Matematica Generale A cura di Beatrice Venturi Derivate 29-03.-17.

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1 Matematica Generale A cura di Beatrice Venturi Derivate

2 1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA
Problema: determinare la tangente in un generico punto ad una curva data. Tale problema venne risolto dai greci in modo elementare nel caso della circonferenza.

3 Circonferenza e retta tangente

4 1. INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA
Per determinare la tangente in un punto abbiamo bisogno di conoscere la sua inclinazione, cioè il suo coefficiente angolare. Dati due punti:

5 INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA
Consideriamo variazione delle ascisse variazione delle ordinate

6 INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DERIVATA
Inclinazione o coefficiente angolare di una retta ( è la tangente trigonometrica all’angolo ) Tasso o saggio di accrescimento della variabile y rispetto alla variabile x

7 Definizione di derivata

8 Definizione di funzione derivabile
Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b) si dice che è derivabile in I se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale  xI.

9 Retta tangente y=f(x0)+f’(x0)(x- x0)
Data una funzione f(x) definita in un intervallo I=(a,b), l’equazione della retta tangente alla curva f(x) nel punto di ascissa x0 è: y=f(x0)+f’(x0)(x- x0)

10 Retta Tangente

11 Definizione della derivata prima
In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile risulta definita una nuove funzione che si indica con f’(x) oppure con D1f(x). La funzione f’(x) assume i valori della derivata della funzione f(x) calcolata per lo stesso valore della x. f’(x) si chiama derivata prima della funzione f(x).

12 Definizione della derivata seconda
Si chiama derivata seconda della funzione f(x) la derivata prima della funzione f’(x). In tutti i punti in cui fa f(x) è derivabile due volte risulta definita la derivata seconda che si indica con f’’(x) oppure con D2f(x).

13 Relazione tra derivabilità e continuità
Una funzione f(x) derivabile in un punto x è anche continua nello stesso punto. derivabilità  continuità Se una funzione f(x) è continua in un punto x NON è detto che sia anche derivabile.

14 Relazione tra derivabilità e continuità
Contro esempio: y=|x| valutato nell’origine.

15 Punto angoloso

16 Data una funzione f(x) definita in un intervallo
Punto angoloso Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia x  I

17 Punto con tangente verticale o flesso verticale

18 Punto con tangente verticale o flesso verticale
Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia x  I

19 Cuspide

20 Data una funzione f(x) definita in un intervallo
Cuspide Data una funzione f(x) definita in un intervallo I = (a,b), sia xI

21 Regole di derivazione Se f(x) e g(x) sono derivabili in (a,b) allora valgono le seguenti regole:

22 Regole di derivazione Addizione e sottrazione:

23 Regole di derivazione Prodotto:

24 Regole di derivazione Rapporto : nei punti in cui g(x)0

25 Regole di derivazione Logaritmo :

26 Regole di derivazione Esponenziale:

27 Regole di derivazione Potenza (1) :

28 Regole di derivazione Potenza (2):

29 Regole di derivazione Prodotto per una costante:

30 Regole di derivazione Funzione inversa:
Se y=f(x) è una funzione crescente (decrescente) e derivabile nell’intervallo (a,b) allora è dotata di inversa e, in tutti i punti in cui è f’(x)0, anche la sua funzione inversa f -1(y) è derivabile e si ha:

31 Regole di derivazione Funzione composta:
Una funzione y=f[g(x)] composta per mezzo di due funzioni derivabili è anch’essa derivabile e si ha che la sua derivata è data da:

32 Derivate notevoli Funzione potenza: xR e nN

33 Derivate notevoli Funzione esponenziale: xR e a>0

34 Derivate notevoli Funzione logaritmica: x>0 e a>0

35 Derivate notevoli Funzione radice: x  0 e nN

36 Derivate notevoli Funzione iperbole: xR \{0}