Ragioniamo ancora un po sulla hazard con un esempio Supponiamo che i contratti siano stai stipulati tutti in un mese e che ogni mese ne vengano rescissi.

Presentazione sul tema: "Ragioniamo ancora un po sulla hazard con un esempio Supponiamo che i contratti siano stai stipulati tutti in un mese e che ogni mese ne vengano rescissi."— Transcript della presentazione:

1 Ragioniamo ancora un po sulla hazard con un esempio Supponiamo che i contratti siano stai stipulati tutti in un mese e che ogni mese ne vengano rescissi il 5/10/15/20% (tasso di mortalità), senza nuovi contratti. Quanti contratti sopravvivono ogni mese con il passare dei mesi? mediana

2 La Hazard si comporta come un tasso di interesse composto Se deposito 1000 euro e il tasso annuo che la banca mi paga è del 3% Supponendo che linteresse venga capitalizzato ogni giorno, cioè ogni giorno la banca v mi accredita il (3/365)% di quanto avevo in conto il giorno prima Alla fine dellanno avrò 1.030,39 NON 1.030 come sarebbe se linteresse fosse capitalizzato tutto a fine anno, perché nel corso dellanno percepisco interessi sugli interessi. Se fosse mensile avrei 1.030,42 trimestrale 1.030,34 Come si vede è lhazard (il tasso di interesse) e la scansione temporale (discreta) che guidano il processo

3 La Hazard si comporta come un tasso di interesse composto Nellesempio dei contratti la hazard è lievemente superiore del tasso di mortalità: Quando il tasso è costante la relazione è Log[S(t)]= - t Poiché è costante si può calcolare in un punto, ad es la mediana Questi sono i valori (approssimati): Naturalmente lipotesi di costanza dellhazard (o del tm) è piuttosto restrittiva Più spesso varieranno col tempo t.m.5%10%15%20% hazard56%11%16%22%

4 Data la funzione di densità di T f(t) Ripartizione: Sopravvivenza Hazard Hazard integrata Relazioni:

5 Modelliamo la hazard: modello semplice = rischio costante Distribuzione esponenziale, caso piuttosto semplice infatti per la distribuzione esponenziale è:

6 In generale, la hazard dipende da 2 parametri ( e p) E la dipendenza della hazard dal tempo (positiva o negativa) è governata dal parametro p e dalla distribuzione scelta: Esponenziale hazard costante Weibull hazard Crescente/decrescente (dip.da p) Log-logistica Hazard prima cresce poi cala Lognormale Hazard prima cresce poi cala

7 NB la hazard è altamente non lineare:

8 Altre distribuzioni stima MLE tenendo conto dei dati censurati

9 Esempio: durata in giorni di un insieme di scioperi (Green) pmediana Esponenziale 0.023441.0000029.6 s.e.0.0030.0003.522 Weibull 0.024390.9208327.5 s.e.0.0030.1114.00 Log-logistica 0.041531.3314824.1 s.e.0.0070.1724.102 Lognormale 0.045140.7720622.2 s.e.0.0080.0893.95

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11 Introduciamo delle determinanti X. Le determinanti vengono introdotte nel termine, naturalmente alesponente Si modifica la logL che ora viene minimizzata in p, e Nellesempio degli scioperi, introducendo un indice della produzione industriale si ottiene, per la Weibull: -ln( ) = 3.7772 – 9.3515 x ; p=1.00288 =exp(-3.772+9.3515x) Attenzione alla lettura dei coefficienti ! Occorre ricordarsi che, nella weibull

12 Hazard quasi piatta infatti p quasi =1….come esponenziale

13 Ma nellesempio dei contratti: -ln( ) = 2.3314 + 0.0601 età ; p=1.19759

14 Attenzione alla lettura dei coefficienti ! In generale la Hazard adesso dipende da t, p, e X Il segno del coefficiente della X indica la direzione delleffetto sulla hazard SOLO SE la hazard è MONOTONA ! (es. nelle loglog non vale!) In ogni caso leffetto è NON LINEARE La interpretazione va fatta Per valori tipici delle X (es.medie) Disegnando la funzione (hazard e/o Survival) Per strati di popolazione Per tipologie

15 Analisi di specificazione: Usuali test per stime MLE (LR, LM, WALD) Diversi test di adattamento sono stati proposti, ma i risultati sono, in generale, condizionati alla scelta della distribuzione di partenza. Il problema della errata specificazione del modello, cioè della eterogeneità non osservata è particolarmente rilevante nellapproccio parametrico e, in generale, non ha una soluzione semplice.