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CORSO DI CRITTOGRAFIA PROGETTO LAUREE SCIENTIFICHE ITGS PASCAL-UNIV. PARMA (è stato usato vario materiale di Alessandro Zaccagnini, Alessandro Languasco e da http://www.dti.unimi.it/citrini/MD/SitoG-M/mil-rab.htm) Docenti: BAROZZI -SIMEONE Quarto incontro
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Test di Miller-Rabin Questo è un test di primalità probabilistico, ovvero da risulatato certo solo quando risponde che il numero non è primo. Se risponde che il numero è primo, la sua primalità non è certa.
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Test di Miller-Rabin Il test si basa sulla seguente proprietà: Per il Teorema di Fermat : Se n è primo a n-1 =1 (mod n) questo vuole dire che esiste sicuramente qualche radice quadrata di a n-1 che è congrua a +1 o a -1 modulo n
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Test di Miller-Rabin Se si verifica che per un numero a<n, a n-1 e nessuna delle sue radici quadrate è congrua a 1 o a -1 modulo n, allora n non può essere primo. Ovviamente questo test da risultati tanto migliori quanti più numeri a<n prendo in considerazione. Può infatti accadere che per un qualche a si verifichi che una delle radici quadrate sia 1 o -1 anche se n non è primo, in questo caso a si dice un FALSO FORTE per n.
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Test di Miller-Rabin Esempio: n=221 Consideriamo n-1=220 Lo fattorizziamo come una potenza di 2 per un numero dispari: 220=2 2 *55 Abbiamo due numeri s=2 (potenza di 2) e d=55
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Test di Miller-Rabin Ora scelgo in modo casuale un numero a<n, ad esempio 174 e calcolo: a d mod n = 174 55 mod 221 = 47 1 a d mod n = 174 55 mod 221 = 47 n-1 a 2*d mod n = 174 110 mod 221 = 220 = n-1 Dal momento che 220 = -1 mod 221, o 221 è un numero primo o 174 è un falso forte per 221
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Test di Miller-Rabin Proviamo un altro a casuale, questa volta scegliamo a = 137 a d mod n = 137 55 mod 221 = 188 1 a d mod n = 137 55 mod 221 = 188 n-1 a 2*d mod n = 137 110 mod 221 = 205 n-1 In questo caso 137 è testimone della compostezza di 221, notiamo che questo metodo non ci dice nulla sulla fattorizzazione di 221=13*17
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