Modelli Finanziari nel Tempo Continuo

Modelli Finanziari nel Tempo Continuo
Giovanni Della Lunga Modelli Finanziari nel Tempo Continuo 6 Prodotti di Volatilità e Correlazione Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Prodotti di Volatilità e Correlazione
Prodotti Path-Dependent Il metodo Monte Carlo Opzioni Asiatiche Il problema multivariato Alberi Multivariati Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Prodotti Path-Dependent
Il valore del prezzo di riferimento o dello strike da utilizzare per il calcolo del pay-off dipendono dai prezzi del sottostante in un periodo di tempo Asiatiche: usano il prezzo medio del sottostante come valore di riferimento (average rate) o strike (average rate). Lookback: lo strike è posto al massimo/minimo su un periodo di riferimento Ladder: lo strike è aggiornato su una griglia di valori prestabiliti ogni volta che il sottostante oltrepassa il livello corrispondente in un periodo di riferimento Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A. 2004-2005
Il metodo Monte Carlo Il metodo Monte Carlo (MC nel seguito) è una tecnica basata sulla simulazione di un numero elevato di possibili scenari rappresentativi dell’evoluzione futura delle variabili di rischio da cui dipende il valore di una generica attività finanziaria; Infatti tale tecnica si basa sull’idea di approssimare il valore atteso di una determinata funzione finanziaria calcolando la media aritmetica dei diversi risultati ottenuti dalle simulazioni effettuate sul possibile andamento futuro delle variabili da cui essa dipende. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Il metodo Monte Carlo Metodo Monte Carlo e Integrazione L’idea di base del metodo è del tutto generale; Un’estrazione da un campione di numeri casuali può essere utilizzata come stimatore di un integrale Questa espressione può essere interpretata come il valore di aspettazione della funzione f di una variabile aleatoria a valori uniformemente distribuiti nell’intervallo [0, 1] Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Il metodo Monte Carlo Spiegazione dell’affermazione precedente Il valore di aspettazione di una funzione di una generica variabile aleatoria con densita g(x) e dominio di valori in  è dato da Se consideriamo una variabile x uniformemente distribuita in [0,1] otteniamo Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Il metodo Monte Carlo Diventa così possibile stimare il valore del nostro integrale tramite una media aritmetica di n valori di f(xi) dove ciascun xi rappresenta un campione estratto da una distribuzione uniforme in [0, 1]. In altre parole possiamo affermare che la quantità rappresenta uno stimatore non distorto di I. La varianza di questa stima risulta pari a: Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Il metodo Monte Carlo l’errore quadratico medio dello stimatore, che può essere interpretato come l’errore quadratico medio della simulazione Monte Carlo, decresce all’aumentare di n come Questo risultato risulta del tutto indipendente dalla dimensione del problema. E’ proprio quest’ultima caratteristica che rende attraente il metodo Monte Carlo per la risoluzione di problemi con un numero elevato di dimensioni. In questo caso tipicamente il metodo Monte Carlo risulta convergere verso il valore finale più velocemente dei metodi numerici tradizionali in cui il numero di iterazioni per raggiungere un’approssimazione prefissata cresce con l’aumentare del numero di dimensioni. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Il metodo Monte Carlo Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Il metodo Monte Carlo Passando dal problema generale al caso più specifico della determinazione del valore delle opzioni, si consideri il processo di pricing di un’opzione call di tipo europeo; Il punto di partenza consiste nella definizione del processo dinamico seguito dal sottostante; Nel caso dei derivati su indici azionari o su azioni è comune assumere che il sottostante segua un processo di tipo geometrico browniano. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Un processo per i prezzi azionari
Lemma di Ito Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Nota: In queste formule z rappresenta una variabile aleatoria estratta da una distribuzione normale standard N(0,1). Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Processi per il Sottostante Generazione Scenari Distribuzione probabilistica dei premi Calcolo della media e dell’errore Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Esempio Programmazione VBA
