Introduzione alla Teoria della Relatività Speciale

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1 Introduzione alla Teoria della Relatività Speciale
Prof. C. Bacci 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

2 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Da Eistein «…la teoria della relatività assomiglia ad un edificio a due piani separati: la teoria speciale (o ristretta) e la teoria generale. La teoria speciale […] si applica a tutti i fenomeni fisici tranne la gravitazione. La teoria generale conduce alla legge della gravitazione e alle relazioni di essa con altre forze della natura.» La teoria della relatività speciale o ristretta fu formalizzata per la prima volta attraverso un saggio pubblicato nel 1905. Successivamente, nel 1915, Einstein propose una nuova teoria (la teoria della relatività generale) che superava la precedente, includendola come caso limite. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

3 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Tre scienziati determinanti nella storia della relatività: Galileo Maxwell Einstein Ma anche molti altri: Poincarè, Fitgerald, Michelson, Morley, Lorentz, Minkowski...... 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

4 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Galileo Galilei 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

5 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, nè da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma: voi saltando passerete nel tavolato i medesimi spazii che prima, nè, perché la nave si muova velocissimamente, farete maggior salti verso la poppa che verso la prua, benché, nel tempo che voi state in aria, il tavolato sottopostovi scorra verso la parte contraria al vostro salto; e gettando alcuna cosa al compagno, non con più forza bisognerà tirarla, per arrivarlo, se egli sarà verso la prua e voi verso poppa, che se voi fuste situati per l'opposito; le gocciole cadranno come prima nel vaso inferiore, senza caderne pur una verso poppa, benché, mentre la gocciola è per aria, la nave scorra molti palmi; i pesci nella lor acqua non con più fatica noteranno verso la precedente che verso la sussequente parte del vaso, ma con pari agevolezza verranno al cibo posto su qualsivoglia luogo dell'orlo del vaso; e finalmente le farfalle e le mosche continueranno i lor voli indifferentemente verso tutte le parti, nè mai accaderà che si riduchino verso la parte che riguarda la poppa, quasi che fussero stracche in tener dietro al veloce corso della nave, dalla quale per lungo tempo, trattenendosi per aria, saranno state separate; e se abbruciando alcuna lagrima d'incenso si farà un poco di fumo, vedrassi ascender in alto ed a guisa di nugoletta trattenervisi, e indifferentemente muoversi non più verso questa che quella parte. E di tutta questa corrispondenza d'effetti ne è cagione l'esser il moto della nave comune a tutte le cose contenute in essa ed all'aria ancora, che per ciò dissi io che si stesse sotto coverta; ché quando si stesse di sopra e nell'aria aperta e non seguace del corso della nave, differenze più e men notabili si vedrebbero in alcuni de gli effetti nominati: e non è dubbio che il fumo resterebbe in dietro, quanto l'aria stessa; le mosche parimente e le farfalle, impedite dall'aria, non potrebber seguir il moto della nave, quando da essa per spazio assai notabile si separassero; ma trattenendovisi vicine, perché la nave stessa, come di fabbrica anfrattuosa, porta seco parte dell'aria sua prossima, senza intoppo o fatica seguirebbon la nave, e per simil cagione veggiamo tal volta, nel correr la posta, le mosche importune e i tafani seguir i cavalli, volandogli ora in questa ed ora in quella parte del corpo; ma nelle gocciole cadenti pochissima sarebbe la differenza, e ne i salti e ne i proietti gravi, del tutto impercettibile. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

6 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Rinserratevi nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi dei pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello che a goccia a goccia vadia versando del'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quegli animaletti volanti con pari velocità vadano verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto... Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre ‘l vassello sta fermo non debbano succedere così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità, ché (purché il moto sia uniforme e non fluttuante...) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina oppure sta ferma.. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

