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DEFINIZIONE DI LIMITE Sia y=f(x) una funzione DEFINITA in un INTORNO di c, ad eccezione, eventualmente, di c. Si dice che il limite di f(x) per x tendente.

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1 DEFINIZIONE DI LIMITE Sia y=f(x) una funzione DEFINITA in un INTORNO di c, ad eccezione, eventualmente, di c. Si dice che il limite di f(x) per x tendente a c Γ¨ lΟ΅R e si scrive: se, PER OGNI INTORNO J di l, ESISTE un INTORNO I di c, tale che PER OGNI x APPARTENENTE a I, con x diverso da c, f(x) APPARTENGA a J. βˆ€J 𝑙 βˆƒπΌ 𝑐 βˆ€π‘₯βˆˆπΌβˆ’ 𝑐 𝑓 π‘₯ ∈𝐽

2 βˆ€πœ€>0 βˆƒπ›Ώ>0 βˆ€π‘₯βˆˆπ‘…βˆ’ 𝑐 π‘₯βˆ’π‘ <𝛿 𝑓(π‘₯)βˆ’π‘ <πœ€
lim π‘₯→𝑐 𝑓 π‘₯ =𝑙 βˆ€J 𝑙 βˆƒπΌ 𝑐 βˆ€π‘₯βˆˆπΌβˆ’ 𝑐 𝑓 π‘₯ ∈𝐽 INTORNO SFERICO del punto c e di raggio r Si chiama intorno sferico o circolare di un numero reale c, di raggio r, con r>0, l’intervallo aperto π‘βˆ’π‘Ÿ, 𝑐+π‘Ÿ x c c-r c+r lim π‘₯→𝑐 𝑓 π‘₯ =𝑙 βˆ€πœ€>0 βˆƒπ›Ώ>0 βˆ€π‘₯βˆˆπ‘…βˆ’ 𝑐 π‘₯βˆ’π‘ <𝛿 𝑓(π‘₯)βˆ’π‘ <πœ€

3 lim π‘₯→𝑐 𝑓 π‘₯ =𝑙 βˆ€J 𝑙 βˆƒπΌ 𝑐 βˆ€π‘₯βˆˆπΌβˆ’ 𝑐 𝑓 π‘₯ ∈𝐽
INTORNO di +∞ Sia M un numero reale positivo allora un intorno di +∞ Γ¨ l’intervallo aperto del tipo 𝑀, +∞ x M lim π‘₯→𝑐 𝑓 π‘₯ =+∞ βˆ€π‘€>0 βˆƒπ›Ώ>0 βˆ€π‘₯βˆˆπ‘…βˆ’ 𝑐 π‘₯βˆ’π‘ <𝛿 𝑓 π‘₯ >M x=c Γ¨ un ASINTOTO VERTICALE lim π‘₯→𝑐 𝑓 π‘₯ =+∞ lim π‘₯β†’+∞ 𝑓 π‘₯ =𝑙 βˆ€πœ€>0 βˆƒπ‘€>0 βˆ€π‘₯>𝑀 𝑓 π‘₯ βˆ’π‘™ <Ξ΅ y=l Γ¨ un ASINTOTO ORIZZONTALE lim π‘₯→𝑐 𝑓 π‘₯ =+∞

4 lim π‘₯→𝑐 𝑓 π‘₯ =𝑙 βˆ€J 𝑙 βˆƒπΌ 𝑐 βˆ€π‘₯βˆˆπΌβˆ’ 𝑐 𝑓 π‘₯ ∈𝐽
INTORNO di -∞ Sia M un numero reale positivo allora un intorno di +∞ Γ¨ l’intervallo aperto del tipo βˆ’βˆž, βˆ’π‘€ x -M lim π‘₯→𝑐 𝑓 π‘₯ =βˆ’βˆž βˆ€π‘€>0 βˆƒπ›Ώ>0 βˆ€π‘₯βˆˆπ‘…βˆ’ 𝑐 π‘₯βˆ’π‘ <𝛿 𝑓 π‘₯ >M x=c Γ¨ un asintoto verticale lim π‘₯β†’βˆ’βˆž 𝑓 π‘₯ =𝑙 βˆ€πœ€>0 βˆƒπ‘€>0 βˆ€π‘₯<βˆ’π‘€ 𝑓 π‘₯ βˆ’π‘™ <Ξ΅ y=l Γ¨ un asintoto orizzontale

5 lim π‘₯→𝑐 𝑓 π‘₯ =𝑙 βˆ€J 𝑙 βˆƒπΌ 𝑐 βˆ€π‘₯βˆˆπΌβˆ’ 𝑐 𝑓 π‘₯ ∈𝐽
INTORNO SINISTRO (sx) Definiamo Intorno sinistro di un punto c , un intervallo del tipo π‘βˆ’π‘Ÿ, 𝑐 con r numero reale positivo x c c-r LIMITE SINISTRO lim π‘₯β†’ 𝑐 βˆ’ 𝑓 π‘₯ =𝑙 βˆ€πœ€>0 βˆƒπ›Ώ>0 βˆ€π‘₯βˆˆπ‘… π‘βˆ’π›Ώ<π‘₯<𝑐 𝑓(π‘₯)βˆ’π‘ <πœ€ INTORNO DESTRO (dx) Definiamo Intorno destro di un punto c , un intervallo del tipo 𝑐, 𝑐+π‘Ÿ con r numero reale positivo x c+r c LIMITE SINISTRO lim π‘₯β†’ 𝑐 + 𝑓 π‘₯ =𝑙 βˆ€πœ€>0 βˆƒπ›Ώ>0 βˆ€π‘₯βˆˆπ‘… 𝑐<π‘₯<𝑐+𝛿 𝑓(π‘₯)βˆ’π‘ <πœ€

6 Esempi tabella grafico tabella grafico tabella grafico sx di 1 grafico
dx di 1

7 Formalizzate le definizioni dei seguenti limiti
Esercizi Formalizzate le definizioni dei seguenti limiti

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