Calcolo del Prezzo di un’Opzione con il Metodo Monte Carlo Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Opzioni asiatiche Le opzioni asiatiche sono opzioni il cui valore finale dipende dalla media aritmetica dei prezzi dell’attività sottostante, rilevati in date predeterminate: average price call: Le opzioni asiatiche sono meno care delle opzioni ordinarie in quanto il calcolo della media diminuisce di fatto la volatilità del sottostante. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Opzioni asiatiche Il problema di gran parte delle opzioni asiatiche è che sono scritte su medie aritmetiche del sottostante osservato a diverse date di rilevazione. Nel modello di Black e Scholes, in cui la distribuzione dei prezzi è log-normale, questo crea un problema perché la distribuzione di probabilità di somme di variabili a distribuzione log-normale non è nota. Tecniche di valutazione: Moment matching (Turnbull e Wakeman): la distribuzione della media è approssimata con una distribuzione log-normale con uguale media e varianza. Metodo Monte Carlo: vengono generati scenari per le date di campionamento, calcolati i pay-off per ogni sentiero e ne viene calcolata la media Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Rilevazioni nel tempo discreto
Nella pratica dei prodotti di finanza strutturata troviamo che le opzioni asiatiche utilizzano la rilevazione del sottostante su un insieme discreto di date. Spesso la frequenza del piano di campionamento cambia nel corso della vita del prodotto. Possiamo avere rilevazioni mensili il primo anno, trimestrali e negli anni successivi e semestrali negli anni finali L’aumento della frequenza delle rilevazioni riduce la volatilità del sottostante e il valore dell’opzione. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Variabile di controllo
Il metodo della variabile di controllo mantiene inalterata la funzione di distribuzione campionata, il miglioramento dell’efficienza si ottiene in questo caso ricorrendo ad una funzione ausiliaria v(z) correlata a k(z) di cui è noto esattamente l’integrale Il metodo della variabile di controllo funziona bene quando quest’ultima ha un elevato grado di correlazione con la variabile che intendiamo stimare. Una situazione di questo tipo si presenta quando vogliamo conoscere il prezzo di un’opzione asiatica se utilizziamo come variabile di controllo il prezzo dell’opzione asiatica a media geometrica corrispondente. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Variabile di controllo
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Variabile di Controllo Applicazione al Pricing di un’Opzione Asiatica
Se si assume che il prezzo dell’attività sottostante, S, sia distribuito in modo log-normale e che Save sia una media geometrica degli S, possiamo utilizzare delle formule analitiche per valutare le opzioni asiatiche di tipo europeo. Ciò dipende dal fatto che la media geometrica di un insieme di variabili distribuite in modo log-normale è anch’essa log-normale. Si può dimostrare che in un mondo neutrale verso il rischio il prezzo di un’opzione asiatica scritta su una media geometrica calcolata su m periodi temporalmente equidistanziati... è pari a ... Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

dove Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Calcolo del Prezzo di un’Opzione Asiatica Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Opzioni multivariate Basket: il valore del sottostante è calcolato con una media ponderata di un insieme di titoli Rainbow: utilizzano funzioni diverse per il calcolo del pay-off: opzioni sul massimo o sul minimo di un paniere dei titoli (option on the max/min) opzioni che consentono di scambiare un’attività finanziaria con un’altra (exchange option), opzioni scritte sulla differenza di valori tra due sottostanti (spread option), opzioni con strike diversi per ogni titolo del paniere (multi-strike). Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Opzioni basket Per le opzioni basket si pone lo stesso problema che per le opzioni asiatiche. Da un lato se la media del basket fosse geometrica l’opzione potrebbe essere prezzata utilizzando la formula di Black e Scholes (medie geometriche di variabili log-normali sono log-normali). Dall’altro in gran parte dei casi si utilizzano medie aritmetiche, nel qual caso la non ne conosciamo la distribuzione. Anche in questo caso le alternative sono due Moment matching Simulazione Monte Carlo Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Misure di co-dipendenza
Distribuzioni Marginali Data la distribuzione congiunta di due variabili x ed y la funzione di densità marginale di x è definita come E, analogamente, Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Indipendenza Due variabili x ed y si dicono indipendenti se la loro funzione densità congiunta si fattorizza nel prodotto delle densità marginali Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Correlazione Lineare Ricordiamo la definizione di correlazione lineare tra due variabili x ed y Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Correlazione Lineare Spesso si ritiene che la conoscenza del coefficiente di correlazione lineare unitamente alla specificazione delle distribuzioni marginali, permetta di determinare la distribuzione di probabilità congiunta. In realtà questo è vero solo per certe classi di distribuzioni tra cui la distribuzione normale. In generale quindi l’inferenza Non è valida Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Oltre l’indice di correlazione lineare La correlazione lineare è un buona misura di co-dipendenza per variabili normali. Per distribuzioni che non sia allontanano troppo dalla “normalità” continua a fornire indicazioni utili ma all’allontanarsi da queste condizioni (in molti casi soltanto ideali) l’indice di correlazione lineare fornisce risultati sempre più fuorvianti! L’indice di correlazione lineare non è invariante rispetto a trasformazioni non lineari delle variabili. A differenza degli stimatori non-parametrici, l’indice di correlazione lineare può non coprire l’intero range da – 1 a + 1, rendendo problematica l’interpretazione del grado di dipendenza Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Variabili Normali Multivariate