7 Principio galileiano di relatività.
Tutte le leggi della Meccanica, quali quelle relative alla caduta dei gravi, alle oscillazioni, ecc., sono le medesime per osservatori in moto traslatorio rettilineo uniforme l'uno rispetto all'altro. [sono invarianti rispetto a trasformazioni di Galileo] 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

8 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Un evento fisico è qualcosa che accade in un certo punto ad un certo tempo (ad es. l’accendersi di una lampadina), indipendentemente dal sistema di riferimento che potremmo usare. Per descrivere un evento usiamo quattro misure in un particolare sistema di riferimento, cioè le coordinate x, y, z, e il tempo t. Consideriamo ora due sistemi di riferimento, uno fermo che chiameremo O e l’altro (che si muove con velocità v0 rispetto a O) che chiameremo O’. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

9 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Per comodità supponiamo che il sistema O’ si sposti lungo l’asse comune x , x’ . A questo punto poniamo che si verifichi un evento in un punto P; un osservatore in O misurerà la posizione e l’istante in cui avviene l’evento assegnandogli le coordinate spaziali x, y, z e il tempo t, mentre un osservatore in O’ in movimento con velocità v0 gli assegnerà le coordinate x’, y’, z’, t’. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

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Trasformazioni di Galileo. x = x' + v0 t t = t' derivando v = v' + v0 derivando a = a' (F = ma) = (F’=ma') 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

11 Punti salienti della meccanica classica
Spazio, tempo, massa assoluti Le forze, i segmenti orientati, gli intervalli temporali, le masse (inerziali o gravitazionali) sono invarianti in tutti i sistemi inerziali. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

12 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Una riflessione: da Galileo a Newton tutte le leggi della meccanica erano state sviluppate in un mondo in cui le velocità erano molto minori di quella della luce . (360 Km/h = 0.1 Km/s << Km/s) le leggi che si ricavano non è detto che si possano estrapolare a velocità prossime a c. (esempio: carica condensatore in mondo in cui  è sempre dell’ordine del milione di anni) 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

13 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Passa il tempo ed intanto si cominciano a studiare i fenomeni elettrostatici, la corrente elettrica, il campo elettrico, il magnetismo, i fenomeni di induzione...... .....fino al circa 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

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James C. Maxwell 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

15 Maxwell raccoglie tutti i risultati nelle quattro equazioni
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12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

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Dalle equazioni di Maxwell, con qualche ipotesi del tutto generale e con semplici operazioni matematiche si trova che le onde elettromagnetiche si muovono con velocità: la stessa con cui si propaga la luce 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

18 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Difficoltà Dall’ analisi delle equazioni di Maxwell sorgono alcune inconsistenze con le teorie precedenti: in particolare la velocità della luce è fissata indipendentemente dal sistema di riferimento 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

19 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Inoltre le e. di Maxwell NON sono invarianti sotto trasformazioni di Galileo Cioè il campo elettromagnetico non rispetta il principio di relatività Galileiana. (Il campo elettrico e quello magnetico non son uguali in tutti i sistemi inerziali) 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

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Filo su cui sono depositate cariche positive S.d.R. fisso rispetto al filo 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

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23 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Questi problemi spinsero gli scienziati della fine sec a sviluppare ricerche sperimentali e teoriche per chiarire le inconsistenze che si venivano evidenziando. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

24 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Da un punto di vista sperimentale prendiamo il caso della costanza della velocità della luce 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

25 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Maxwell prevede per c un valore ben determinato senza fare ipotesi sul sistema di riferimento. Ciò porta a 3 possibilità: 1) Le equazioni di Maxwell sono sbagliate od incomplete (cfr. il caso della corrente di spostamento) 2) Il valore calcolato da Maxwell si riferisce ad un ben determinato sistema di riferimento. In tal caso cambiando s.d.r. cambierà il valore di c. 3) se c non varia cambiando il s.d.r. le trasformazioni di Galileo sono sbagliate. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

