GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI.

Presentazione sul tema: "GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI."— Transcript della presentazione:

1 GEOMETRIA EUCLIDEA PROF. VINCENZO LO PRESTI

2 CONCETTI GEOMETRICI FONDAMENTALI

3 GEOMETRIA Letteralmente geometria significa misura (metron) della terra (geo). Lo scopo principale della geometria è quello di studiare e descrivere le forme che l’uomo riscontra nella natura. I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

4 GEOMETRIA Nelle civiltà primitive la geometria aveva un carattere empirico e veniva utilizzata per scopi esclusivamente di ordine pratico: Ricostruire i confini dei campi cancellati dalle inondazioni dei fiumi; Conoscere la capacità di un vaso; Misurare il volume delle costruzioni. I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

5 STORIA DELLA GEOMETRIA
Presso la civiltà Assiro-Babilonese la geometria cominciò ad assumere un significato astratto indipendentemente dalla sua funzione pratica. Nella cultura della civiltà greca la geometria nel corso dei secoli venne sottoposta ad un processo di astrazione per opera di matematici e filosofi greci come Talete, Pitagora, Eudosso. I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

6 GEOMETRIA EUCLIDEA Il processo di astrazione della geometria venne profondamente influenzato da Euclide (III secolo a.c.) che con la sua opera gli “Elementi”, articolata in ben 13 libri, espose in maniera sistematica e generalizzata tutte le conoscenze di geometria. Nasce quindi la geometria euclidea che per diversi secoli è rimasta il più grande esempio di teoria matematica e di costruzione strutturata delle mente umana. I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

7 STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
TEOREMA DI PITAGORA In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti TRIANGOLO: un poligono di tre lati POLIGONO: figura geometrica formata da una poligonale e dalla parte finita di piano da essa delimitata POLIGONALE: spezzata chiusa non intrecciata I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

8 GEOMETRIA EUCLIDEA SPEZZATA: due o più segmenti consecutivi
SEGMENTO: l’insieme dei punti di una retta compresi tra due punti qualsiasi della retta stessa I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

9 STRUTTURA DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
CONCETTI PRIMITIVI (elementi di base) POSTULATI (Regole fondamentali) Da cui si deducono mediante definizioni mediante dimostrazioni NUOVI ENTI NUOVE PROPRIETA’ I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

10 ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Gli enti primitivi sono quei concetti immediati che si suppongono accettati da tutti. Gli enti primitivi della geometria euclidea sono: PUNTO RETTA PIANO I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

11 ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia: PUNTI: con le lettere maiuscole dell’alfabeto A B P C I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

12 ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia: RETTE: con le lettere minuscole dell’alfabeto r a s I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

13 ENTI PRIMITIVI DELLA GEOMETRIA EUCLIDEA
Per convenzione punti, rette e piani vengono indicati utilizzando la seguente simbologia: PIANI: con le lettere minuscole dell’alfabeto greco   I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

14 POSTULATI I postulati sono delle affermazioni che si devono accettare a priori, cioè proprietà che si suppongono vere e che pertanto non si dimostrano. (Regole del gioco) I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

15 POSTULATI DI APPARTENENZA
Primo Postulato – Per due punti distinti passa una sola retta A B Secondo postulato – Su di una retta ci sono almeno due punti A B Terzo postulato – Data una retta e un piano che la contiene esiste un punto del piano che non appartiene alla retta I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

16 POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO
Postulato – Per tre punti non allineati passa un solo piano. I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

17 POSTULATI DI APPARTENENZA DEL PIANO
Postulato – Se due punti di una retta appartengono a un piano allora la retta giace interamente sul piano r B A P  I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

18 POSTULATI DI ORDINAMENTO
Postulato – La retta gode delle seguenti proprietà: la retta è un insieme ordinato di punti (si può fissare sulla retta un verso di percorrenza tra i due possibili) non esiste un primo e un ultimo punto (la retta e illimitata) fra due suoi punti esiste sempre almeno un altro punto (la retta e densa) Q A P B R I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