Cholescky Decomposition Indichiamo con X un vettore di variabili aleatorie indipendenti ciascuna delle quali distribuita secondo una normale standard, la matrice di varianza-covarianza di X sarà pertanto data dalla matrice unità di dimensione n  n. Supponiamo di voler derivare da questo insieme di variabili un secondo set di variabili, che indicheremo con Y, non più indipendenti bensì dotato di matrice di varianza-covarianza assegnata . Il nuovo insieme di variabili aleatorie può essere ricercato come combinazione lineare delle variabili indipendenti , cioè si pone Il problema si riconduce così alla determinazione di una matrice A di dimensione n n tale che Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Cholescky Decomposition La soluzione della precedente equazione non è unica nel senso che esistono più matrici A che, moltiplicate per la loro trasposta, danno come risultato . Se la matrice  è definita positiva il metodo più efficiente dal punto di vista computazionale per risolvere il problema consiste nell’applicazione della scomposizione di Cholescky. Il punto chiave di tale metodologia consiste nel ricercare A nella forma di una matrice triangolare inferiore, ovvero una matrice in cui tutti gli elementi sopra la diagonale sono nulli, Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Cholescky Decomposition Sviluppando il prodotto AAt in componenti è facile verificare che gli elementi di A sono ricavabili dalle seguenti formule iterative Ad esempio per il caso semplice di due variabili troviamo Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Cholesky Decomposition Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Alberi Binomiali in più dimensioni
E’ relativamente semplice costruire un albero in tre dimensioni per rappresentare i movimenti di due variabili non correlate; Dapprima si costruisce separatamente un albero a due dimensioni per ciascuna delle due variabili; quindi si combinano i due alberi in un solo albero a tre dimensioni. Le probabilità relative ai rami del nuovo albero sono pari al prodotto delle probabilità dei corrispondenti rami degli alberi a due dimensioni. Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Si supponga ad esempio che le variabili siano date dai prezzi S1 ed S2. Ciascuna di queste due variabili può essere rappresentata in due dimensioni da un albero binomiale CCR; supponiamo che p1 sia la probabilità che S1 aumenti e 1-p1 la probabilità che diminuisca, analogamente con p2 e S2; nell’albero a tre dimensioni ci saranno quindi quattro rami che vengono generati da ciascun nodo con le seguenti probabilità p1p2 S1 aumenta, S2 aumenta p1(1-p2) S1 aumenta, S2 diminuisce (1-p1)p2 S1 diminuisce, S2 aumenta (1-p1)(1-p2) S1 diminuisce, S2 diminuisce Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Il caso più interessante è naturalmente quello in cui le variabili siano correlate; Rubinstein ha suggerito un modo di costruire un albero a tre dimensioni disponendo i nodi secondo un approccio binomiale; Dal nodo (S1, S2) si può passare ad uno dei seguenti nodi con probabilità 0.25 (albero con probabilità uguali lungo i rami, tipo JR): Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Deriva dalla “Cholesky Decomposition” Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Opzioni con due sottostanti: Alcuni Esempi
Spread Options call max(0, Q1S1-Q2S2-X) put max(0,X+Q2S2-Q1S1) Opzione sul massimo call max(0,max(Q1S1,Q2S2)-X) put max(0,X-max(Q1S1,Q2S2)) Opzione sul minimo call max(0,min(Q1S1,Q2S2)-X) put max(0,X-min(Q1S1,Q2S2)) Dual Strike Options call max(0,(Q1S1-X1),(Q2S2-X2)) put max(0,(X1-Q1S1),(X2-Q2S2)) Reverse Dual Strike Options call max(0,(Q1S1-X1),(X2-Q2S2)) put max(0,(X1-Q1S1),(Q2S2-X2)) Portfolio Options call max(0, (Q1S1+Q2S2)-X) put max(0,X-(Q1S1+Q2S2)) Exchange Options max(0,Q2S2-Q1S1) Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Albero Binomiale con Correlazione Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

Bibliografia S. Benninga “Modelli Finanziari – La finanza con Excel” McGraw-Hill (2001) U. Cherubini, G. Della Lunga “Matematica Finanziaria – Applicazioni con VBA per Excel” McGraw-Hill (2001) U. Cherubini, G. Della Lunga “Il Rischio Finanziario” McGraw-Hill (2000) E. Gaarder Haug “The Complete Guide to Option Pricing Formulas” McGraw-Hill (1998) M. Jackson, M. Staunton “Advanced Modelling in Finance using Excel and VBA” Wiley Finance (2001) Università dell'Insubria - C.d.L. in Banca & Finanza - A.A

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