26 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Tralasciando il 1) caso [ 1)Le equazioni di Maxwell sono sbagliate od incomplete (cfr. il caso della corrente di spostamento] (per cui non si trovavano grandi possibilità di modificare le equazioni) le ricerche si concentrarono sulla seconda possibilità: [ 2)Il valore calcolato da Maxwell si riferisce ad un ben determinato sistema di riferimento. In tal caso cambiando s.d.r. cambierà il valore di c.] l’esempio classico a cui riferirsi erano le onde elastiche (ad es. le onde sonore) la cui velocità di propagazione dipendeva dalle caratteristiche del mezzo su cui si muovevano. Si poteva quindi immaginare che le onde e.m. si propagassero attraverso un mezzo particolare (l’etere) e che in tale sistema la velocità di propagazione fosse appunto 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

27 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Poichè si presupponevano valide le trasformazioni di Galileo si doveva trovare un particolare sistema di riferimento O tale che in esso valesse la Ovviamente in un sistema O′ in moto con velocità rispetto ad O si sarebbe ottenuta una velocità Sarebbe quindi stato sufficiente misurare la velocità della luce in vari sistemi di riferimento per individuare quello in cui essa valeva c e quindi trovare il s.d.r. dell’etere 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

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Purtroppo fino al 1870 le misure della velocità della luce erano affette da un errore molto maggiore delle velocità che era possibile raggiungere in quei tempi 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

29 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

30 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Fu quindi necessario: a) da una parte trovare un sistema con la più alta velocità possibile, b) dall’altra diminuire drasticamente l’errore nella misura della velocità della luce. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

31 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Per a) si prese la massima velocità allora raggiungibile: quella con cui la terra gira attorno al sole ~29 km/s ≈ km/ora. Per b) si dovettero inventare nuovi metodi usando le cognizioni sull’ottica che si stavano sviluppando in quei tempi. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

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A.A. Michelson ( ) con la collaborazione di E.W. Morley inventò l’interferometro che porta il suo nome, uno strumento di grandissima precisione, che rese possibile l’esperimento di verifica della teoria dell’etere; 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

33 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
L’interferometro di Michelson era direttamente connesso con la Terra, perciò se noi immaginiamo che l’etere sia fisso rispetto al sole, la Terra (e con essa pure l’interferometro) si muove nell’etere con una velocità pari a 29 Km/s in direzioni diverse a seconda delle stagioni. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

34 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Nella pratica, la realizzazione dell'esperimento consisteva nella rilevazione di una differenza di velocità di propagazione della luce fra due raggi luminosi perpendicolari. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

35 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Per rendere intuitivamente l’ esperimento possiamo riferirci all’immagine di una nave che si muova lungo un fiume tra due punti A e B alla stessa distanza. Nel primo caso B è a valle del fiume mentre nel secondo B è sull’altra sponda. v c 2 2 c -v 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

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Nel primo caso il tempo impiegato dal punto A a quello B e ritorno è: Nel secondo caso invece abbiamo 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

37 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
La differenza tra i tempi di transito quindi è: Supponiamo ora che il fiume scorra verticalmente (cioè venga ruotato di 90°), a questo punto l1 è il cammino perpendicolare alla corrente e l2 quello parallelo alla corrente. Facendo le dovute sostituzioni la stessa analisi compiuta in precedenza ora da per la differenza fra i tempi di transito è: 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

38 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Ruotando il fiume di 90° le differenze di tempo cambiano di: In corrispondenza della rotazione si ha quindi una variazione di interferenza tra i due raggi, variazione che si riflette in una variazione delle frange viste dall’ osservatore. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

39 Schema dell’esperimento di Michelson
Sorgente luminosa Etere Immagini virtuali occhio 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

40 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Da G. Gamow – One two three...Infinity Mentor Books 1957 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

