Programmazione di calcolatori

Presentazione sul tema: "Programmazione di calcolatori"— Transcript della presentazione:

1 Programmazione di calcolatori
Lezione III Cenni di teoria ingenua degli insiemi Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

2 i giorni della settimana
Gli insiemi Insieme: una collezione di oggetti distinti detti elementi Esempio: Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica i giorni della settimana Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

3 Gli insiemi Esempio: i numeri interi positivi minori o uguali a 10 10
2 4 1 5 3 6 8 7 9 10 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

4 A Notazione Appartenenza: Esempio: se a è un elemento di A, scriveremo
se a non è un elemento di A, scriveremo Esempio: 2 4 1 3 5 A Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

5 Definizione di un insieme
Modalità di definizione di un insieme: intensionale estensionale Definizione intensionale: descrizione della caratteristica posseduta da tutti e soli gli elementi dell’insieme Esempio: I giorni della settimana I numeri interi positivi minori o uguali a 10 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

6 Definizione di un insieme
Definizione estensionale: elenco di tutti e soli gli elementi dell’insieme Esempio: i giorni della settimana i numeri interi positivi minori o uguali a 10 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

7 Intensionale vs Estensionale
Esempio: intensionale ? estensionale Esempio: 26 63 126 9 … estensionale intensionale { x | x = i3+4i2-2i+6, iN, 1  i 100} Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

8 Intensionale vs Estensionale
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9 Sottinsieme Sottinsieme: Esempio:
A è un sottoinsieme di B se e solo se ogni elemento di A è anche elemento di B Esempio: Lunedì Martedì Mercoledì Giovedì Venerdì Sabato Domenica Giorni della Settimana (GdS) Festivi Feriali Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

10 Prodotto cartesiano Prodotto Cartesiano:
il prodotto cartesiano di A e B è l’insieme di tutte le coppie il cui primo elemento appartiene ad A e il cui secondo elemento appartiene a B Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

11 Prodotto cartesiano Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani
(1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani 2 1 3 Numeri Decimali II IV I III Numeri Romani Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

12 Prodotto cartesiano Esempio:
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13 Relazioni binarie Relazione binaria R tra A e B:
è un sottoinsieme del prodotto cartesiano di A per B Relazione binaria R tra A e B: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

14 Relazioni binarie Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani
(1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani 2 1 3 Numeri Decimali Maggiori Uguali di II IV I III Numeri Romani Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

15 Relazioni binarie Esempio:
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16 Funzioni f  AxB t.c. aA  (a,b)f e se (a,b) e (a, b’) f  b=b’
Funzione: una funzione f da A in B è una relazione binaria che associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B f  AxB t.c. aA  (a,b)f e se (a,b) e (a, b’) f  b=b’ Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

17 Funzioni Esempio: Numeri Decimali x Numeri Romani Numeri Decimali
(1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani 2 1 3 Numeri Decimali Conversione II IV I III Numeri Romani Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

18 Funzioni Esempio: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

19 Funzioni NO E’ una funzione? Numeri Decimali x Numeri Romani
(1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Funzione ? NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

20 Funzioni NO E’ una funzione?
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21 Nome, dominio, codominio, immagine
Notazione: Nome Dominio Codominio Immagine di f: Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

22 Nome, dominio, codominio, immagine
(1, II) (1, III) (1, IV) (2, I) (2, II) (2, III) (2, IV) (3, I) (3, II) (3, III) (3, IV) Numeri Decimali x Numeri Romani Conversione Esempio: 2 1 3 Numeri Decimali II I IV III Numeri Romani Dominio Codominio Nome Immagine Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

23 Definizione di una funzione
Signature o arietà: nome dominio codominio Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

24 Definizione di una funzione
Esempio: funzione che associa ad ogni numero naturale il suo quadrato Signature o arietà: Nome: quadrato Dominio: N Codominio: N Legge che associa ad ogni elemento del dominio un elemento del codominio: quadrato(x) = x*x Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

25 Funzioni iniettive Funzione iniettiva:
f : AB è iniettiva se associa a valori diversi del dominio valori diversi del codominio o più formalmente f : A B è iniettiva se  a e a’A t.c. a ≠ a’  f(a) ≠ f(a’) Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

26 Funzioni iniettive? SI SI NO
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27 Funzioni iniettive? SI SI NO NO La funzione identità f(x)=x
La funzione f : N→N definita da f(x)=2x+1 La funzione g : Z→N definita da g(x)=x2 La funzione g : Z→N definita da g(x)=|x| SI SI NO NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

28 Funzioni suriettive Funzione suriettiva:
f : AB è suriettiva se e solo se Im(f) = B o analogamente f : A B è suriettiva  bB,  aA, t.c. f(a)=b Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

29 Funzioni suriettive? SI NO SI
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30 Funzioni suriettive? SI NO NO SI La funzione identità
La funzione f : N→N definita da f(x)=2x+1 La funzione g : N→N definita da g(x)=x2 La funzione g : Z→N definita da g(x)=|x| SI NO NO SI Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

31 Funzioni biunivoche SI NO NO Funzione biunivoca:
f : A B è biunivoca se e solo se è iniettiva e suriettiva NO NO Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

32 Funzioni invertibili Funzione inversa:
se f : A B è biunivoca allora esiste f-1: B A, t.c. se b=f(a) allora f-1(b)=a,  bB f-1 Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi

33 Equipotenza tra insiemi
A è equipotente a B (AB) se e solo se  f : A →B biunivoca Esempio: N  {x | x = i  3, i  N} Npari  Ndispari Programmazione di calcolatori: Cenni di teoria ingenua degli insiemi