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Conseguenza semantica Quando dalla soddisfazione di un insieme di formule consegue la soddisfazione di unaltra formula Siano L (X) e L (X), – = ( segue.

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1 Conseguenza semantica Quando dalla soddisfazione di un insieme di formule consegue la soddisfazione di unaltra formula Siano L (X) e L (X), – = ( segue da ) ses per ogni -algebra A e per ogni valutazione v di X in A ( A = V per ogni ) implica A = V Esercizio 23: è equivalente definire la conseguenza semantica come ses (per ogni -algebra A A = per ogni ) implica (per ogni -algebra A A = )

2 Sistemi deduttivi Un sistema deduttivo è una relazione fra insiemi di formule (gli assiomi assunti veri) e formule (le formule dedotte a partire dagli assiomi) indicato Un sistema deduttivo per la nostra logica è sound (corretto) se implica | =. Un sistema deduttivo è completo rispetto ad una classe di formule se | = implica per ogni Perché abbia unutilità pratica un sistema deduttivo deve essere: Sound (non vogliamo dedurre falsità) Completo rispetto ad una classe ragionevolmente ampia di formule Descritto in modo effettivo, cioè in modo da poter essere usato come mezzo di calcolo *Di solito un sistema deduttivo si presenta mediante un insieme di regole di inferenza

3 Un sistema deduttivo per la nostra logica stile deduzione naturale non considera i combinatori derivati Esercizio 23 bis: trovarfe un insieme di combinatori minimali per la nostra logica sound e completo se consideriamo algebre con carriers non vuoti preliminari –sostizuzione (di variabili con termini) : X T (Y) –applicare una sostituzione t T (X), t[ ] T (Y) L (X), [ ] L (Y) potrebbe essere indefinito, nei casi in cui una variabile libera diventi legata (, ) Esercizio 24: definire t[ ] e [ ] indicando quando questultima non è definita.

4 Il sistema (1) F _______ F F G _____________ F G F _______ F G G _______ F G G _____________________________ F G F false G Assumption -introduction -left elimination -rigt elimination Tertium non datur false formula atomica sempre falsa

5 Il sistema (2) G 1 … G i-1 F 1 … F n G i+1 … G k H ___________________________________________ F 1 … F n G i G 1 … G k H Absurdity Cut F _________ false F 1 … F n G __________________ F 1, …, F n G -introduction F _________ x. F -elimination -introduction x. F _________ F se x non occorre libero in

6 Il sistema (3) Reflexivity Congruence x = e x _________ per x X ( x in F x = e (x)) F[ ] ____________________ F sostituzione, F[ ] definito Function strictness Def(t 1 ) ___________ Def(t) t 1 sottotermine di t Predicate strictness Def(t i ) ______________ p(t 1,…, t n ) 1 I n Substitution [ ] ( x in F Def( (x))) F[ ] ________________________ F sostituzione, F[ ] e [ ] definiti

7 Estensione per uguaglianza forte regole derivate Reflexivity t = t _________ per t T (X) Equality 1 t 1 = t 2 __________ t 1 = e t 2 Equality 2 t 1 = e t 2 ___________________ Def(t 1 ) t 1 = t 2 Equality 3 t 1 = t 2 ________________________________ Def(t 1 ) false Def(t 2 ) false Congruence ( x in F x = (x)) F[ ] ____________________ F sostituzione, F[ ] definito

8 Notare il sistema è importante per aiutarvi a ragionare voi sulle formule niente esercizi fare una prova completa esistono tools per aiutare a fare/automatizzare le prove

9 Applicazione/esempio grande Madre di tutti gli esercizi/esempi –la più usata specifica nelle applicazioni vere –dare la specifica della struttura dati mappe finite, per semplicità da stringhe di caratteri in naturali –si richiedono operazioni per rappresentare tutti i dati (caratteri, stringhe, naturali, mappe) costruttori –operazioni sulle mappe: mappa vuota (nessuna associazione) aggiungere/eliminare/modificare una associazione trovare il numero associato ad una stringa dominio/codominio di una mappa controllare se una mappa è vuota/è una funzione

10 Naturali Sort nat Opn 0: nat succ: nat -> nat Axiom D(0) D(succ(x)) Solo modelli term-genrated Esercizio 25: aggiungere le 5 operazioni (+.-.X,mod, div) Esercizio 26: aggiungere < e.

11 < _<_: nat x nat 0< succ(x) [stessa cosa x. 0< succ(x) ] Derivata dalle altre due di sotto x < succ(x) x < y x < succ(y)

12 Stringhe di caratteri Sort char, string Opns : string -- stringa vuota _:_ :char x string -> string --aggiunta elemento in testa `A,….,`Z char Preds

13 Mappe basiche

14 Operazione xxxx sulle mappe


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