41 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

42 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Il risultato dell'esperimento di Michelson e Morley fu che la velocità della Terra rispetto all'etere era nulla in qualsiasi periodo dell'anno, confutando l’esistenza del mezzo cosmico ipotizzato. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

43 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Da un punto di vista teorico ..... 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

44 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Dopo svariati tentativi dell’esperimento di Michelson e Morley, (sempre con esiti negativi), Fitzgerald propose, nel 1892, un’ipotesi, che fu poi elaborata da Lorentz per dare una spiegazione a questi risultati, e mantenere tuttavia il concetto di riferimento privilegiato dell’etere. La loro ipotesi fu che qualsiasi corpo subisce una contrazione nella direzione del moto relativo all’etere stazionario di un fattore pari a: 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

45 il principio di causa ed effetto.
INOLTRE: Si comprese che la velocità di trasmissione di un segnale che porti informazione non può essere infinita. Ciò infatti permetterebbe ad una persona di inviare un messaggio ad un’altra persona e riceverne la risposta nello stesso istante contraddicendo così il principio di causa ed effetto. questo porta a far dubitare delle trasformazioni di Galileo che portavano a v = v' + v0 e quindi permetterebbero una velocità infinita. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

46 Problema simultaneità
Galileo presuppone che il tempo sia universale (t = t’), ma 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

47 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Ritrovando indipendentemente anche risultati di W. Voigt (1887), Lorentz introduce nel 1892 (oltre alla contrazione delle lunghezze) anche l'idea di tempo locale per spiegare il risultato negativo degli esperimenti di Michelson e Morley. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

48 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Dalla ipotesi della contrazione di Fitzgerald e del tempo locale si possono ricavare le "trasformazioni di Lorentz" che sono delle modifiche a quelle di Galileo. (Se la velocità relativa è molto piccola rispetto alla velocità della luce, si riottengono le trasformazioni di Galileo). Nel 1904 Lorentz osservò che benché le equazioni di Maxwell non siano invarianti per trasformazioni galileiane, lo sono per quelle di Lorentz, 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

49 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Le trasformazioni di Galileo Lorentz 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

50 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Michelson himself wrote in 1899: "The more important fundamental laws and facts of physical reality have all been discovered and they are now so firmly established that the possibility of their ever being supplanted in consequence of new discoveries is exceedingly remote .... Our future discoveries must be looked for in the 6th place of decimals." 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

51 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Albert Einstein 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

52 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

53 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Postulati della Relatività speciale 1. tutte le leggi della fisica (non solo quelle della meccanica) sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali (principio di relatività di Einstein). 2. la velocità della luce c è indipendente dalla velocità della sorgente. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

54 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Alcune conseguenze (filosofico-matematiche?) dei postulati della teoria della relatività 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

55 Trasformazioni di Lorentz
Dalla sola ipotesi della costanza della velocità della luce (e della località del tempo) si ricavano immediatamente le trasformazioni di Lorentz. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

56 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Relatività spaziale Supponiamo di avere i due sistemi di riferimento O (x, y, z, t) O’ (x', y', z', t') E' intuitivo che due fenomeni che avvengono a tempi diversi possono coincidere spazialmente in un S.d.R ed essere distanti in un altro; basta pensare ad una lampadina accesa due volte in un treno in movimento; nel S.d.R del treno i fenomeni avvengono nello stesso posto, mentre in un S.d.R fermo si vedono in luoghi ben distanti. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

57 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

58 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Matematicamente, usando le trasformazioni di Lorentz..... 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

59 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Consideriamo 2 eventi spazialmente coincidenti (x1=x2) nel sistema O, ma a tempi differenti t1≠t2. Nel sistema O’ avremo Da cui: Cioè gli eventi non coincidono più spazialmente 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

