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Ottimizzazione topologica di reti di tipo Internet Protocol con il metodo del Local Branching Politecnico di Torino Tesi di Laurea Relatore: prof. Roberto.

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Presentazione sul tema: "Ottimizzazione topologica di reti di tipo Internet Protocol con il metodo del Local Branching Politecnico di Torino Tesi di Laurea Relatore: prof. Roberto."— Transcript della presentazione:

1 Ottimizzazione topologica di reti di tipo Internet Protocol con il metodo del Local Branching Politecnico di Torino Tesi di Laurea Relatore: prof. Roberto Tadei Candidato: Flavio Cimolin Dicembre 2003

2 Un problema di Network Design Le componenti del problema sono: Un insieme di nodi Una serie di archi fra i nodi Delle richieste che devono essere instradate sulla rete Su ogni arco possono essere installati dei link (cavi in fibra ottica), con un certo costo unitario ed una determinata capacità. Ogni arco presenta poi dei pesi di instradamento in entrambe le direzioni di percorrenza Si deve garantire il corretto instradamento di tutti i flussi secondo un protocollo di tipo Internet Protocol OSPF-ECM Problema: Determinare la topologia di costo minimo e lallocazione della banda in modo da soddisfare tutte le richieste

3 Modello in PLMI Solver VariabiliVincoliIstanza Funzione Obiettivo Insiemi

4 Xpress IVE ed il linguaggio Mosel Xpress IVE è un software di ottimizzazione della Dash Optimization che si basa sul linguaggio Mosel Mosel è un linguaggio di programmazione particolarmente indicato per scrivere modelli di Programmazione Lineare Variabili e vincoli Listato del programma Albero di ricerca, Statistiche, Grafici di progresso Output

5 Branch and Bound E lo strumento base per risolvere problemi di PLMI E un metodo di tipo enumerativo con uno schema ad albero Ad ogni passo sceglie una variabile frazionaria e genera due sottoproblemi imponendone linterezza Sfrutta dei rilassamenti del problema Consente di eliminare interi sottoinsiemi di soluzioni in base a 3 criteri di fathoming: 1.Inammissibilità della soluzione 2.Soluzione intera determinata 3.Assenza di soluzione migliorante

6 Euristiche basate su ricerca locale Si può descrivere lalgoritmo in quattro passi fondamentali: 1.Si parte da una soluzione iniziale di riferimento x 1 2.Si definisce un vicinato V, cioè un insieme di soluzioni vicine a x 1 3.Si cerca allinterno del vicinato una soluzione x 2 migliore della precedente 4.Si reitera il procedimento creando un nuovo vicinato di x 2 e cercando lì una soluzione ancora migliore Permettono di determinare in breve tempo soluzioni molto buone, ma senza poterne garantire lottimalità

7 Meta-Euristiche A volte conviene accettare una soluzione peggiorante per poter uscire da minimi locali e sondare più soluzioni ammissibili Le euristiche classiche hanno il rischio di subire intrappolamenti in minimi locali, per risolvere linconveniente nascono le Meta-Euristiche Metodi di Tabu Search, Simulated Annealing, Algoritmi Genetici Diversificazioni

8 IL LOCAL BRANCHING

9 Il Local Branching Presentato per la prima volta da M. Fischetti e A. Lodi nel Maggio 2002 E in linea di principio un metodo esatto, ma può essere utilizzato in modo proficuo come una meta- euristica Si basa sulla costruzione di vicinati in cui un certo numero di variabili vengono fissate, ma non si sa a priori quali Soft Variable Fixing: E il Solver stesso a decidere quali variabili fissare e quali lasciare libere, facendo la scelta ottima

10 Il Local Branching si applica bene a problemi che hanno un elevato numero di variabili binarie (0/1) Necessita di una soluzione iniziale di riferimento A partire da essa, crea un vicinato che contenga le soluzioni in cui cambino valore al massimo k variabili binarie Variabili Binarie

11 Sia B linsieme di tutti gli indici delle variabili binarie, e sia S il supporto binario di, ovvero linsieme degli indici delle variabili binarie che hanno valore 1: Tagli di Local Branching Si definisce allora Taglio di Local Branching di ampiezza k il vincolo aggiuntivo: Scelto k sufficientemente piccolo, lintorno che ne risulta può essere esplorato interamente al fine di trovare una soluzione migliore x 2, e così via…

