx -ny ey ex -nz  P  Ay y  Ax A (Ax,Ay,Az) x

7 Il valore della somma: può essere calcolato nel modo seguente:

8 In conclusione, la relazione integrale:
è riconducibile a: (3) Dividendo la (3) per la quantità non nulla A(AxAyAz), si ottiene: (4) Questo risultato è vero per ogni condizione di equilibrio dinamico del tetraedro, nonché per qualunque dimensione del tetraedro stesso.

9 La relazione (4), quindi, sussiste anche considerando il tetraedro infinitesimo che risulta dal far tendere i punti Per un tetraedro infinitesimo però risulta che: V() è una quantità infinitesima del terzo ordine A(AxAyAz) è una quantità infinitesima del secondo ordine Quindi il rapporto V() / A(AxAyAz) è una quantità infinitesima Nella relazione (4) quando il tetraedro si riduce ad un elemento materiale nel punto P il primo termine essendo infinitesimo è trascurabile rispetto al secondo termine

10 In ogni punto di un sistema materiale continuo
Da quanto sino a qui determinato ne consegue che (Teorema di Cauchy) In ogni punto di un sistema materiale continuo e in qualsiasi condizione di equilibrio dinamico risulta soddisfatta la seguente relazione Si noti che nella relazione non compare il simbolo * poiché i valori degli sforzi sono riferiti univocamente alla posizione geometrica del generico punto P Il teorema afferma quindi che in un punto di un sistema materiale, il valore dello sforzo relativo a una generica giacitura n è univocamente determinato tramite una combinazione lineare del valore degli sforzi relativi a tre giaciture linearmente indipendenti.