19 PRIME DEFINIZIONI FIGURA GEOMETRICA:
Si chiama figura geometrica un qualsiasi insieme di punti. SPAZIO: Si chiama spazio l’insieme di tutti i punti. I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

20 DEFINIZIONI Semiretta
Data una retta orientata su cui viene fissato un punto P, si chiama semiretta l’insieme formato da P e da tutti i punti che lo seguono o che lo precedono. Origine P I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

21 DEFINIZIONI Segmento Data una retta orientata e due suoi punti A e B, si chiama segmento l’insieme dei punti A e B e di quelli che sono compresi tra essi. Estremo Estremo B A I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

22 DEFINIZIONI Segmenti consecutivi
Due segmenti si dicono consecutivi se hanno un estremo in comune. B A C I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

23 DEFINIZIONI Segmenti adiacenti
Due segmenti si dicono adiacenti se oltre ad essere consecutivi appartengono alla stessa retta C B A I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

24 DEFINIZIONI Lati C E B D Vertici A
Si chiama poligonale un insieme di segmenti consecutivi Lati C E B D Vertici A I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

25 POSTULATO DI PARTIZIONE DEL PIANO
Postulato- Data una retta r su un piano , presi due punti qualsiasi A e B del piano, se A e B appartengono alla stessa regione il segmento AB non interseca la retta r, se A e B appartengono a regioni diverse il segmento AB interseca la retta r. A’ B’ B r  A (Per passare da una parte all’altra si deve per forza attraversare la retta che non può essere aggirata) I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

26 DEFINIZIONI Semipiano
Data una retta r su di un piano , si chiama semipiano di origine r ciascuna delle due parti in cui il piano viene diviso dalla retta r. Origine o frontiera  r I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

27 DEFINIZIONI Angolo Date due semirette con l’origine in comune si chiama angolo ciascuna delle due parti in cui viene diviso il piano. Lati Angolo Angolo Vertice I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

28 DEFINIZIONI Modi per indicare un angolo b A ab  AVB V  a B
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29 DEFINIZIONI Angoli consecutivi:
Quando hanno il vertice e un lato in comune c b   V a I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

30 DEFINIZIONI Angoli adiacenti
Quando sono consecutivi e i lati non comuni appartengono alla stessa retta b  c  V a I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

31 DEFINIZIONI Angolo piatto Quando i lati sono semirette opposte. b  V
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32 DEFINIZIONI Angolo giro
Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e l’angolo coincide con l’intero piano.  V b a I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

33 DEFINIZIONI Angolo nullo
Quando i lati sono semirette sovrapposte cioè coincidenti e l’angolo comprende soltanto i punti delle semirette. V =0 b a I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

34 FIGURE GEOMETRICHE CONCAVE E CONVESSE
Una figura geometrica può essere: Convessa – quando il segmento che unisce due punti qualsiasi della figura appartiene per intero alla stessa figura convessa Concava – quando esistono almeno due punti tali che il segmento che li unisce non appartiene per intero alla figura concava I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

35 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F2 F1 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

36 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F1 V I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

37 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F1 V I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

38 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F1 V I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

39 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F1 V I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

40 DEFINIZIONI Figure congruenti
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41 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F1 V I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

42 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F1 V I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

43 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F1 V I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

44 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F1 V I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

45 DEFINIZIONI Figure congruenti
Due figure geometriche si dicono congruenti quando possono essere sovrapposte mediante un movimento rigido. F1 F2 V I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

46 POSTULATO SULLA CONGRUENZA
La relazione di congruenza tra figure geometriche è una relazione di equivalenza perchè gode delle proprietà: Riflessiva – Ogni figura è congruente a se stessa; Simmetrica – Se F1F2 risulta anche F2F1 Transitiva – Se F1F2 e F2F3 risulta anche F1F3 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

47 POSTULATO DEL TRASPORTO DEI SEGMENTI
Dato un segmento AB e una semiretta di origine O esiste ed è unico il punto P sulla semiretta in modo che OPAB B A O P OPAB I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

48 POSTULATO DEL TRASPORTO DEGLI ANGOLI
Dato un angolo ab e un fascio orientato di semirette con origine nella semiretta c, esiste ed è unica la semiretta d tale che cdab b d c a cdab O I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