12 Schema ad albero Ne deriva uno schema ad albero molto simile al Branch and Bound classico Si parte dalla soluzione iniziale Si impone un taglio di Local Branching ed il suo opposto Si esplora interamente il vicinato che ne deriva, con un Tactical Branching Viene trovata una soluzione migliore Si reitera il procedimento con la nuova soluzione determinata Tagli di Local Branching Il procedimento continua fino a quando nel nodo di sinistra non viene determinata nessuna soluzione migliore Allora resta solo più la possibilità di effettuare una ricerca esaustiva su tutte le restanti soluzioni

13 Inserimento di un tempo limite Quando si ha a che fare con problemi complessi (è il nostro caso), anche la ricerca sul ramo di sinistra può risultare troppo dispendiosa da poter essere portata a termine Si inserisce allora un tempo limite nella ricerca, oltre il quale fermarsi (nel caso sia già stata determinata una soluzione intera migliore della precedente) Tempo limite raggiunto Determinata una nuova soluzione Si apre un nuovo ramo aggiungendo un taglio di Local Branching relativo alla nuova soluzione determinata Non si può in questo caso invertire questo taglio, perché il suo intorno non è stato esplorato interamente

14 Metodo del Local Branching Oltre al tempo limite si possono anche introdurre delle diversificazioni Si abbandona così la struttura di metodo esatto Non si arriverà mai allesplorazione dellultimo nodo di destra Il comportamento rispecchia così quello di una meta-euristica, e può determinare in tempi brevi soluzioni sempre migliori, ma senza garantirne lottimalità

15 Applicazione al problema in esame

16 Sono le variabili y {i,j}, una per ogni arco presente nella rete, ed indicano se esso deve essere aperto oppure no Variabili di Local Branching Il problema in esame presenta effettivamente un cospicuo numero di variabili binarie, fissate le quali il problema diventa semplice TAGLIO DI LOCAL BRANCHING dove Sono stati studiati i vicinati per k = 1 (piccolo), 3 (medio), 5 (grande)

17 Soluzione Iniziale E necessaria per far partire il metodo Sono state testate due tipi diversi di soluzioni iniziali MAGLIA COMPLETA ALBERO RICOPRENTE di costo minimo Tutti gli archi vengono posti aperti Il minor numero possibile di archi viene aperto

18 Istanze analizzate Per reti con 3, 4 e 5 nodi il Solver risolve il problema in frazioni di secondo Per una rete con 6 nodi e richieste fra tutte le possibili coppie di nodi il Solver non trova soluzioni in 24 ore Occorre analizzare istanze intermedie

19 Nodi di destinazione La complessità dellistanza dipende dal numero di nodi di destinazione (insieme D K ) Sono allora state studiate numerose istanze da 6 e da 7 nodi, nelle quali non tutti i nodi erano destinazione di qualche richiesta Per ognuna di esse si sono fatti variare i parametri caratteristici (k, tempo limite, tipo di istanza iniziale) Per questi casi si è confrontato il comportamento del metodo del Local Branching con quello del metodo esatto (Branch and Bound)

20 Risultati ottenuti Se i parametri di tempo limite, dimensione del vicinato e soluzione iniziale vengono settati con accuratezza, il Local Branching funziona meglio del Branch and Bound La soluzione iniziale albero ricoprente di costo minimo funziona meglio di quella maglia completa Il valore di k migliore è 3 (vicinato di medie dimensioni) Il valore di tempo limite più opportuno è di scegliere sempre la prima soluzione determinata (strategia first improvement) Il metodo risulta però sempre troppo lento per istanze grandi dato che lalgoritmo non riesce ad interagire bene con il Solver.

21 Esempio di confronto Istanza da 6 nodi, con 3 nodi di destinazione, k = 3, strategia first improvement, soluzione iniziale albero ricoprente di costo minimo

22 Effetto bandiera italiana Istanza da 7 nodi, con 3 nodi di destinazione, k = 3, strategia first improvement, soluzione iniziale maglia completa

23 Sviluppi futuri Il metodo è molto buono in linea teorica, ma nella pratica non riesce ad essere efficiente per istanze grandi: la causa è la scarsa interazione fra algoritmo e Solver Si dovrebbe far capire al Solver che le variabili primarie sono le y {i,j} Per istanze di grandi dimensioni si potrebbe ancora: studiare altre soluzioni iniziali (ad esempio ottenerne una con una euristica costruttiva) valutare vicinati di dimensioni basse: k = 1, 2, 3 implementare diversificazioni

24 FINE


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