Una versione semplificata per non indulgere troppo alla teoria

Presentazione sul tema: "Una versione semplificata per non indulgere troppo alla teoria"— Transcript della presentazione:

1 Una versione semplificata per non indulgere troppo alla teoria
Integrale di Riemann Una versione semplificata per non indulgere troppo alla teoria

2 Premesse Sia C([a,b]) la classe delle funzioni continue su [a,b]
Sia Пδ una partizione di [a,b], δ il suo diametro Sia F={ci, i=1,2,…,n, ci appartenente a (xi+1,xi)} una famiglia di rappresentanti della partizione Sia infine f una funzione appartenente a C([a,b])

3 Somma integrale Fissato δ si possono costruire infinite partizioni e, fissata una di queste si possono costruire infinite somme integrali (una per ogni scelta dei rapprentanti) Quindi la legge che a δ associa le somme è una funzione plurivoca (o multifunzione)

4 Limite di una multifunzione

5 Definizione di Integrale di Riemann
Si dice Integrale di Riemann definito su [a,b] il se tale limite esiste finito. Esso si denota con il simbolo

6 Una classe di f.ni integrabili
Se f appartiene alla classe delle funzioni continue su un intervallo chiuso [a,b], ALLORA f è integrabile secondo Riemann

7 Definizione di Area Si chiama area di S il numero:

8 Interpretazione geometrica
Area(S)=I(f) se f è positiva Area(S)=I(-f)=Area(S’) se f è negativa Area(S)=Area(S+)+Area(S-) se f è positiva e negativa

9 Esempio

10 Proprietà fondamentali

11 Teorema della media integrale

12 Funzione integrale Data f appartenente a C([a,b]) e un punto x di [a,b], si può considerare la funzione:

13 Teorema fondamentale del Calcolo integrale
ossia F(x) è una primitiva di f(x)

14 Conseguenza fondamentale
Se f è continua in [a,b] e G è una qualsiasi primitiva di f allora

15 Integrale indefinito Si dice integrale indefinito di f l’insieme di tutte le primitive di f e si indica col simbolo Allora se G è una primitiva di f si avrà

16 Esempi

17 Un Corollario Se F(x) e G(x) sono due primitive di f(x), esse differiscono per una costante, ossia