49 DEFINIZIONI Lunghezza di un segmento
Si chiama lunghezza di un segmento la caratteristica comune che hanno un insieme di segmenti congruenti fra loro I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

50 DEFINIZIONI Ampiezza di un angolo
Si chiama ampiezza di un angolo la caratteristica comune che hanno un insieme di angoli congruenti fra loro I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

51 CONFRONTO TRA SEGMENTI
Il confronto tra due segmenti viene eseguito sovrapponendoli l’uno sull’altro in modo da far coincidere un estremo. A B A B C D C D AB<CD AB>CD A B C D AB  CD I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

52 SOMMA DI SEGMENTI Dati due segmenti la loro somma è il segmento che si ottiene disponendoli uno adiacente all’altro A D B C BC D A AB+CD=AD I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

53 DIFFERENZA DI SEGMENTI
Dati due segmenti AB e CD con AB>CD la differenza AB-CD è il segmento DB che si ottiene sovrapponendo i due segmenti facendo coincidere gli estremi A e C. B AC D B A C AB-CD=DB D I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

54 MULTIPLO DI UN SEGMENTO
Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di AB secondo il numero n la somma di n segmenti congruenti con AB. A B n=3 A BC DE F n.AB = AF I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

55 SOTTOMULTIPLO DI UN SEGMENTO
Il seguente postulato (Eudosso-Archimede) ci assicura la divisibilità di un segmento in un numero qualsiasi di segmenti congruenti. Dato un segmento AB e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo di AB rispetto al numero n n=3 A D C B AC = AB/3 n=5 A C D E F B AC = AB/5 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

56 PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO
Dato un segmento AB esiste ed è unico il punto che divide il segmento in due parti congruenti. Questo punto prende il nome di punto medio. AMMB Punto medio del segmento AB A M B I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

57 CONFRONTO TRA ANGOLI h d f b e g a c Q P S R d b bh b b f a ac a ae
ag O O O ab<cd ab>ef ab=gh I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

58 SOMMA TRA ANGOLI b a d bc b P d a O c ad= ab+cd Q
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59 DIFFERENZA TRA ANGOLI P a b Q c d b d a ac O db= ab-cd
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60 MULTIPLO DI UN ANGOLO Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 si chiama multiplo di ab secondo il numero n la somma di n angoli congruenti con ab. n=3 ad= 3 ab b c d a b P a O I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

61 SOTTOMULTIPLO DI UN ANGOLO
Il seguente postulato (Eudosso-Archiemde) ci assicura la divisibilità di un angolo in un numero qualsiasi di angoli congruenti. Dato un angolo ab e un numero naturale n>1 esiste ed è unico il sottomultiplo dell’angolo ab rispetto al numero n b n=3 n=5 b c c P P a ac= ab/3 a ac= ab/5 I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

62 BISETTRICE DI UN ANGOLO
Dato un angolo ab esiste ed è unica la semiretta che divide l’angolo in due parti congruenti. Questa semiretta prende il nome di bisettrice. accb b c O Bisettrice dell’angolo ab a I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

63 DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Si chiama angolo retto ciascuno dei due angoli in cui la bisettrice divide l’angolo piatto. c → bisettrice b O Angolo retto a I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

64 DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è un angolo piatto d d b bc c P b a O Se ab+cd = π gli angoli ab e cd si dicono supplementari a Q I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

65 DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è un angolo retto d d b bc c P b a O Se ab+cd = π/2 gli angoli ab e cd si dicono complementari a Q I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

66 DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Due angoli si dicono esplementari quando la loro somma è un angolo giro bc Se ab+cd = 2π gli angoli ab e cd si dicono esplementari O ad I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti

67 DEFINIZIONI SUGLI ANGOLI
Un angolo si dice acuto se è minore dell’angolo retto Un angolo convesso si dice ottuso se è maggiore dell’angolo retto b π/2 b π/2 a a Q Q Se ab< π/2 ab è acuto Se ab>π/2 ab è ottuso I.I.S. "F.lli TESTA" Liceo Scientifico Nicosia(EN) Prof. Vincenzo Lo Presti