60 Simultaneità temporale
Passiamo ora a far vedere, che l' affermare che la velocità della luce è la stessa in tutti i riferimenti, significa dire che si deve abbandonare il concetto di tempo assoluto e ammettere che ogni riferimento abbia un suo tempo proprio che scorre diversamente dal tempo di ogni altro sistema. Consideriamo una sorgente radio, posta nel centro di un vagone (che si muove con velocità v), che all'istante t = 0 emetta un segnale che si propaga con velocità c e raggiunge, accendendole, due lampadine poste alle estremità A’ e B’ del vagone alla distanza s dal centro. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

61 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Due eventi sono simultanei per un osservatore se rispetto ad esso accadono allo stesso tempo t. Il passeggero M sito nel vagone e posto in O vedrà l'onda luminosa sferica accendere le due lampadine ambedue al tempo t1= s/c. Per M i due eventi sono simultanei. Dal binario, N vedrà invece la lampadina in B’ accendersi al tempo t1=s/(c+v) e quella in A’al tempo t2=s/(c-v)>t1 e quindi per lui i due eventi NON sono simultanei. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

62 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
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63 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Matematicamente, usando le trasformazioni di Lorentz..... 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

64 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Consideriamo 2 eventi simultanei (cioè temporalmente coincidenti (t1=t2) nel sistema O, ma in luoghi differenti x1≠x2 Nel sistema O’ avremo Cioè gli eventi non sono più simultanei in O’ 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

65 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Nella fisica di Galileo e Newton il tempo scorre in modo assoluto in tutti i sistemi di riferimento; infatti un intervallo di tempo tra due eventi in un sistema di riferimento inerziale è lo stesso se misurato in un altro sistema in moto rispetto al primo. Nella relatività ristretta la situazione non è più la stessa. Per un osservatore che viaggia a velocità prossime a quelle della luce il tempo scorre più lentamente che per l’osservatore fermo. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

66 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Marco Lombardo rivolge a Dante nel canto XVI del Purgatorio (vv ): « Or tu chi sé, che il nostro fumo fendi, e di noi parli pur, come se tue partissi ancor lo tempo per calendi? » I due personaggi, Dante e l'anima purgante, vivono in due tempi diversi: l'uno nella dimensione terrena, con un preciso limite per la propria vita, l'altro proiettato nella dimensione della eternità. Le cose viste da loro sono le stesse, ma misurate in due modi differenti. Dante, come si vede, è stato così geniale da anticipare persino Einstein e la relatività dei tempi... 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

67 Contrazione delle lunghezze.
L' osservatore in O vuole misurare una sbarra parallela all' asse x ed in quiete rispetto a O'. All' istante tA = tB (e lo deve fare allo stesso tempo perchè la sbarra si sta muovendo in O) segna gli estremi della sbarra l = xB - xA. Per O' la sbarra sarà lunga l' = x'B - x'A. Ma è e e quindi (poichè tA = tB) Dunque la misura della sbarra in movimento è minore della misura l' in quiete. Ciò si può interpretare dicendo che una sbarra in movimento si contrae. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

68 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Dilatazione dei tempi. Supponiamo di avere due eventi nell' origine in O’ tale che siano t’A x’A = 0 t’B x’B = 0 Gli stessi eventi, rilevati in O avvengono nei tempi Ossia tB-tA = ==> cioè la durata, vista da un sistema in moto, sembra maggiore. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

69 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Orologi in moto 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

70 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Orologi in moto 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

71 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
E = m c2 La seconda legge della meccanica dice: Ma cosa succede quando v è prossima a c ? 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

72 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Occorre ricordare che la in realtà deriva dal principio di conservazione della quantità di moto nel caso particolare di m costante (cosa che non sempre si verifica anche in meccanica classica cfr. ad es. un razzo, un blocco di ghiaccio che evapora etc) 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

73 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Se adesso vogliamo che il momento della quantità di moto si conservi in differenti sistemi di riferimento (inerziali) nel caso in cui v è prossima a c dovremo trattare la con le trasformazioni di Lorentz. Quindi, dovremmo prendere le equazioni, derivarle rispetto al tempo ed immetterle nella 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

74 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Il risultato finale è che dovremo ridefinire: a) il momento della quantità di moto come: che può essere scritta anche come: e b) l’energia di una particella di massa m come: 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

75 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Ove: 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

76 (nella vita di tutti i giorni)
Alcune conseguenze (nella vita di tutti i giorni) dei postulati della teoria della relatività a) contrazione delle lunghezze b) impossibilità di superare la velocità della luce c) E=mc2 d) dilatazione dei tempi 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

77 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Mesoni m Una verifica tangibile della legge della dilatazione dei tempi è fornita dalla vita propria dei muoni cosmici, particelle subnucleari derivanti dal processo di collisione di particelle altamente energetiche con gli atomi dell'atmosfera terrestre. Il processo di collisione genera muoni che attraversano l'atmosfera terrestre ed arrivano al suolo con una frequenza misurata di circa 1cm-2 min-1. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

78 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
La vita media dei muoni a riposo e` di circa 2.2 ms Un muone viaggiante alla velocità della luce dovrebbe percorrere quindi (se non si applicano correzioni relativistiche) in media una distanza s pari a s = 2.2 · 10-6 x 3 · 108 m cioè circa 660 m prima di decadere. Poichè i muoni sono prodotti nella parte esterna della atmosfera che dista dal suolo circa 90 km, la probabilità che un muone raggiunga il suolo sarebbe del tutto trascurabile e non giustificherebbe la frequenza di arrivo misurata. Se invece si tiene conto della contrazione delle lunghezze e (tenendo conto della loro velocità media) si corregge la spazio percorso dai muoni per il fattore di Lorentz g= si ottiene una percorso medio di circa 480 m Questa nuova stima suggerisce che una frazione significativa dei muoni prodotti nella parte superiore dell'atmosfera raggiunga il suolo ed è in ottimo accordo con la frequenza misurata 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

79 Missioni spaziali (Explorer 2)
Saturno Giove Nettuno Urano 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

80 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
                     "It followed from the special theory of relativity that mass and energy are both but different manifestations of the same thing -- a somewhat unfamiliar conception for the average mind. Furthermore, the equation E is equal to m c-squared, in which energy is put equal to mass, multiplied by the square of the velocity of light, showed that very small amounts of mass may be converted into a very large amount of energy and vice versa. The mass and energy were in fact equivalent, according to the formula mentioned above. This was demonstrated by Cockcroft and Walton in 1932, experimentally.“ From the soundtrack of the film, Atomic Physics. Copyright © J. Arthur Rank Organization, Ltd., Image © Brown Brothers, Sterling, PA. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

81 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
E = m c2 Reattore Nucleare Little Boy (Hiroshima) 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

82 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
E = m c2 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

83 Acceleratori di particelle
12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

84 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Acceleratori di particelle 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

85 Localizzatori satellitari
Originariamente 21, oggi 28 satelliti con diverse inclinazioni in modo che almeno 4 satelliti siano sempre sopra l’orizzonte. 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

86 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
In orbita a km di altezza con una orbita di ~12 ore ed una velocità di 2.9 Km/s (cioè v/c = 10-5) I satelliti inviano a tempi predeterminati segnali che vengono ricevuti ed elaborati dal ricevitore. Dalla loro differenza si può, con opportuna triangolazione, ricavare la posizione del ricevitore con approssimazione dell’ordine di qualche metro 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

87 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
Correzioni relativistiche Relatività speciale: Ritardo di 7.2 ms al giorno per la velocità Relatività generale: Anticipo di 45.6 ms al giorno per la differente gravità Poichè qualche metro equivale a decine di ns le correzioni per la relatività (dell’ordine dei ms) sono essenziali per il buon funzionamento 12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale

88 Introduzione alla teoria della Relatività speciale
12/05/2004 Introduzione alla teoria della Relatività speciale